秘密★启用前
“四省八校”2022 届高三第一学期期中质量检测考试
理科数学
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前,务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上
无效。
3. 考试结束后,将答题卡交回。
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1. 已知集合 S = {x | - x ≥ 3},T = {x | x2 < - x},则( RS) ∩ T = ( )
A. {x | x < - 3} B. {x | x > 1} C. {x | - 1 < x < 0} D. {x | - 3 < x < - 1}
2. 已知命题 p:设 x0 为实数, x0 > 0,ln(x0 + 1) < 0;命题 q:a,b 为实数,若 a > | b | ,则 a2 > b2,
则下列命题为真命题的是( )
A. p ∧ q B. p ∧ q C. p ∨ q D. p ∨ q
3. 函数 f(x) = a- (a∈R且 a≠ 0),设甲:f(x) 在(1,
+ ∞ ) 上递减,乙:a > 1,则甲是乙的( )x 1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. y = x + lnx已知曲线 在点(1,1) 处的切线与直线 x + 2y = 0 垂直,则 k 的值为( )
k
A. 1 B. - 1 C. 1 D. - 1
2 2
5. 已知实数 a,b,c,满足 a > b > 1 > c > 0,则下列结论正确的是( )
1 2 2
A. ca > cb B. logac < logbc C. log 31 a < a D. a 3 < b 3
3
ì2x - y ≤ 0
x - 3y + 5 ≥ 0 x y
6. 已知实数 x,y 满足 í ,则 z = ( 1 ) ( 1 ) 的最小值为( )
x > 0 4 2
y > 0
A. 1 B. 1 C. 1 D. 2
8 16
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7. 若 x1、x2 是方程 ln2x - lnalnx - lnb = 0 的两个不相等的实数根,则 x1·x2 的值为( )
A. a B. b C. ea D. eb
8. 数列{a } 满足 a = a + a 对任意 m,n ∈ N n m+n m n 恒成立,且 a1 为常数,若 Sn 是{an} 的前 n 项和,
且 S10 = 4,S100 - S90 = 30,则 S100 = ( )
A. 150 B. 160 C. 170 D. 180
9. 已知 f(x) = sin(ωx + π ) + cosωx ( ω > 0),将 f(x) 图象上的横
6
坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变时),得到 g(x) 的图象。
g(x) 的部分图象如图所示( D、C 分别为函数的最高点和最低
→ 2
点): C→其中 A·C→B = AD ,则 ω = ( )
2
A. π
B. π C. π D. 2π
4 2
10. 若倾斜角为锐角的直线 L: y = kx + 2 + 1 与圆 C: x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 交于 A、B 两点,当
三角形 ABC 的面积最大时,直线 L 的斜率为
A. 2 2 B. 2 C. 2 + 1 D. 1
x2 211. 过双曲线 - y =2 2 1 (a > 0,b > 0) 的右焦点 F 作双曲线渐近线的垂线段 FM ,垂足为 M,线a b
→ →
段 FM 与双曲线交于点 A,且满足 FA = 2AM ,则双曲线的离心率 e 等于( )
+
A. 2 B. 3 C. 5 D. 3 1
2
12. 若 n > 3 且 n ∈ N,则下列选项中正确的是( )
+ +
A. logn(n + 1) < logn+1(n + 2) B. (
n 1) n > (n 2) n+1
n n + 1
n + n+1 +
C. n·sin 2π < (n + 1)·sin 2π n 1 n 1
n n +
D.
1 nn+1
<
+ 1 nn+2 + 1
第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13. 已知 tan(π + θ) = 2, π则 sin (2θ + ) = 。4
→ → → → → →
14. 已知向量 a = (x,1 ) ,b = (1, - 2 ) ,若 a ∥ b ,则 | a - 2b | = 。
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x + x
15. 已知函数 f(x) 1 2在区间 M 上有定义, 如果对于任意的 x1、x2 ∈ M, 都有 f( ) ≥2
f(x1) + f(x2) x + x, 则 称 f(x) 1 2为 上 凸 函 数。 若 f(x) 为 上 凸 函 数, 则 f( ) ≥
2 2
f(x1) + f(x2) x1 + x2 + … + xn f(x1) + f(x2) + …f(x f( ) ≥ n
)
(n为任意大于 2 的正整数)。
2 n n
①f(x) = sinx 3 3在(0,π) 上为上凸函数;② 在 △ABC 中,sinA + sinB + sinC ≥ ;③f(x) = lnx
2
n + 1 n
为上凸函数;④ > n (n ≥ 2,n ∈ N)。 上述四个命题为真命题的为 。
2
16. 过点 M( -1,2)作抛物线 y2 = 4x的两条切线,切点分别为 A、B 两点,则 AB 的中点到抛物线准线
的距离为 。
三、解答题(本在题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
(一)必考题:共 60 分。
17. (12 分)已知 a,b,c 分别是 ΔABC 的内角 A,B,C 所对的边, 3a(bcosA + acosB) = 4(ccosA +
acosC)c ,再从下面条件①与②中任选 1 个作为已知条件,完成以下问题:
(1)证明: ΔABC 为锐角三角形;
(2)若 C→A·C→B = 8, CD 为 ΔABC 的内角平分线,且与 AB 边交于 D ,求 CD 的长。
① cosC = 2 ;② cosA = 1 .
3 9
18. (12 分)设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 = 2, an+1 = 3Sn + 1,数列 {bn} 满足 a1 = b1,点
P(bn,bn+1) 在直线 x - y + 2 = 0 上,n ∈ N 。
(1)求数列 {an} , {bn} 的通项公式;
(2)记 Cn = anbn ,求数列 {Cn} 的前 n 项和。
2 2
19. (12 x y分)在直角坐标系 xoy 中,椭圆 + =2 2 1 (a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 和 F2,若 Aa b
为椭圆上动点,直线 AF 32 与椭圆交于另一点 B,若三角形 ABF1 的周长为 8,且点 (1, - 2 ) 在椭
圆上;
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线 F1A 、 F1B 与直线 x = 4 分别交于点 M、N,记直线MF2 和直线 NF2 的斜率分别为 k1 和
k 52,若 k1k2 = ,试求直线 AB 的斜率.4
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20. (12 ) f(x) = 1 x3 + 3分 已知函数 x2 + 2x + m ;
3 2
(1)求函数 f(x) 的单调区间;
3 3
(2)若存在区间 [a,b] ,使得 f(x) 的值域为 [ a + 4ln(a + 1),b + 4ln(b + 1)] ,求实数 m 的
3 3
取值范围。
21. (12 分)已知函数 f(x) = ex + xlnx - k(x + 1) 2 - x + 1,
(1)证明: ex ≥ ex
(2)若对任意 x > 0 都有 f(x) ≥ 0,求 k 的最大值。
(二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
x = 1 + cosα
在直角坐标系 xOy 以中,直线 l1:x = 0,圆 C 的参数方程为 { ,a 为参数 ,以坐y = 1 + 2 + sina
标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系;
(1)求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程;
(2)若直线 l π2 的极坐标方程为 θ = (ρ∈R) ,设 l1, l2 与圆 C 的公共点分别为 A,B ,求 AB 的4
值。
23. [选修 4—5]不等式选讲(10 分)
设函数 f(x) = 2x - 1 + x + 1 .
(1)求不等式 f(x) < 3 的解集;
(2)设 a,b 是两正实数,若函数 f(x) 的最小值为 m ,且 a + 2b = m 。 求证: a + 2b ≤ 3 。
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理科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的)
1. 答案: C S = {x | x ≤- 3} , RS = {x | x > - 3} ,T = {x | - 1 < x < 0} ,故选 C。
2. 答案:p 假 q 真,故选 C
3. 答案:B,若 f (x ) 在 (1, + ∞ ) 递增,则 a > 0,从而甲是乙的必要不充分条件,故选 B
4. 选 A 解析:y′ = + lnx y′ | ·( - 1x = 1 ) = - 1 y′ |
1
k 2 x = 1
= 2 1 + = 2 k = 1
k
5. 答案:C,由 y = cx(0 < c < 1) 为 R上 ↓ 故 ca < cb;由 y = logax和 logbx(a > b > 1) 图像知 B错,
1 2
由 log 1 a < 0,a 3 > 0,C 正确,由 y = x 3 为(0, + ∞ ) 增函数,故 D 错
3
6. B 【考查目标】 本题主要考查指数运算与线性规划的知识,考查考生的数形结合能力以及转化能
力。 考查的核心素养是直观想象、数学运算。
x y
【解析】 因为 z =( 1 ) ( 1 ) = 2 -2x·2 -y = 2 -(2x+y) ,所以本题求 z 的最小值,关键是求 z′ = 2x + y,
4 2
的最大值。 画出题设不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示(不包含坐标轴),作出直线
2x - y = 0 x = 1
2x + y = 0 并平移可知,当直线经过点 B 时,z′取得最大值。 解方程组{ 得 ,所x - 3y + 5 = 0 {y = 2
以点 B 的坐标为(1,2),所以 z′max = 2 × 1 + 2 = 4,所以 zmin = 2
-4 = 1 。
16
7. 选 A 解析:x1、x2 是方程ln2x - lnalnx - lnb = 0 的两根 lnx1、lnx2 是 t2 - lna·t - lnb = 0 的两
根,由韦达定理 t1 + t2 = lnx1 + lnx2 = ln(x1x2) = lna x1x2 = a
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8. 选 C 解:已知{an} 为等差数列,又由 S10,S20 - S10,…,S100 - S90 也是等差数列,
从而 S100 = S10 + (S20 - S10) + … + (S100 - S90),
= 10 × (4 + 30) . 选 C
2
9. 3 3选 C 解:由 f(x) = sinωx × + cosωx × = 3 sin(ωx + π ),
2 2 3
∴ g(x) = 3 sin( 1 π → →
→ 2
ωx + ),由CA·CB = | AD | ,
2 3 2
→ 2
即 | CA | 2·cos∠ACB = AD
2
∴ cos∠ACB = 1 ,∴ ΔACB 为正三角形,又 ΔABC 的高为 3 ,∴ | AB | = 2
2
∴ T = 2 × 2 = 4,∴ 2π即 = 4π = 4,∴ ω = π,选 C。
1 ω ω
2
10. 答案:选 A;解析:易得直线 L 过点 P(0, 2 + 1),且在圆 C 内,
圆 C 的圆心为(1,1),半径 R = 2,S = 1ΔABC R2sin∠ACB ≤ 2,2
当 AC ⊥ BC 时,面积最大,此时 | AB | = 2 2 ,圆心到直线 L 的
= +d 2 , d = | k 2 |距离 故由 = 2 且 k > 0,解得 k = 2 2 ,故选 A
k2 + 1
11. 选 C,解析:如图,在直角三角形OMF中, | OF | = c, tan∠FOM
= b ,
a
故 | MF | = b, | OM | = a,过 M、A 分别作 OF 的垂线,垂足分别
为 N、B,
则 | MN | = ab, F→又 A = 2A→M,故 | AB | = 2 | MN | = 2ab,
c 3 3c
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2 2
| BF | =| AF | sin∠BAF = 2 b·sin∠MOF = 2b , 2b 2ab故可得点 A 的坐标为(c - , ),
3 3c 3c 3c
2 2 2
(c - 2b ) (2ab)
3c - 3c
2
所以 =2 2 1 ,
e 2
整理得( + ) - 4 = 1,解得 e = 5 ,选 C.
a b 3 3e 9e2
12. 选 C 解析:
logn+1(n + 2) logn+1(n + 2) + logn+1n 2 (logn+1n(n + 2))
2
=
+ log (n
+ 2)·log n ≤ ( ) =
logn(n 1)
n+1 n+1 2 4
[logn+1(n + 1) 2] 2< = 1 故 A 错误;
4
n n (1 +
1 ) + (1 + 1 ) + …(1 + 1 ) ++ 1n 1 1 n n n n+1( ) =(1 + ) ·1 ≤ [ ] n+1 =(n
+ 2
+ + ) 故 B 错n n n 1 n 1
误;
在单位圆中,内接正 n边形的面积小于内接正(n + 1) 边形的面积(必修三阅读材料割圆术),则
S = n· 1 ·1·1·sin 2πn < Sn+1 = (n + 1)·
1 ·1·1·sin 2π+ ,故 C 正确;2 n 2 n 1
nn + 1 nn+1= + n n
n+1 + 1
nn+1 + 1 nn+2
>
+ n nn+2
故 D 错误
+ 1
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上.
13. 解:由 tanθ = 2,sin2θ = 2sinθcosθ = 2tanθ = 4
sin2θ +cos2
.
θ tan2θ + 1 5
cos2cos2θ = θ
- sin2θ 1 -, tan
2θ = 1 - 4 = - 3
cos2θ + sin2θ 1 + tan2θ 1 + 4 5
sin (2θ + π ) = 4 × 2 + ( - 34 5 2 5 ) × 2 = 2 .2 10
→ → → → → →
14. 答案:5 5 a / / b,∴ x = - 1 ,∴ a - 2b = ( - 5 ,5 ) ,∴ | a - 2b | = 5 52 2 2 2
x + x x + x x
15. :①2sin 1 2 ≥ 2sin 1 2·cos 1
- x2
解析 = sinx1 + sinx2,故 ① 正确;由 ① 可知,f(x) = sinx2 2 2
+ +
(0,π) sin π = sin A B C ≥ sinA
+ sinB + sinC
在 上为上凸函数 ,故 ② 错误;当 x1、x3 3 3 2
为正
x1 + x, 2
x1 + x2 lnx1 + lnx2
数时 由均值不等式 ≥ x1x2 ln ≥ ,故 ③ 正确;由 ③ 可得 ln2 2 2
1 + 2 + 3 + …n = ln n
+ 1 > ln1
+ ln2 + ln3 + …lnn = lnn, n
+ 1 n
故 > n ,④ 成立。
n 2 n n 2
16. 答案:4;解析:设两条切线分别为 L1,L2,对应切点分别为 A (x1,y1 ) 、B (x2,y2 ) ,则由抛物线方程
可得直线 L1 的方程为 y1y = 2(x1 + x),又直线过点 M,故 2y1 = 2(x1 - 1),
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即 y1 = x1 - 1,同理可得 y2 = x2 - 1,故可得直线 AB 的方程为 y = x - 1,且过抛物线焦点(1. 0),
2
{y = 4x联立方程组 ,消去 y 得 x2 - 6x + 1 = 0,故 | AB | = x1 + x2 + 2 = 8,由抛物线定义和梯y = x - 1
1
形中位线定理可得,AB 中点到准线的距离 d = | AB | = 4.
2
三、解答题(本在题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (1) 方案一:选条件 ①
解:由正弦定理,3·sinA (sinBcosA + sinAcosB ) = 4 (sinCcosA + sinAcosC ) sinC
∴ 3sinAsin (A + B ) = 4sin (A + C ) sinC
又 sin (A + B ) = sinC ≠ 0,sin (A + C ) = sinB,∴ 3sinA = 4sinB,∴ 3a = 4b
令 3a = 4b = 12k
cosC = 2 = a
2 + b2 - c2 = (4k )
2 + (3k ) 2 - c2
由 ,∴ c = 3k …………3 分
3 2ab 2 × 4k·3k
b2 + c2 - a2 (3k ) 2= = + (3k )
2 - (4k ) 2 2
从而 a 最大,又 cosA = = 1 > 0
2bc 2·3k·3k 18 9
∴ ΔABC 为锐角三角形 …………………………………………………………6 分
(2) → →由CA·CB = bacosC = 8
∴ ab = 12
又 3a = 4b
∴ a = 4,b = 3
法一:由 cosC = 2 = 1 - 2sin2 C ,∴ sin C = 6
3 2 2 6
由 S △A BC = 2 5 = S△CAD + S△CBD,从而 2 5 =
1 × (3 × CDsin C + 4 × CDsin C2 2 2 )
∴ CD = 4 30 ………………………………………………………………12 分
7
: CA AD 3 3 3 9法二 由角平分线定理, = = ,从而 AD = AB = × 3 =
CB DB 4 7 7 7
在 △ADC 中,由余弦定理,CD2 = CA2 + AD2 - 2CA·ADcosA = 480,∴ CD = 4 30
49 7
方案二:选条件 ②
解:由正弦定理,3·sinA (sinBcosA + sinAcosB ) = 4 (sinCcosA + sinAcosC ) sinC
∴ 3sinAsin (A + B ) = 4sin (A + C ) sinC
又 sin (A + B ) = sinC ≠ 0,sin (A + C ) = sinB,∴ 3sinA = 4sinB,∴ 3a = 4b
2 + 2 - 2 2 + 2 - 2
令 3a = 4b = 12k,∴ cosA = 1 = b c a = (3k) c (4k)
9 2bc 2·3k·c
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2
从而 kc = c2 - 7k2,∴ 21k2 + 12kc - 3c2 = 0
3
∴ (3k - c)(7k + c) = 0,∴ c = 3k,∴ c = b
从而 a 1最大又 cosA = > 0,∴ △ABC 为锐角三角形
9
(2) 由C→A·C→B = bacosC = 8
∴ ab = 12
又 3a = 4b∴ a = 4,b = 3,c = 3. ,故 cosC = 2 ,以下同方案一
3
18. 解:(1) 由 an+1 = 3Sn + 1 ①
当 n 2 时, an = 3Sn-1 + 1 ②…………………………………………………………2 分
由 ① - ②,an+1 - an = 3an(n 2)
又 a2 = 7 ≠ 4a1
∴ {an} 是从第二项起是等比数列
2 n = 1
从而 an = { …………………………………………………………4 分7 × 4n-2 n 2
又 bn - bn+1 = - 2 而 bn+1 - bn = 2
∴ {bn} 是以 d = 2 为公差,b1 = 2 为首项的等差数列,
∴ bn = 2 + 2(n - 1) = 2n………………………………………………………………6 分
{4 n = 1(2)Cn = anbn = 14n·4n-2 n 2
∴ Tn = 4 + 14(2 × 40 + 3 × 41 + … + n × 4n
-2)
记 w = 2 × 40 + 3 × 41 + … + n × 4n-2①
4w = 2 × 41 + … + (n - 1) × 4n-2 + n × 4n-1②
由 ① - ②,∴ - 3w = 2 + (41 + 42 + … + 4n-2) - n × 4n-1
4 × (1 - 4n-2) n-1= 2 + - × n-1 = 2 + 4 (1
- 3n)
- n 4 …………………10 分1 4 3 3
n-1
∴ w =- 2 + 4 (3n
- 1)
9 9
× -
∴ T = 4 + 14w = 8 + 14 (3n 1)
× 4n-1
n ………………………………………………12 分9 9
19. 解析:(1) 由已知和椭圆的定义知:三角形 ABF1 的周长 = 4a,故 a = 2,………………2 分
x2 2
所以椭圆的方程为 + y =2 1 ,又点 (1, - 3 ) 1 9在椭圆上,故 + =2 1 ,解得 b = 3 , ……44 b 2 4 4b
分
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x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + = 1 ;……………………5 分
4 3
(2) 由已知可得直线 AB 的斜率不为 0,故可设直线 AB 的方程为 x = my + 1,令 A (x1,y1 ) ,
B (x2,y2 )
ì x = my + 1
联立方程组íx2 y2 ,消去 x 得:(3m2 + 4 ) y2 + 6my - 9 = 0…………6 分
+ = 1 4 3
6m 9
故有 y1 + y2 = - = -2 ,y1·y2 2 ……………………7 分3m + 4 3m + 4
y y
故 k = 1 = 2AF1 x1 +
,k ,
1 BF1 x2 + 1
y 5y
直线 F 11A 的方程为 y = ++ (x 1),解得与直线 x
= 4 的交点 M (4, 1 ,x1 1 x1 + 1 )
5y
同理解得 N (4, 2 ) ……………………9 分x2 + 1
5y 5y
故 k1 =
1 ,k 2
3(x + 1) 2
=
1 3(x2 +
,
1)
25y
k k = 1
y2 = 25
y
× 1
y2
1 2 9(x1 + 1)(x2 + 1) 9 (my1 + 2 ) (my2 + 2 )
= 25
y y
× 1 2
9 m2y1y2 + 2m (y1 + y2 ) + 4
- 9
= 25 × 3m
2 + 4
9 9m2- - 12m
2
+ 4
3m2 + 4 3m2 + 4
= - 25
16 - 9m2
- 25
故 = 52 ,解得 m = ± 2……………………11 分16 - 9m 4
1
所以直线 AB 的斜率 k = ± ……………………12 分
2
20. 解析: ⑴f′(x) = x2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2),易知,f(x) 的单调递增区间为( - ∞ , - 2) 和( -
1, + ∞ ),单调递减区间为( - 2, - 1)。 ……………………………………………4 分
⑵ 由题可知 a,b大于 - 1,并且 f(x) 在( - 1, + ∞ ) 单调递增。 假设存在区间[a,b],使得 f(x)
a3 3 3
的值域为[ + 4ln(a + 1),b + 4ln(b + 1)] y = f(x) 的图像与 y = x + 4ln(x + 1) 在( - 1,
3 3 3
理科数学参考答案·第6页·共8 页
+ ∞ ) 上有两个不同的交点。 m =-
3
即 x2 - 2x + 4ln(x + 1) 在( - 1, + ∞ ) 有两个不同的根。2
…8 分
令 g(x) = - 3 x2 - 2x + 4ln(x + 1),
2
2
则 g′(x) = - -
+ -
3x 2 + 4 = - 3x 5x 2 = - (3x
- 1)(x + 2)
+ + + ,所以 g(x) 在(
- 1, 1 ) 单调
x 1 x 1 x 1 3
1 2
递增,( , + ∞ ) 单调递减;所以 g(x)
1
max = g( ) = -
3 ( 1 ) - 2( 1 ) + 4ln 4 = - 1 + 4ln 4 ,
3 3 2 3 3 3 3 3
……10 分
当 x →- 1,g(x) →- ∞ ;x →+ ∞ ,g(x) →- ∞ ,
5 4
所以 m 的取值范围为( - ∞ , - + 4ln )。6 3
……………12 分
21. (1) 证明:令 g(x) = ex - ex,则 g′(x) = ex - e, g′(x) 单调递增并且 g′(1) = 0;所以 g(x) 在( -
∞ ,1) 单调递减, 在 (1, + ∞ ) 单调递增,g (x) = g(1) = 0 g(x) 0 exmin ex。
………………4 分
(2) 方法一:
由 f(1) 0 k ≤ e ,下证 k e的最大值为 ,
4 4
即证 ex + xlnx - e (x + 1) 2 - x + 1 0 对任意的正实数恒成立;…………………………6 分
4
h(x) = ex + xlnx - e令 (x + 1) 2 - x + 1,
4
则 h′(x) = ex + lnx + 1 - e (x + 1) - 1 = ex + lnx - e (x + 1) h″(x) = ex + 1 - e ,
2 2 x 2
当 x ∈ [1, + 1 e 1 e∞ ) 时,h″(x) = ex + - e + - > 0;………………………………8 分x 2 x 2
当 x ∈ (0,1) 时,ex > e0 = 1, 1 > 1, 1 e所 以 h″(x) = ex + - > 0;
x x 2
………………………………10 分
综上 h″(x) > 0 在(0, + ∞ ) 上恒成立 h′(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增;由 h′(1) = 0 可得,h(x)
在(0,1) 单调递减;在(1, + ∞ ) 单调递增。 可得 h(x) min = h(1) = 0 h(x) h(1) = 0,所以 k
e
的最大值为 。 ……12 分
4
方法二:
1
当 x > 0 时,由 ⑴ex ex e x e 1 1 1 + ln 1 lnx 1 - 1 xlnx x - 1(当且仅当
x x x x
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x = 1 时取等)
x 2 2 2
由 ⑴ex ex e 2 e x ex e2 x ex+1
+ +
e2 (x 1) ex e (x 1) (当且仅当 x = 1 时
2 4 4 4
取等)
综上,ex + xlnx e (x + 1) 2 + x - 1(当且仅当 x = 1 时取等),所以 k e的最大值为 。
4 4
22. 解:(1) ∵ x = ρcosθ,y = ρsinθ,∴ 直线 l1 的极坐标方程为 ρcosθ = 0,
即 θ = π (ρ ∈ R) . 圆 C 的普通方程为 x2 + y2 - 2x - 2(1 + 2 )y + 3 + 2 2 = 0
2
圆 C 的极坐标方程为 ρ2 - 2ρcosθ - 2(1 + 2 )ρsinθ + 3 + 2 2 = 0. ……………………(4 分)
(2) 将 θ = π 代入 ρ2 - 2ρcosθ - 2(1 + 2 )ρsinθ + 3 + 2 2 = 0,
2
得 ρ2 - 2(1 + 2 )ρ + 3 + 2 2 = 0,解得 ρ1 = 1 + 2 ……………………(6 分)
将 θ = π 代入 ρ2 - 2ρcosθ - 2(1 + 2 )ρsinθ + 3 + 2 2 = 0
4
得 ρ2 - 2(1 + 2 )ρ + 3 + 2 2 = 0,解得 ρ2 = 1 + 2 . ……………………(8 分)
在 △OAB 中由余弦定理得, | AB | 2 = ρ21 + ρ22 - 2ρ1ρ
π
2cos ∴ | AB | = 2 + 2 (10 分)4
23. 【考查目标】 本题主要考查绝对值不等式的解法和证明,考查考生的化归与转化能力和运算求
解能力,考查的核心素养是数学运算。
ì- 3x,x ≤- 1
- x += 2,
- 1 < x < 1
解:(1) 由 f(x) í 2 ,得解集为( - 1,1)……………………(5 分)
3x,x
1
2
(2) 由 f (x ) 图像知, f x 3( ) 最小值 ,则 a + 2b = 3 ……………………(7 分)
2 2
法一:要证 a + 2b ≤ 3 ,等价于证明 a + 2 2ab + 2b ≤ 3,等价于证明:2 2ab ≤ 3
2
由均值不等式,a + 2b ≥ 2 2ab ,得证。 当且仅当 a = 2b 取等 (10 分)
2
法二:由柯西不等式:(a + 2b)(1 + 1) ( a + 2b ) ,得 a + 2b ≤ 3 ,当且仅当 a = 2b 取
等
【方法总结】 解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号。
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