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专题1.1 集合的概念与表示
A组 基础巩固
1．（2021·江苏高一课时练习）集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x=2n±1，n∈Z}
B．{x|x=2n+1，n∈Z}
C．{x|x=2n+1，n∈N*}
D．{x|x=2n+1，n∈N}
2．（2021·江苏高一课时练习）集合{x|，x∈Z}等于（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{，0，1，2} D．{0，1}
3．（2021·江苏）集合用列举法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·如皋市第一中学高一月考）设，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．19 D．20
5．（2021·江苏高一专题练习）下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2021·江苏高一专题练习）下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
7．（2021·江苏）下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2021·江苏如东·）已知集合，，若，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
9．（2021·江苏高一课时练习）若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a+b=___________.
10．（2021·江苏）用列举法表示集合___________；
11．（2021·江苏高一单元测试）若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
12．（2021·江苏高一课时练习）已知集合，若，则实数的值为__________.
13．（2021·江苏高一专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）；
14．（2021·江苏高一专题练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
B组 能力提升
15．（2021·江苏省镇江第一中学高一月考）（多选题）下列表示不是同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．（2021·江苏南通·高一月考）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．中最小的数是1 B．若，则
C．若，则最小值是2 D．的实数解组成的集合中含有2个元素
17．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知集合，且，则实数的可能值为（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·江苏）下列说法中不正确的是（ ）
A．0与表示同一个集合；
B．由1，2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
19．（2021·江苏高一专题练习）（1）已知，，求实数的值；
（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
20．（2021·江苏高一专题练习）已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
21．（2021·江苏高一单元测试）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
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专题1.1 集合的概念与表示
A组 基础巩固
1．（2021·江苏高一课时练习）集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（ ）
A．{x|x=2n±1，n∈Z}
B．{x|x=2n+1，n∈Z}
C．{x|x=2n+1，n∈N*}
D．{x|x=2n+1，n∈N}
【答案】D
【分析】
把四个选项中的集合用列举法一一一列举出来，即可得到答案.
【详解】
对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
2．（2021·江苏高一课时练习）集合{x|，x∈Z}等于（ ）
A．{1，2} B．{0，1，2}
C．{，0，1，2} D．{0，1}
【答案】B
【分析】
解不等式确定的范围，再由是整数得集合中的元素．
【详解】
解：{x|，x∈Z}={x|<2x≤4，x∈Z}={x|故选：B．
3．（2021·江苏）集合用列举法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由可知为自然数，再列举即可
【详解】
因为且，所以的值可取0，1，2，3，4.
故选：A.
4．（2020·如皋市第一中学高一月考）设，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．4 B．5 C．19 D．20
【答案】C
【分析】
采用列举法，分别列举、、、时，集合中的元素，即可求解.
【详解】
当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，，共个，
当时，集合中元素为，，，共个，
所以集合中共有个，
故选：C.
5．（2021·江苏高一专题练习）下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据题意依次判断即可.
【详解】
因为N*是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则- N， N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.
故选：A
6．（2021·江苏高一专题练习）下列命题中正确的（ ）
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．只有①和④ B．只有②和③
C．只有② D．以上语句都不对
【答案】C
【分析】
由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
【详解】
①{0}表示元素为0的集合，而0只表示一个元素，故①错误；
②符合集合中元素的无序性，正确；
③不符合集合中元素的互异性，错误；
④中元素有无穷多个，不能一一列举，故不能用列举法表示．
故选：C.
7．（2021·江苏）下列说法中正确的有（ ）个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
利用集合的元素的特征判断.
【详解】
①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：
②全体等边三角形组成一个集合，故正确；
③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；
④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.
故选：B
8．（2021·江苏如东·）已知集合，，若，则的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】
按照和分类讨论求解可得结果.
【详解】
根据集合中元素的互异性可知，
因为，所以或，
当时，，此时；
当时，则，因为，所以，此时.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：按照和分类讨论求解是解题关键.
9．（2021·江苏高一课时练习）若集合{1，a}与集合{2，b}相等，则a+b=___________.
【答案】3
【分析】
根据集合相等求出即可求解.
【详解】
{1，a}{2，b}，
则，，
所以a+b= 3.
故答案为：3
10．（2021·江苏）用列举法表示集合___________；
【答案】
【分析】
根据，对列举求解.
【详解】
，
，
，
故答案为：.
11．（2021·江苏高一单元测试）若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
【答案】0或1
【分析】
转化为求方程有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.
【详解】
当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；
当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,
故答案为：0或1.
12．（2021·江苏高一课时练习）已知集合，若，则实数的值为__________.
【答案】或
【分析】
因为，则或或，分别求，，时集合，根据集合元素的互异性，即可求解.
【详解】
因为，则或或，
当时，，，符合题意；
当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，或（舍）
当时，，符合题意；
综上所述：或，
故答案为：或
13．（2021·江苏高一专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来：
（1）；
（2）；
【答案】（1）{且}；（2）.
【分析】
（1）根据集合中的元素都是偶数用描述法进行表示即可；
（2）用列举法表示即可.
【详解】
（1）因为集合中的元素都是偶数，
所以{且}；
（2）.
14．（2021·江苏高一专题练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】
（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素较少，利用列举法求解；
（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素较少，利用列举法求解；
【详解】
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
B组 能力提升
15．（2021·江苏省镇江第一中学高一月考）（多选题）下列表示不是同一集合的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ABD
【分析】
A选项两个集合的元素不同，BD选项两个集合一个是点集一个是数集.
【详解】
A选项：，分别表示两个点集，不是同一个点，表示不是同一集合；
B选项：表示直线上的点的坐标，表示直线上的点的纵坐标，表示不是同一集合；
C选项：，两个集合相同；
D选项：是数集，是有序数对构成的集合，表示不是同一集合.
故选：ABD
16．（2021·江苏南通·高一月考）（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．中最小的数是1 B．若，则
C．若，则最小值是2 D．的实数解组成的集合中含有2个元素
【答案】AC
【分析】
根据所表示的集合可以判断A,B,C，再根据集合的定义可以判断D.
【详解】
因为表示正整数集，容易判断A,C正确；
对B，若，则满足，但，B错误；
对D，的解集为{2}，D错误.
故选：AC.
17．（2020·江苏省通州高级中学高一月考）已知集合，且，则实数的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】
已知集合且，则或，
解得或或.
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意.
综上所述，或或.
故选：ABD.
18．（2021·江苏）下列说法中不正确的是（ ）
A．0与表示同一个集合；
B．由1，2，3组成的集合可表示为或；
C．方程的所有解组成的集合可表示为；
D．集合可以用列举法表示．
【答案】ACD
【分析】
根据集合的定义和表示方法分别进行判断．
【详解】
解： 0表示元素，不是集合，所以A错误．
根据集合元素的无序性可知，由1，2，3组成的集合可表示为，2，或，2，，B正确．
根据集合元素的互异性可知，满足方程的解为，，所以C错误．
满足的元素有无限多个，所以无法用列举法表示，所以D错误．
故选：ACD．
19．（2021·江苏高一专题练习）（1）已知，，求实数的值；
（2）已知集合，若中有两个元素，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】
（1）分析可得或，结合集合中元素的互异性可求得实数的值；
（2）根据已知条件得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为，故，
因为，则或.
①当时，即当时，此时，集合中的元素不满足互异性；
②当时，即，解得或（舍），
此时，，集合中的元素满足互异性.
综上所述，；
（2）因为集合中有两个元素，则，
解得且，
因此，实数的取值范围是或.
20．（2021·江苏高一专题练习）已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
【答案】（1）；（2）不是A的元素；答案见解析；；（3）答案见解析．
【分析】
(1)把代入，得出数值后再代入，直至出现重复数即可得解；
(2)假设，计算并导出矛盾而得0不是A的元素，取，求出集合中元素即可；
(3)由(2)可观察出A中不能取的数，分析(1)，(2)中的四个值的特点得出结论，进而由“若，则”推证即可作答.
【详解】
(1)由题意可知：，则，，，，
所以A中其他所有元素为；
(2)假设，则，而当时，不存在，假设不成立，
所以0不是A的元素，
取，则，，，，
所以当，A中的元素是：，，，；
(3)猜想中没有元素，0，1；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
由(2)知：，
若，则，与矛盾，则有，即都不在集合A中，
若实数，则，，
，，
又由集合元素互异性知，A中最多只有4个元素且，
显然否则，得无实数解，同理，，即A中有4个元素，
所以中没有元素；中有4个元素，其中两个元素互为负倒数，另两个元素也互为负倒数.
21．（2021·江苏高一单元测试）已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．
【答案】（1）；（2）不存在这样的，理由见解析；（3）是，证明见解析.
【分析】
（1）根据题意得，，，故；
（2）假设集合是单元数集合，则，根据矛盾即可得答案；
（3）根据已知条件证明，，是集合的元素即可.
【详解】
解：（1）因为若，则，，
所以，，，
所以.
（2）假设集合是仅含一个元素的单元素集合，
则，即：， 由于，故该方程无解，
所以不能是仅含一个元素的单元素集.
（3）因为，，则，则，
所以，故该集合有三个元素，下证，，互不相等即可.
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等，
假设，则，该方程无解，故，不相等.
所以集合中含元素个数一定是个.
【点睛】
本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明，，互不相等且属于集合即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.
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