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专题5.4 函数的奇偶性
一、考情分析
二、考点梳理
1、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
2、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
三、题型突破
重难点题型突破1 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例1．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
（2）．（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
(3)．（2020·北京市第四十四中学高一期中）若函数为偶函数，则a=
A． B． C． D．
【变式训练3-1】、（2021·全国高一课时练习）若函数为奇函数，则=（ ）
A． B． C． D．1
【变式训练3-2】．（2020·江西宜春九中高一月考）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考）已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）
【变式训练3-4】．（2020·衡阳市第二十六中学高一期中）奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
重难点题型突破2 函数的奇偶性的应用
例2．（1）、（2021·江苏·扬州中学高三月考）函数f（x）=的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
（3）、（2020·江苏省板浦高级中学高一期中）（多选题）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
【变式训练2-1】、（2021·浙江·高一期末）函数的图像的是 （ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】、（2021·四川·射洪中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】、（2021·陕西·咸阳市高新一中高一期中）若函数为偶函数，则a=（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
重难点题型突破3 函数的奇偶性与单调性的综合应用
例3、（1）、（2021·江苏·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围__________．
（2）、（2020·天津·高一期中）若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】、（2021·广西·玉林市育才中学高三月考（理））已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】、（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期中）已知是上的偶函数，在上单调递增，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例4．（2021·江苏·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值，并求函数的最小值．
【变式训练4-1】、（2021·江苏·高三专题练习）已知函数是上的奇函数，当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
例5．（2021·江苏·高一课时练习）已知函数是昰义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
【变式训练5-1】、（2020·江苏省西亭高级中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
重难点题型突破4 函数的奇偶性、单调性与周期性的综合应用
例6．（1）、（2021·江苏·高一课时练习）已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
（2）、（2021·浙江·高一单元测试）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．在内至少有个零点
C．的图象关于点中心对称
D．在上的值域为
【变式训练6-1】、（2020·江苏省盱眙中学高一月考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则______．
【变式训练6-2】、（2020·江苏·高一课时练习）已知定义在R上的函数满足，且，则__．
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专题5.4 函数的奇偶性
一、考情分析
二、考点梳理
1、函数的奇偶性
（1）．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数 图象关于原点对称
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
（2）．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．
（7）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
2、函数的周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．最小正周期
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.
注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.
3．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；
②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为；
④若，则函数的周期为；
⑤函数关于直线与对称，那么函数的周期为 ；
⑥若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑦若函数关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期是；
⑧若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；
⑨若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为
6．奇偶函数图象的对称性
①若是偶函数，则的图象关于直线对称；
②若是偶函数，则
的图象关于点中心对称；
三、题型突破
重难点题型突破1 判断或证明函数的奇偶性
1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；
2.判断函数奇偶性的常用方法及思路：
（1）定义法：
（2）图象法：
（3）性质法：利用奇函数和偶函数的和、差、积、商的奇偶性和复合函数的奇偶性来判断.
注意：①分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围相应地化简解析式，判断与的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．
②性质法中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．
③性质法在选择题和填空题中可直接运用，但在解答题中应给出性质推导的过程.
例1．（1）、（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）下列函数中，是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用偶函数的定义逐项判断即可.
【详解】
A．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
B．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
C．定义域为，关于原点对称，，为偶函数，符合；
D．定义域为，关于原点对称，，为奇函数，不符合；
故选：C.
（2）．（2021·安徽省亳州市第一中学高一月考）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】
由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：B
【点睛】
本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.
(3)．（2020·北京市第四十四中学高一期中）若函数为偶函数，则a=
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C
【变式训练3-1】、（2021·全国高一课时练习）若函数为奇函数，则=（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.
【详解】
∵为奇函数，∴，得．
故选：A.
【变式训练3-2】．（2020·江西宜春九中高一月考）函数是奇函数，且在内是增函数，，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
易判断f（x）在（-∞，0）上的单调性及f（x）图象所过特殊点，作出f（x）的草图，根据图象可解不等式．
【详解】
∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，
由f（-3）＝0，得f（﹣3）＝﹣f（3）＝0，
即f（3）＝0，
作出f（x）的草图，如图所示：
由图象，得
解得0＜x＜3或﹣3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），
故选D．
【点睛】
本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．
【变式训练3-3】．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高二月考）已知偶函数 在区间上单调递增，则满足的取值范围是
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（﹣1，1）
【答案】B
【分析】
根据偶函数的性质和函数的单调性可直接判断,
【详解】
首先函数定义域是R，再者根据和偶函数 在区间上单调递增，可得，解得，故选B.
【点睛】
本题是基础题，考查偶函数的性质.
【变式训练3-4】．（2020·衡阳市第二十六中学高一期中）奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
因为函数式奇函数，在上单调递减，
根据奇函数的性质得到在上函数仍是减函数，
再根据可画出函数在上的图像，
根据对称性画出在上的图像．
根据图像得到的解集是：．
故选A．
重难点题型突破2 函数的奇偶性的应用
例2．（1）、（2021·江苏·扬州中学高三月考）函数f（x）=的大致图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分，和分别判断函数的奇偶性，再结合函数值的变化情况判断即可
【详解】
当时，是偶函数，且函数的最大值为1，当时，为减函数，此时对应图可能是D，
当时，为非奇非偶函数，，由，得，且时，，此时对应图像可能是A，
当时，为非奇非偶函数，，由，得，且时，，此时对应图像可能是B，
故选：C
（2）、（2021·江苏·高一课时练习）已知，若，则（ ）
A．-14 B．14 C．-6 D．10
【答案】A
【分析】
先计算，再代入数值得结果.
【详解】
，
又，所以
故选：A
（3）、（2020·江苏省板浦高级中学高一期中）（多选题）已知函数是奇函数，则下列选项正确的有（ ）
A． B．在区间单调递增
C．的最小值为 D．的最大值为2
【答案】AC
【分析】
利用函数是奇函数，可得，求出可判断A；利用函数的单调性以及利用单调性求最值可判断B、C、D.
【详解】
函数是奇函数，
则，代入可得，故A正确；
由，
对勾函数在上单调递增，
所以在上单调递减，故B错误；
由，所以，
所以，故C正确、D错误.
故选：AC
【变式训练2-1】、（2021·浙江·高一期末）函数的图像的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，再根据的函数值，即可判断；
【详解】
解：因为，所以，解得，故函数的定义域为，故排除AC；
当时，，，所以，故排除D；
故选：B
【点睛】
函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
【变式训练2-2】、（2021·四川·射洪中学高一期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，即可判断为奇函数，则，再根据奇偶性求出函数值；
【详解】
解：因为，令，，则定义域为，，即为奇函数，，所以，所以，所以
故选：C
【变式训练2-3】、（2021·陕西·咸阳市高新一中高一期中）若函数为偶函数，则a=（ ）
A．1 B．-1 C． D．2
【答案】C
【分析】
若，由奇偶性的性质有即可求参数a.
【详解】
若，则为偶函数，
∴，即，
∴恒成立，可得.
故选：C
重难点题型突破3 函数的奇偶性与单调性的综合应用
例3、（1）、（2021·江苏·高一课时练习）设函数，则使得成立的的取值范围__________．
【答案】(，1)
【分析】
确定函数为偶函数，再确定函数在上是增函数，然后由奇偶性与单调性解不等式．
【详解】
，所以是偶函数，
时，，此时，是增函数，是减函数，所以是增函数，
因此不等式化为，所以，，解得，
故答案为：．
（2）、（2020·天津·高一期中）若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集.
【详解】
因为为奇函数，所以，所以即.
当时，等价于也即是，
因为在内是增函数，故可得.
因为在内是增函数且为奇函数，
故在内是增函数，又.
当时，等价于也即是，
故可得.
综上，的解集为.
故选：C.
【变式训练3-1】、（2021·广西·玉林市育才中学高三月考（理））已知是定义在R上的奇函数，对任意两个正数，，都有，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据分析函数的单调性，讨论范围结合图象即可求解．
【详解】
因为对任意两个正数，，都有，所以在上，单调递减；
又因为是定义在R上的奇函数，则在上，单调递减；如图所示：
由于
当时，有，得
当时，有，得
综上所述：满足的x的取值范围是
故选：B
【变式训练3-2】、（2021·吉林·四平市第一高级中学高一期中）已知是上的偶函数，在上单调递增，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先利用单调性得到，再利用奇偶性进行转化求解.
【详解】
因为函数在上单调递增，
所以，
又因为是上的偶函数，
所以，，，
则.
故选：B.
例4．（2021·江苏·高一课时练习）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值，并求函数的最小值．
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）设，则，进而根据函数奇偶性求解解析式即可得答案；
（2）根据二次函数的性质，分和两种情况讨论求解得，再求函数的最值即可.
【详解】
解：（1）设，则，
由是定义在上的偶函数
∴
∴
（2）由（1）知，当时，，开口向上，对称轴是
①若，即时，的最大值
②若，即时，的最大值
∴
∵
∴
【变式训练4-1】、（2021·江苏·高三专题练习）已知函数是上的奇函数，当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根据题意，当时，，求出的表达式，结合函数的奇偶性的解析式，即可得答案；
（2）根据题意，分析函数在上的单调性，则原不等式等价于，进而可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】
（1）根据题意，当时，，则，
又由是上的奇函数，则，
故；
（2）当时，，则在上为增函数，
又由是上的奇函数，则在上也为增函数，
由于函数在处连续，故在上为增函数，
由可得，
，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
例5．（2021·江苏·高一课时练习）已知函数是昰义在上的奇函数，且.
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数；
（3）解不等式：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【分析】
（1）根据题意以及奇函数的性质可得，又，解方程组即可得出的值，检验充分性，从而得到函数的解析式；
（2）根据单调性的定义，取值，作差，变形，定号等即可证明；
（3）根据函数的单调性以及奇偶性即可解出不等式．
【详解】
（1）在上为奇函数，且，
有，解得，，此时，∴为奇函数，故．
（2）证明：任取，
则，
而，且，即，
∴，在上是增函数.
（3）因为，又在上是增函数，
∴，解得∴不等式的解集为．
【变式训练5-1】、（2020·江苏省西亭高级中学高一期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.
【分析】
（1）利用和即可求得和的值；
（2）利用用定义证明单调性的步骤，取值、作差、定号、下结论即可证明；
（3）由奇函数可得，利用单调性脱掉转化为不等式组即可求解.
【详解】
（1）因为，函数是定义在上的奇函数 ，
所以得，
又因为，所以，
（2）由（1）可知，设
所以
=
因为，所以，
所以，，即，
所以，函数在上是增函数
（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数
要使“对上，都有成立”
即
则 不等式组对恒成立，
所以对恒成立，
所以
因为，所以，
，所以，
，所以，
所以，
所以实数的取值范围是.
重难点题型突破4 函数的奇偶性、单调性与周期性的综合应用
例6．（1）、（2021·江苏·高一课时练习）已知为奇函数且对任意，，若当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】D
【分析】
由已知等式得出函数的周期，利用周期变化自变量的值，然后结合奇函数的定义求值．
【详解】
因为，所以，所以是周期函数，一个周期是4，
又是奇函数，
所以，，
所以．
故选：D．
（2）、（2021·浙江·高一单元测试）已知奇函数的定义域为，且满足：对任意的，都有.设，且当时，的值域为，则下列说法正确的有（ ）
A．的图象关于直线轴对称
B．在内至少有个零点
C．的图象关于点中心对称
D．在上的值域为
【答案】ACD
【分析】
利用函数的奇偶性，对称性，周期性判断各选项对错.
【详解】
由为奇函数，，
且，
故函数关于直线对称，且周期，
故函数关于直线对称，且关于点中心对称，故A、C选项正确；
即，故在内至少有个零点，B选项错误；
又，故函数为奇函数，
当时，的值域为，
所以当时，的值域为，
当时，，的值域为，
当时，，的值域为，
综上当时，的值域为，D选项正确；
故选：ACD.
【点睛】
正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
【变式训练6-1】、（2020·江苏省盱眙中学高一月考）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则______．
【答案】－2
【分析】
首先判断函数的周期，再结合函数的周期和性质求值.
【详解】
，，
是周期为4的周期函数，
，又是奇函数，
.
故答案为：
【变式训练6-2】、（2020·江苏·高一课时练习）已知定义在R上的函数满足，且，则__．
【答案】3
【分析】
由函数满足，推得函数是以3为周期的周期函数，结合函数的周期，即可求解.
【详解】
因为在R上的函数满足，且，
可得，
所以函数是以3为周期的周期函数，
所以.
故答案为：3．
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