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专题1.2 子集、全集与补集
考情分析
二、考点梳理
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3、空集的概念
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
4、全集与补集
（1）．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
（2）．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
若，则或，二者必居其一．
（3）．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
题型突破
重难点题型突破1 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合，3，，，，若，则实数__.
【答案】1或3
【分析】
利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.
【详解】
解：，，或，
解得，或或，
将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，
故或3.
故答案为：1或3
（2）．（2021·浙江高一期末）已知集合，则的子集有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
根据集合子集的个数计算公式求解.
【详解】
因为集合共有个元素，所以子集个数为个.
故选：D.
【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
【答案】D
【分析】
对进行分类讨论，结合求得的值.
【详解】
A={x|x2=1}={1，-1}.当a=0时，，满足B A；当a≠0时，B=，因为B A，所以=1或=-1，即a=±1.
综上所述，a=0或a=±1.
故选：D
【变式训练1-2】．（2021·上海高一专题练习）已知集合，则=（ ）
A．或 B．或3 C．1或 D．1或3
【答案】B
【分析】
利用集合的包含关系可得或，求出，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】
因为集合，，且，所以或，
若，则，满足；
若，则或，
当时，，满足；
当时，集合A中元素不满足互异性，舍去，
故选：B.
例2．（2021·上海高一专题练习）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（ ）
A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M
【答案】A
【分析】
根据集合元素的特征确定正确选项.
【详解】
对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈Z）；当n＝2k－1时，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.
故选：A
【变式训练2-1】．（2020·江西南昌二中高一期中）集合与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据表示所有的整数，表示所有的奇数，结合题中条件，即可得出结果.
【详解】
集合，，
因为表示所有的整数，表示所有的奇数，
所以.
故选：A.
重难点题型突破2 空集
例3．（1）（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一月考）下列六个关系式中正确的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
根据空集的概念及性质、集合相等的含义以及元素与集合、集合与集合的关系，判断各项的正误，即可知正确关系式的个数.
【详解】
空集是任意集合的子集，所以（1）、（6）正确；
由集合相等，即所含元素相同，所以（2）错误；
元素与集合只有属于、不属于关系，所以（3）错误；
而正确，错误，所以（4）正确，（5）错误；
∴共有3个正确.
故选：C
(2)．（2021·江苏）(多选题)下列集合的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
根据元素与集合的关系 集合与集合的关系 空集是任意集合的子集逐项判断.
【详解】
解：A．空集是任意非空集合的真子集，故A正确；
C.空集是任意集合的子集，因为是含有一个元素的集合，所以正确；
D.空集是空集构成的集合中的元素，满足属于关系，故D正确，
B中左边是空集，右边是含有一个元素的集合，不相等，B不正确；
故选：ACD.
【变式训练3-1】．(多选题）（2020·深州长江中学）下列各式中，正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】
利用集合间的关系及空集的性质，即可知各选项的正误.
【详解】
A中，集合与集合间没有从属关系，错误.
B中，是相等的集合，所以，正确.
C中，空集是任何集合的子集，正确.
D中，空集与一个非空集合不相等，错误.
故选：BC
【变式训练3-2】．（2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】
根据题意以及真子集定义分析得出有实数解即可得出答案.
【详解】
若是的真子集，则不是空集，即有实数解，故，即实数的取值范围是.
故答案为:
重难点题型突破3 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（2020·安徽省含山中学高一月考）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，，使.
【答案】（1）；（2）不存在.
【分析】
（1）转化条件为或，验证元素的互异性即可得解；
（2）按照、讨论，验证即可得解.
【详解】
（1）由题意，或，解得或，
当时，，不成立；
当时，，成立；
∴.
（2）由题意，，
若，则，，不合题意；
若，则，，不合题意；
∴不存在实数，，使得.
【变式训练4-1】．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一月考）设，若集合，求的值.
【答案】.
【分析】
由集合，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】
由题意，集合，可得，，
由两个集合相等定义可知，若，得，经验证，符合题意；
若，由于，则方程组无解，
综上可知，，，故.
【点睛】
本题主要考查了根据集合相等求参数，其中解答中熟记集合相等的概念，结合元素的互异性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
重难点题型突破4 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2021·上海高一专题练习）集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
【答案】，，，，，，，
【分析】
根据列举法写出子集，即可得出结果.
【详解】
集合的子集有：，，，，，，，，
其中除外，都是的真子集，共个.
故答案为：，，，，，，，；.
【点睛】
本题主要考查列举集合的子集，以及求真子集的个数，属于基础题型.
（2）．（2019·镇江市实验高级中学高一月考）集合的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】
先求得集合A，根据元素的个数，即可求得子集的个数，即可得答案.
【详解】
由，解得，
所以集合，含有2个元素
所以集合A的子集个数为.
故选：D
【变式训练5-1】．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）满足的集合的个数（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】B
【分析】
由，可得集合A是集合的子集且1在子集中，从而可求出集合A
【详解】
解：因为，
所以，
所以满足集合A的个数为8，
故选：B
【变式训练5-2】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
【答案】C
【分析】
根据子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数.
【详解】
解：由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有4个元素，
因此集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，
{1，2，3，4}，共8个.
故选：C．
重难点题型突破5 全集与补集及其运算
例6．（1）、（2021·江苏高一课前预习）已知全集U＝R，集合M＝{x|x<－2或x≥2}，则________.
【答案】
【分析】
由题意结合集合的补集运算，计算即可得解.
【详解】
因为全集U＝R，集合M＝{x|x<－2或x≥2}，
所以.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了集合的补集运算，考查了运算求解能力，属于基础题.
（2）．（2020·贵阳市清镇养正学校高一期中）设集合，则=
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由补集的概念，得，故选C．
【考点】集合的补集运算
【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．
【变式训练6-1】．（2020·翁牛特旗乌丹第二中学高一期中）设全集，集合，则__________．
【答案】或
【分析】
根据补集的定义，利用数轴观察集合在全集下的补集.
【详解】
因为，，所以或.
【点睛】
集合中求补集时，要注意端点是否可取到.
【变式训练6-2】．（2021·江苏高一课前预习）已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.
【答案】a≤﹣1
【分析】
求出 UA，再利用集合的包含关系即可求解.
【详解】
因为A＝{x|﹣1≤x≤1}，所以 UA＝{x|x＞1或x＜﹣1}，
B＝{x|x﹣a＜0}＝{x|x＜a}
若B UA，则a≤﹣1.
故答案为：a≤﹣1.
重难点题型突破6 根据两个集合之间的关系求参数范围
例7．（2019·金华市江南中学高一月考）集合，集合，若，求实数的值．
【答案】或
【分析】
将代入方程，从而可求的值.
【详解】
，
因为，故，所以，
整理得到，解得或.
【点睛】
本题考查集合的包含关系，注意将包含关系转化为参数满足的方程，本题属于基础题.
例8、（2020·江苏省海头高级中学高一月考）设为实数，若全集，，.
（1）若，借助数轴求实数的取值范围；
（2）若，借助数轴求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果；
（2）本题可根据得出结果.
【详解】
（1）因为，所以，
因为，，如图，
所以，实数的取值范围为.
（2）因为，，，如图，
所以，实数的取值范围为.
四、定时训练（30分钟）
1．（2016·江西南昌·高三月考（文））集合A={﹣1，5，1}，A的子集中，含有元素5的子集共有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【详解】
试题分析：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得结论．
解：由集合A中的元素有﹣1，5，1共3个，含有元素5的子集，可能含有﹣1，1，代入公式得：22=4，
故选B．
考点：子集与真子集．
2．（2020·上海高一单元测试）定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
【答案】1024 1022
【分析】
先判断中有几个元素，再判断有多少个子集；非空真子集个数为子集个数减.
【详解】
由的定义知：
若，，
则，
子集个数为，非空真子集个数为.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查集合子集、真子集个数的判断问题，较简单.一般地，对于含一个有个元素的集合，其子集个数为个，真子集个数为个，非空真子集为个.
3．（2022·上海高三专题练习）设，且M，则_______，________．
【答案】
【分析】
根据题意得到，解得答案.
【详解】
M，则，解得，.
故答案为：；.
【点睛】
本题考查了根据集合的包含关系求参数，意在考查学生的计算能力.
4．（2020·江苏仪征市第二中学高一月考）集合的子集共有___________个.
【答案】
【分析】
将子集一一列出即可．
【详解】
集合，0，的子集有：，，，，，，，，，，
，0，共8个
故答案为：．
5．（2020·扬州大学附属中学高一月考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，则集合有___________个子集.
【答案】8
【分析】
根据条件求出集合即可.
【详解】
因为，
所以
所以集合有个子集
故答案为：8
【点睛】
本题考查的是集合的新定义的题和集合的子集个数，较简单.
6．（2019·江苏扬州中学（文））设，，若，则实数组成的集合_____．
【答案】
【分析】
先求出A的元素，再由B A，分和B≠φ求出a值即可.
【详解】
∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，
∴A＝{3，5}
又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，
∴①时，a＝0，显然B A
②时，B＝{}，由于B A
∴
∴
故答案为{}
【点睛】
本题主要考查由集合间基本关系求参数值或范围的问题，属于基础题．
7．（2015·江苏高邮·）已知集合，则_______．
【答案】
【解析】
试题分析：集合A的补集为全集中不在集合A中的元素构成的集合，所以
考点：集合的补集
8．（2021·江苏高一单元测试）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
【答案】（1）详见解析；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据方程为一次方程与二次方程分类讨论，对应求解得结果，（2）根据方程无解条件列不等式，解得结果，（3）A中至多只有一个元素就是A为空集，或有且只有一个元素，所以求（1）（2）结果的并集即可.
【详解】
（1）若A中只有一个元素，则方程ax2+2x+1=0有且只有一个实根，
当a=0时，方程为一元一次方程，满足条件，此时x=-，
当a≠0，此时△=4-4a=0，解得：a=1，此时x=-1，
（2）若A是空集，
则方程ax2+2x+1=0无解，
此时△=4-4a＜0，解得：a＞1.
（3）若A中至多只有一个元素，
则A为空集，或有且只有一个元素，
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是：a=0或a≥1.
【点睛】
本题考查方程的解与对应集合元素关系，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．（2019·江苏扬州中学高二月考（文））函数的定义域为,定义域为.
（1）求；
（2）若, 求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求函数的定义域，就是求使得根式有意义的自变量的取值范围，然后求解分式不等式即可；
（2）因为，所以一定有，从而得到，要保证，由它们的端点值的大小列式进行计算，即可求得结果.
【详解】
（1）要使函数有意义，
则需，即，
解得或，
所以；
（2）由题意可知，因为，所以，
由，可求得集合，
若，则有或，
解得或，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
该题考查的是有关函数的定义域的求解，以及根据集合之间的包含关系确定参数的取值范围的问题，属于简单题目.
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专题1.2 子集、全集与补集
考情分析
二、考点梳理
1．子集
（1）子集的概念
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中___________都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A含于B”（或“B包含A”）． 用Venn图表示AB如图所示：
（2）子集的性质
①任何一个集合是它自身的子集，即．
②传递性，对于集合，，，如果，且，那么．
2．真子集
（1）子集的概念
如果集合，但存在元素___________，我们称集合是集合的真子集，记作（或）．
如果集合是集合的真子集，在Venn图中，就把表示的区域画在表示的区域的内部．如图所示：
（2）真子集的性质
对于集合，，，如果，，那么．
辨析：子集与真子集的区别：若，则或；若，则．
3、空集的概念
（1）．空集的概念
我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作，并规定：空集是任何集合的子集．
（2）．空集的性质
（1）空集是任何集合的___________，即；
（2）空集是任何非空集合的___________，即．
注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．
【知识拓展】
若有限集A中有n个元素,则集合A的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1.
2.奇数集：.
4、全集与补集
（1）．全集的概念
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．
说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集看作全集．
（2）．补集的概念
对于一个集合A，由全集U中___________集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即．用Venn图表示如图所示：
说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是
全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个
概念．
若，则或，二者必居其一．
（3）．全集与补集的性质
设全集为U，集合A是全集U的一个子集，根据补集的定义可得：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
题型突破
重难点题型突破1 求集合的子集和真子集
（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A B，否则A不是B的子集；
其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B A，否则B不是A的子集；若既有A B，又有B A，则A＝B．
（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素；
对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn图进行快速判断．
例1．（1）、（2020·贵州省铜仁第一中学高一期中）已知集合，3，，，，若，则实数__.
（2）．（2021·浙江高一期末）已知集合，则的子集有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式训练1-1】．（2021·上海高一专题练习）集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B A，则实数a的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．0或±1
【变式训练1-2】．（2021·上海高一专题练习）已知集合，则=（ ）
A．或 B．或3 C．1或 D．1或3
例2．（2021·上海高一专题练习）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（ ）
A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M
【变式训练2-1】．（2020·江西南昌二中高一期中）集合与之间的关系是（ ）
A． B． C． D．
重难点题型突破2 空集
例3．（1）（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一月考）下列六个关系式中正确的个数是（ ）
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)．（2021·江苏）(多选题)下列集合的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-1】．(多选题）（2020·深州长江中学）下列各式中，正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】．（2021·江苏扬中市第二高级中学高一开学考试）若是的真子集，则实数的取值范围是_________．
重难点题型突破3 集合相等
从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．
例4．（2020·安徽省含山中学高一月考）已知集合，集合.
（1）若，求的值；
（2）是否存在实数，，使.
【变式训练4-1】．（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一月考）设，若集合，求的值.
重难点题型突破4 子集和真子集个数问题
1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：
（1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：和自身；
（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．
【名师点睛】如果有限非空集合中有n个元素，则：
（1）集合的子集个数为；
（2）集合的真子集个数为；
（3）集合的非空子集个数为；
（4）集合的非空真子集个数为．
例5．（1）、（2021·上海高一专题练习）集合的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.
（2）．（2019·镇江市实验高级中学高一月考）集合的子集个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练5-1】．（2020·江苏省板浦高级中学高一月考）满足的集合的个数（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【变式训练5-2】．（2020·西安市第八十三中学高一月考）满足的集合有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．16个
重难点题型突破5 全集与补集及其运算
例6．（1）、（2021·江苏高一课前预习）已知全集U＝R，集合M＝{x|x<－2或x≥2}，则________.
（2）．（2020·贵阳市清镇养正学校高一期中）设集合，则=
A． B． C． D．
【变式训练6-1】．（2020·翁牛特旗乌丹第二中学高一期中）设全集，集合，则__________．
【变式训练6-2】．（2021·江苏高一课前预习）已知集合U＝R，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x﹣a＜0}，若满足，则实数a的取值范围为__.
重难点题型突破6 根据两个集合之间的关系求参数范围
例7．（2019·金华市江南中学高一月考）集合，集合，若，求实数的值．
例8、（2020·江苏省海头高级中学高一月考）设为实数，若全集，，.
（1）若，借助数轴求实数的取值范围；
（2）若，借助数轴求实数的取值范围.
四、定时训练（30分钟）
1．（2016·江西南昌·高三月考（文））集合A={﹣1，5，1}，A的子集中，含有元素5的子集共有
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
2．（2020·上海高一单元测试）定义且，若，，则的子集个数为_______________，非空真子集个数为_______________.
3．（2022·上海高三专题练习）设，且M，则_______，________．
4．（2020·江苏仪征市第二中学高一月考）集合的子集共有___________个.
5．（2020·扬州大学附属中学高一月考）设P，Q为两个非空实数集合，定义集合，若，则集合有___________个子集.
6．（2019·江苏扬州中学（文））设，，若，则实数组成的集合_____．
7．（2015·江苏高邮·）已知集合，则_______．
8．（2021·江苏高一单元测试）已知集合A={x|ax2+2x+1=0，a∈R}，
（1）若A只有一个元素，试求a的值，并求出这个元素；
（2）若A是空集，求a的取值范围；
（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
9．（2019·江苏扬州中学高二月考（文））函数的定义域为,定义域为.
（1）求；
（2）若, 求实数的取值范围.
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