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专题1.1 集合的概念与表示
一、考情分析
二、考点梳理
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
三、题型突破
重难点1 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
【名师点睛】
集合中元素的三个特性：
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．
（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．
判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．
例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
(2)．（2020·江苏高一课时练习）下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-1】、（2021·江苏高一单元测试）下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生
重难点2 元素与集合的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
常用数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
例2．（1）（2020·上海高一专题练习）用符号“”或“”填空
（1）______， ______， ______
（2）___________Q
（3）________
（2）．（多选题）（2020·江苏盐城中学）下列表述正确的是（ ）
A． B． C．-3 D．
【变式训练2-1】、（2021·肃宁县第一中学高二月考）下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式训练2-2】、（2020·江苏高一月考）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
重难点3 集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例3．（1）（2021·上海高一专题练习）用描述法表示下列集合：
（1）{0，2，4，6，8}；
（2）{3，9，27，81，…}；
（3）；
（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；
（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
（2）．（2021·上海高一专题练习）用列举法表示下列集合：
（1）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（2）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（3）由所有正整数构成的集合．
【变式训练3-1】、（2020·运城市景胜中学高一开学考试）根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
【变式训练3-2】、（2020·利辛县阚疃金石中学高一期中）把集合用列举法表示出来_______________.
【变式训练3-3】、（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
重难点4 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。
例4．（2020·江西会昌县第五中学高一月考）设，集合，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练4-1】、（2020·江苏苏州·星海实验中学）已知集合，集合，若 ，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式训练4-2】、（2021·全国高一专题练习）若a，，集合．
求：(1);
(2)．
重难点5 与集合中的元素个数有关问题的
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例5．（1）（2019·南昌市第十八中学）如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定
（2）．（多选题）（2020·江苏省通州高级中学高一月考）集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【变式训练5-1】．（2021·上海高一专题练习）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}.
（1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；
（2）当A中有两个元素时，求a满足的条件；
（3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件.
【变式训练5-2】、（2021·全国高一专题练习）已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·江苏高一专题练习）能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
2．（2021·江苏高一课时练习）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·江苏高一专题练习）设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020·扬州中学教育集团树人学校）已知集合，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
5．（2021·江苏海安高级中学高一期中）已知集合，且，则实数的取值范围是___________；
6．（2021·江苏高一课时练习）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
7．（2021·江苏高一课时练习）已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
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专题1.1 集合的概念与表示
一、考情分析
二、考点梳理
【知识点一、集合的概念】
1．集合与元素
一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母表示．
说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等．
2．元素与集合的关系
如果是集合的元素，就说属于集合，记作___________；如果不是集合中的元素，就说不属于集合，记作___________．
注意：与取决于元素a是否是集合A中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a与集合A，与这两种情况中必有一种且只有一种成立．
3．集合中元素的特征
（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．
（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．
（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系．
4．集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
【知识点二、常用的数集及其记法】
1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作或；
3．全体___________组成的集合称为整数集，记作Z；
4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q；
5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R．
易错点：为非负整数集（即自然数集），包括0，而表示正整数集，不包括0，注意区分．
【知识点三、集合的表示方法】
1．列举法
把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．
（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用表示所有实数是错误的，应是．
2．描述法
用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．
说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式．
3．Venn图的概念
我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn图．
说明：（1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．
（2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显．
三、题型突破
重难点1 集合的概念
判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．
【名师点睛】
集合中元素的三个特性：
（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．
（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．
判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．
例1．（1）（2020·江苏高一课时练习）能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
【答案】C
【分析】
由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可
【详解】
解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；
B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；
C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；
D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.
故选：C.
(2)．（2020·江苏高一课时练习）下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用集合的定义和特点逐一判断即可.
【详解】
在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C
【变式训练1-1】、（2021·江苏高一单元测试）下列判断正确的个数为（ ）
（1）所有的等腰三角形构成一个集合；
（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；
（3）质数的全体构成一个集合；
（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
利用集合的定义和特点逐一判断即可.
【详解】
在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；
在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；
在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；
在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．
故选：C
【变式训练1-2】、（多选题）（2020·山东高一期中）下列每组对象，能构成集合的是（ ）
A．中国各地最美的乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点
C．一切很大的数 D．清华大学2020年入学的全体学生
【答案】BD
【分析】
根据集合中的元素具有确定性逐个判断即可
【详解】
解：对于A，最美标准不明确，不具有确定性，所以不能构成集合；
对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点就在一、三象限的平分线上，是确定的，所以可以构成集合；
对于C，一切很大的数不具有确定性，所以不能构成集合；
对于D，清华大学2020年入学的全体学生是确定的，能构成集合，
故选：BD
重难点2 元素与集合的关系
元素与集合之间有且仅有“属于（）”和“不属于（）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．
若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若，且集合是用列举法表示的，则a一定等于集合A的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．
常用数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
例2．（1）（2020·上海高一专题练习）用符号“”或“”填空
（1）______， ______， ______
（2）___________Q
（3）________
【答案】
【分析】
（1）是自然数，不是自然数，是自然数，分别可得元素与集合的关系；
（2）是有理数，不是有理数，分别可得元素与集合的关系；
（3）可化简为的形式，可得元素与集合的关系．
【详解】
（1）是自然数，则；不是自然数，则；是自然数，则；
（2）是有理数，则；不是有理数，则；
（3）
故答案为：（1），，；（2），；（3）．
（2）．（多选题）（2020·江苏盐城中学）下列表述正确的是（ ）
A． B． C．-3 D．
【答案】BD
【分析】
根据常见数集的符号表示逐一判断即可.
【详解】
表示整数集，故A不正确、C不正确；
表示自然数集，故B正确；
表示有理数集，故D正确.
故选：BD
【变式训练2-1】、（2021·肃宁县第一中学高二月考）下面有四个语句:
①集合N*中最小的数是0;
②-a N，则a∈N;
③a∈N，b∈N，则a+b的最小值是2;
④x2+1=2x的解集中含有两个元素.
其中说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】
根据题意依次判断即可.
【详解】
因为N*是不含0的自然数，所以①错误;
取a=，则- N， N，所以②错误;
对于③，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以③错误;
对于④，解集中只含有元素1，故④错误.
故选：A
【变式训练2-2】、（2020·江苏高一月考）已知集合A含有两个元素和，若，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】
根据题意分类讨论元素的值，注意检验集合元素的互异性.
【详解】
因为集合A含有两个元素和，且.
所以当，即时，集合A元素为，符合题意；
当，即时，集合A元素为，符合题意.
故实数的值可以为.
故选:AD
重难点3 集合的表示方法
对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．
但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式．
例3．（1）（2021·上海高一专题练习）用描述法表示下列集合：
（1）{0，2，4，6，8}；
（2）{3，9，27，81，…}；
（3）；
（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；
（5）如图中阴影部分的点(含边界)的集合.
【答案】（1）{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；（2）{x|x＝3n，n∈N*}；（3）；（4）{x|x＝5n＋2，n∈Z}；（5）{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}.
【分析】
（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，（3）集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，（4）根据被除数=商×除数+余数，（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，
【详解】
（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为{x∈N|0≤x<10，且x是偶数}；
（2）集合为3的n次幂，n从1开始的整数，则用描述法表示为{x|x＝3n，n∈N*}；
（3）该集合的分子为奇数，可表示为2n 1，分母为偶数，可以表示为2n，且n为自然数，所以集合用描述法表示为；
（4）根据被除数=商×除数+余数，则x=5n+2，所以集合用描述法表示为{x|x＝5n＋2，n∈Z}；
（5）图中阴影部分的点(含边界)的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，同时注意象限，则用描述法可表示为{(x，y)| 1≤x≤，≤y≤1且xy≥0}.
（2）．（2021·上海高一专题练习）用列举法表示下列集合：
（1）方程x2＝2x的所有实数解组成的集合；
（2）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
（3）由所有正整数构成的集合．
【答案】（1）{0，2}；（2）{(0，1)}；（3）{1，2，3，…}.
【分析】
（1）解方程x2＝2x，用列举法表示集合即可；
（2）将x＝0代入y＝2x＋1，即可得出交点，根据点集的定义得出结果；
（3）用列举法依次写出即可.
【详解】
（1）方程x2＝2x的解是x＝0或x＝2，所以方程的解组成的集合为{0，2}．
（2）将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}．
（3）正整数有1，2，3，…，所求集合为{1，2，3，…}．
【变式训练3-1】、（2020·运城市景胜中学高一开学考试）根据要求写出下列集合.
（1）已知，用列举法表示集合.
（2）已知集合，用列举法表示集合A．
（3）已知方程组，分别用描述法、列举法表示该集合.
（4）已知集合B={(x，y)|2x+y-5=0，x∈N，y∈N}，用列举法表示该集合.
（5）用适当的方法表示坐标平面内坐标轴上的点集.
【答案】（1）{2}；（2）{2，4，8，16}；（3）{(x，y)|x=1，y=2}，{(1，2)}；（4）{(0，5)，(1，3)，(2，1)}；（5）{(x，y)|xy=0}.
【分析】
分别求出各集合的元素或元素特点，即可表示出.
【详解】
（1），，解得，
的解为，
用列举法表示集合为；
（2），则可取的值有1，2，4，8，16，的可能值有7，6，4，0，，
，，，
；
（3）方程组的解为，
用描述法表示该集合为，列举法表示该集合为；
（4）当时，；当时，；当时，，
用列举法表示该集合为；
（5）坐标轴上的点满足或，即，
则该集合可表示为.
【点睛】
本题考查集合的表示方法，属于基础题.
【变式训练3-2】、（2020·利辛县阚疃金石中学高一期中）把集合用列举法表示出来_______________.
【答案】
【分析】
根据x为自然数及x的范围，即可列出x的所有取值，即可得答案.
【详解】
因为且，
所以x的所有取值为4,5,6，
故答案为：
【变式训练3-3】、（2020·全国高一课时练习）用适当的方法表示下列集合：
（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．
（2）24的正因数组成的集合．
（3）自然数的平方组成的集合．
（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．
【分析】
（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素较少，利用列举法求解；
（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素较少，利用列举法求解；
【详解】
（1）用描述法表示为{x|2（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
重难点4 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义。
例4．（2020·江西会昌县第五中学高一月考）设，集合，则等于（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】
根据集合相等，得到集合中的元素相同，依次得到的值.
【详解】
两个集合相等，则集合中的元素相同，
，所以，则，那么，和，
所以.
故选：D
【变式训练4-1】、（2020·江苏苏州·星海实验中学）已知集合，集合，若 ，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】
由两集合相等可得结合中元素，结合集合中元素的无序性，分两种情况进行讨论，从而可选出正确答案.
【详解】
解：因为，所以中元素为,当时，此时，
当时，此时,
故选：D.
【变式训练4-2】、（2021·全国高一专题练习）若a，，集合．
求：(1);
(2)．
【答案】(1) 0; (2) 2;
【分析】
(1)根据可得出,
(2)由(1)得，即,根据元素的互异性可得, ,代入计算即可.
【详解】
(1)根据元素的互异性，得或，若，则无意义，故;
(2) 由(1)得，即，据元素的互异性可得：，，
∴.
【点睛】
本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.
重难点5 与集合中的元素个数有关问题的
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．
(2)看这些元素满足什么限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．
例5．（1）（2019·南昌市第十八中学）如果集合中只有一个元素，则a的值是（ ）
A．0 B．4 C．0或4 D．不能确定
【答案】C
【分析】
利用与，结合集合元素个数，求解即可．
【详解】
解：当时，集合，只有一个元素，满足题意；
当时，集合中只有一个元素，可得，解得．
则的值是0或4．
故选：．
【点睛】
本题考查了集合中元素的个数问题及方程的解集有且仅有一个元素的判断，属于基础题．
（2）．（多选题）（2020·江苏省通州高级中学高一月考）集合中有且仅有一个元素，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．2
【答案】AC
【分析】
分，和两种情况讨论，可得，或.
【详解】
当时，可得，符合题意；
当时，因为方程有唯一解，
所以.
故选：AC.
【点睛】
此题的关键是是否为零决定方程是一次方程还是二次方程，影响到根的个数.
【变式训练5-1】、．（2021·上海高一专题练习）已知集合A={x|ax23x4=0，x∈R}.
（1）当A中有且只有一个元素时，求a的值，并求此元素；
（2）当A中有两个元素时，求a满足的条件；
（3）当A中至少有一个元素时，求a满足的条件.
【答案】（1）答案见解析；（2）a>且a≠0；（3）a≥.
【分析】
（1）分a=0和a≠0两种情况讨论即可，
（2）由A中有两个元素可知方程为二次方程，且判别式大于零，从而可求出的范围，
（3）A中至少有一个元素包括（1）、（2）的情况，所以的范围是（1）（2）所求的的范围的并集
【详解】
解:（1）①当a=0时，方程3x4=0的根为x=. 故A={}.
②当a≠0时，由Δ=(3)24a·(4)=0，得
a=，此时方程的两个相等的根为x1=x2=.
综上，当a=0时，集合A中的元素为；
当a= 时，集合A中的元素为.
（2）集合A中有两个元素，即方程ax23x4=0有两个不相等的实根.
所以
解得a>且a≠0.
（3）集合A中有一个元素或两个元素.
当集合A中有两个元素时，
由（2）得a>且a≠0；
当集合A中有一个元素时，由（1）得a=0或a=.
综上，当A中至少有一个元素时，a满足的条件是a≥.
【变式训练5-2】、（2021·全国高一专题练习）已知集合．
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；
（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】（1）或；（2）；（3）或.
【分析】
根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.
【详解】
解：（1）若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
（2）中至少有一个元素，
即中有一个或两个元素，
由得综合（1）当时中至少有一个元素；
（3）中至多有一个元素，
即中有一个或没有元素
当，
即时原方程无实数解，
结合（1）知当或时中至多有一个元素.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解集合中的元素与方程的根之间的关系.
四、定时训练（30分钟）
1．（2021·江苏高一专题练习）能够组成集合的是（ ）
A．与2非常数接近的全体实数
B．很著名的科学家的全体
C．某教室内的全体桌子
D．与无理数π相差很小的数
【答案】C
【分析】
由集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性，进行判断即可
【详解】
解：A.与2非常接近的数不确定，∴不能构成集合；
B.“很著名”，怎么算很著名，不确定，∴不能构成集合；
C.某教室内的桌子是确定的，∴可构成集合；
D.“相差很小”，怎么算相差很小是不确定的，∴不能构成集合.
故选：C.
2．（2021·江苏高一课时练习）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由集合B的描述知、，可求出，即得集合B的元素个数.
【详解】
解：由题意知：，，
，
∴集合中元素个数为3.
故选：C.
3．（2021·江苏高一专题练习）设集合，，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
分别在集合中取，由此可求得所有可能的取值，进而得到结果.
【详解】
当，时，；当，时，；
当，或时，；当，时，；
当，或，时，；当，时，；
，故中元素的个数为个.
故选：B.
4．（2020·扬州中学教育集团树人学校）已知集合，且，则等于（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】
转化条件为或，验证集合元素的互异性即可得解.
【详解】
因为集合，且，
所以当即时，，不满足集合中元素的互异性；
当时，解得或（舍），此时，满足题意；
综上，.
故选：B.
5．（2021·江苏海安高级中学高一期中）已知集合，且，则实数的取值范围是___________；
【答案】
【分析】
根据题意，分析可得若，则有，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】
由于，且，
所以，即.
故答案为：
6．（2021·江苏高一课时练习）用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合
（1）所有能被3整除的自然数
（2）不等式的解集
（3）的解集
【答案】答案见解析．
【分析】
根据集合的表示法求解．
【详解】
（1），集合中元素个数无穷，不能用列举法表示；
（2），即，，
集合为，集合中元素有无数个，不能用列举法表示；
（3）集合可表示为，列举法表示为．
7．（2021·江苏高一课时练习）已知集合有三个元素：，，，集合也有三个元素：，，.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
【答案】（1）或；（2）.
【分析】
（1）根据元素的确定性和互异性可得或，即可求解；
（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.
【详解】
（1）由且， 所以
当时，可得，此时符合题意，
当时，可得，此时符合题意，
所以或，
（2）若，则或或，解得：或或，
由元素互异性可得：且，所以
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