“四省八校”2022 届高三第一学期期中质量检测考试
文科数学参考答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合
题目要求)
1. B 【解析】 A = {x | - 1 ≤ x < 5} ,∴ A ∩ B = { - 1,1,2} 。
2. B 【解析】A 项单增;C 项在 ( - ∞ ,0) 单增, (0, + ∞ )
π π
单减;D 项在 (kπ - ,kπ + ) , k ∈ Z
2 2
上单减。
3. C【解析】 S9 = 9a5 = 18,∴ a5 = 2 又 a2 + a6 = 2a4 = 6 ∴ a4 = 3
∴ 公差 d = a5 - a4 = - 1, an = a4 + (n - 4)·d = 7 - n ,∴ a3n = 7 - 3n
4. A 【解析】 (2m - 1)m + 3m = 0,∴ m =- 1 或 m = 0,检验成立。
5. A 【 】 1 < 1解析 < 0 b < a < 0, ab < b2 b(a - b) < 0,∴ 是充分不必要条件
a b
-
6. D 【解析】 f′(x) = a. 1 lnx2 ,∴ f′(1) = a = 3,又 f(1) = b = 3,∴ a + b = 6x
→ →
7. A 【解析】当 a 与 b 方向相反时,不相等,P 为假命题。 令 t = sinx ∈ 2[ - 1,0 ) ,则 y = t + 在 t ∈
t
[ - 1,0) 上单减,∴ ymax = - 3, q 为真命题。
8. C 【解析】∵ y = f(x - 1) 关于 x = 1 对称,∴ y = f(x) 关于 y 轴对称, y = f(x) 为偶函数
又 y = f(x - 1) 在 (1, + ∞ ) 上单增,∴ y = f(x) 在 (0, + ∞ ) 上单增。
1 1
a = - log43 ∈ ( - 1,0) ,∵ b6 =(4 3 ) 6 = 16, c6 =(e 2 ) 6 = e3 > 16,
∴ c > b > 1,∴ f(c) > f(b) > f(a)
9. B 【 】 f(x) = - sinx·cosx + 3解析 (2cos2x - 1) = - 1 sin2x + 3 cos2x = - sin(2x - π )
2 2 2 3
∵ f( π ) = 0∴ ( π ,0) 是 f(x) 的一个对称中心。
6 6
10. A 【解析】以 {A→B·A→D} , A→B·(A→B +A→为基底 D) = 3A→B·A→D
A→B2 = 2A→B·A→D = 2 | A→B |·| A→D |·cos π ∴ | A→B | =| A→D |
3
∴ ABCD 是菱形 ∠ACB= 30° ∴ < C→A·C→B > =30°
11. D 【解析】 ∠AOB = x = 2x ∴ tan∠AOB = tan2x = 2tanx = 4
1 1 - tan2x 3
2
2 - 2
∴ tan(β + π ) = 4 ∴ tanβ = 1 cos2β = cos β sin β
2
= 1 - tan β = 24
4 3 7 cos2β +sin2β 1 + tan2β 25
文科数学参考答案·第1页·共6 页
12. D 【解析】由 x2 + y2 = 2· (x - 1) 2 +(y + 1) 2 得 x2 + y2 - 4x + 4y + 4 = 0 即为 P 的轨
迹 C1,由 C1 - C2 得公共弦所在直线 AB 方程为: x - y + a = 0,又 C1:(x - 2) 2 +(y + 2) 2 = 4,
3 2 2C1(2, - 2) , r1 = 2, C2:(x - ) +(y +
3 ) = 1 - a C 3 32( , - ) r2 =
1 - a
2 2 2 2 2 2
∴ 1 - a > 0a < 1 ①; 因为两圆有两个公共点,所以 | r1 - r2 | < | C1C2 | < | r1 + r2 | 2 2
∴ | 2 - 1 - a | < 2 < 2 + 1 - a ∴ - 4 - 2 2 < a < - 4 + 2 2 ②
2 2 2
又因为 C1 上至多有 3 个不同点到直线 AB 距离为 2
所以 C1(2, - 2) 到直线 AB 距离 d ≥ 2 - 2 ∴
| 4 + a | ≥ 2 - 2
2
∴ a ≥- 6 + 2 2 或 a ≤- 2 - 2 2 ③
由①②③得 - 4 - 2 2 < a ≤- 2 - 2 2 或 - 6 + 2 2 ≤ a < - 4 + 2 2
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13. (2,2) 解析:令 z = x + y ,则 y = - x + z 过 A(2,2) 时, z 取得最大值,此时最优解为 (2,2) 。
{x = 2(或 )y = 2
→ → → →
→ → →
14. - 10 : a b | a |· a·b a·b
- 1
解析 与 上的投影为 = = = - 10
10 → → →| a | | b | b 10 10
2
15. é πê ùê ,πúú 解析:设 t = sinx ,则 y = - 4t
2 + 4t = - 4 t - 1 + 1 ∵ y ∈ [0,1 ] ,x ∈ [0,a ] ,
6 ( 2 )
∴ t 1必须取到 ,∴ a ≥ π , x = 0 , t = 0,y = 0,∴ a ≤ π ,∴ π又 时 ≤ a ≤ π
2 6 6
16. ( - 1 ,0 ) 解析:由 xf′(x) - (2f(x) = x2 xf′ x ) - 2f (x ) = 1得 ,2e x3 x
f (x )
可逆向构造方程 = + (2 lnx c ∴ f x ) = x
2 lnx + cx2
x
又 f (1 ) = c = 0 ∴ f (x ) = x2 lnx f′(x ) = 2xlnx + x = x (2lnx + 1 )
- 1 - 1 1
f (x ) 在 (0,e 2 ] 单减, (e 2 , +
-
∞ ) 单增, f
1
(e 2 ) = - f (1 ) = 0
2e
x → 0 时, f (x ) → 0 ∵ f (x ) = a 有两个零点 ∴ -
1 < a < 0
2e
文科数学参考答案·第2页·共6 页
三、解答题:共 70 分,解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。 第 17 ~ 21 题为必考题。
每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
S
17. :(1) 4 = 1 + q2 = 5 , ∵ q > 0,∴ q = 1解 ,……3 分
S2 4 2
a = 1
n+2
1 ……4 分 ∴ a =
1 ……5 分
8 n ( 2 )
n+2
(2) bn =log
1
2 ( ) = - (n + 2) ,……6 分2
∴ 1 = 1 = 1 · 1 = 1 1 - 1 ,……8 分
b2n·b2n+2 (2n + 2 ) (2n + 4) 4 (n + 1 ) (n + 2 ) 4 (n + 1 n + 2 )
∴ T = 1 ( 1 - 1 + 1 - 1 +···+ 1 - 1 1n =4 2 3 3 4 n + 1 n + 2 ) 4 ( 1 - 1 = n+ ) + ……12 分2 n 2 8n 16
-
18. 解:(1) a x定义域 (0, + ∞ ) , f′(x) = 2 …………1 分x
① a ≤ 0, f(x) 在 (0, + ∞ ) 上单减;………………3 分
② a > 0, f(x) 在 (0,a ) 上单增, (a, + ∞ ) 单减;…………5 分
(2)由(1)知:① a ≤ 1 时, f(x) 在 é 1ê ,eù 1ê úú 单减, f(x) max = f ( ) = 2 - ea ;…………7 分e e e
② a ≥ e 时, f(x) 在 é 1 ùêê ,eúú 单增, f(x) max = f
a
(e) = - ;…………9 分
e e
③ 1 < a < e 时, f(x) 1在 é ùêê ,aúú 单增, (a,e] 单减, f(x) max = f (a ) = - lna ;…………11 分e e
ì - a a ≥ e
e
综合 g(a) = í- lna
1 < a < e . ………………12 分
e
2 - ea a ≤
1
e
19. :(1) 7 sinC·sinA = sinA - 2sinA·cos2 ( π + C解 2 2 ) ,
∵ sinA ≠ 0,∴ 7 sinC = 1 - 2sin2 C = cosC ,
2
∴ tanC = 7 …………………………3 分
7
在 ΔABC 中, sinC = 2 cosC = 14 ,……4 分
4 4
AD2 = ( ) 22 2 + ( 27 - 2 ) - 2 × 2 2 × ( 7 - 2 ) ×
14 = 5,
4
文科数学参考答案·第3页·共6 页
∴ AD = 5 …………………………6 分
(2) 在 ΔABC 中, AB = AC ∴ sinB = 2 , ∴ B = π B = 3π或 ………………8 分
sinC sinB 2 4 4
+
当 B = π 时, sin∠BAC = sin ( π + C4 4 ) = 7 1 ,4
S = 1
+
· 2 ·2 2 · 7 1 = 7
+ 1 ,………………10 分
2 4 2
B = 3π
-
当 时, sin∠BAC = sin (3π + C ) = 7 1 ,4 4 4
- -
S = 1 · 2 ·2 2 · 7 1 = 7 1 ,
2 4 2
7 +: S 1 7
- 1
综合 面积 为 或 . ……………………12 分
2 2
ì c 1
=
20. 解:(1)由题意知, í a 2 , ……2 分
a + c = 3
a = 2 2 2
∴ { ,∴ b = 3 ,∴ x + y = 1……4 分c = 1 4 3
2 2
(2)∵ F (1,0 ) ,设 l:y = k x - 1 , x + y( ) 与 = 1
4 3
联立得 (3 + 4k2 ) x2 - 8k2x + 4k2 - 12 = 0
2 2
设 A (x1,y1 ) ,B (x2,y2 ) ,A′(x1, - y1 ) , x1 + x2 =
8k , x1x2 =
4k - 12
2 ……5 分3 + 4k 3 + 4k2
y
BA′ : y + y = 2
+ y1
直线 方程为 1 (x - xx - x 1
) ,……6 分
2 1
y2 + y1 (y2x1 + y x即 y = x - 1 1- +x2 x1 x2 - yx 1 )1
y2 + y= 1
y
x - 2
x1 + x2y1
x2 - x1 x2 - x1
y
= 2
+ y1 ( y xx - 2 1 + x2y1- ) …………8 分x2 x1 y1 + y2
y2x1 + x2y1 k (x2 - 1 ) x1 + k (x1 - 1 ) x2 2kx1x2 - k (x + x )∵ = = 1 2+ - + - + - ……10 分y1 y2 k (x1 1 ) k (x2 1 ) k (x1 x2 ) 2k
2 - 2
2·4k 12 - 8k
= 3 + 4k
2 3 + 4k2 =
2 48k - 2
3 + 4k2
文科数学参考答案·第4页·共6 页
y + y
∴ l:y = 2 1
(x - 4 ) ∴ l 过定点 (4,0 )- ………………12 分x2 x1
21. 解:(1) f′(x ) = 2x + a - ex ……1 分
∴ f′(1 ) = 2 + a - e = 0 ∴ a = e - 2…………3 分
此时 f′(x ) = 2x + e - 2 - ex , f″(x ) = 2 - ex
f′(x ) 在 ( - ∞ ,ln2 ] 单增, ( ln2, + ∞ ) 单减,又 f′(1 ) = 0
f (x ) 在 ( ln2,1 ] 单增, (1, + ∞ ) 单减,∴ x = 1 是 f (x ) 的极大值点
∴ a = e - 2…………………………………………5 分
(2)法一:∵ f (1 ) ≤ 0,∴ a ≤ e - 1…………7 分
当 a = 1 时, f (x ) = x2 + x - ex , f′(x ) = 2x + 1 - ex
f″(x ) = 2 - ex ,∴ f′(x ) 在 [0,ln2 ) 单增, ( ln2, + ∞ ) 单减
3
∵ f′(0 ) = 0,f′( ln2 ) = 2ln2 - 1 > 0, f′(1 ) = 3 - e > 0, f′( 3 ) = 4 - e 2 < 02
x0 ∈ (1, 3 ) 使 f′(x0 ) = 0,则 2x0 + 1 = ex0………………9 分2
此时 f (x ) 在 [0,x0 ] 单增, (x0, + ∞ ) 单减……………10 分
2
f (x ) 2 x0 2max = f (x0 ) = x0 + x0 - e = x0 - x0 - 1 = (x - 10 ) - 5 < - 1 < 0 成立2 4 4
∴ a 的最大整数值为 1………………………………12 分
法二: x = 0 时, - 1 ≤ 0 恒成立, a ∈ R ,…………6 分
ex -x > 0 x
2
时, a ≤
x
g x = e
x - x2 , g′ x = xe
x - ex - x2
令 ( ) ( )
x x2
令 t (x ) = xex - ex - x2, t′(x ) = x (ex - 2 )
∴ t (x ) 在 (0,ln2 ] 单减, ( ln2, + ∞ ) 单增, t (0 ) = - 1 < 0,…………7 分
t ( 3 ) 3 3= 1 e 2 - 9 = 4e - 81 < 0, t (2 ) > 02 2 4 4
x ∈ ( 30 ,2 ) 使 t (x0 ) = 0,∴ (x - 1 ) ex00 = x20,………………8 分2
此时 g (x ) 在 (0,x0 ] 单减, (x0, + ∞ ) 单增
x20
x0 2 -
2
e - x x -
x
1 0 x
∴ g (x ) min = g (x0 ) =
0 = 0 = 0 -
- x0…………9 分x0 x0 x0 1
-
g′(x0 ) =
1 -
2 1 < 0,∴ g (x
3 3
0 ) 在 ( ,2 ) 上单减,∴ g (x0 ) ∈ (0, ) ……10 分(x0 - 1 ) 2 2
∴ a ≤ g (x0 ) ,当 a = 1 时,同法一:检验成立,∴ a 的最大整数值为 1……12 分
22. 解:(1) l:x - y + 3 = 0…………2 分
文科数学参考答案·第5页·共6 页
C :x21 + (y - 2 ) 2 = 4……………………5 分
2
(2) C :x + y22 = 1……………………6 分4
ìx = - 3 + 2 t2
P ( - 3 ,0 )
, l 的标准参数方程为 í ( t 为参数)…………7 分
y = 2 t
2
x2
代入 + y2 = 1 中,得 5t2 - 2 6 t - 2 = 0
4
设 M,N 对应参数为 t1,t2,则 t1,t
2 6 2
2 即为上述方程的两根 t1 + t2 = , t5 1
t2 = - ……8 分5
1 1 1 1 | t2 | + | t1 | | t1 - t+ = + = = 2
|
| PM | | PN | t1 t2 | t1 t2 | t1 t2
24 8
( t + t ) 21 2 - 4t1 t
+
= 2 = 25 5 = 4………………10 分
| t1 t2 | 2
5
23. 解:(1) a = 1,b = 2 时, | 2x + 1 | + | 3x - 2 | < 1 + 7x
3
ì x ≥
2 ì- 1 < x < 2 ì
1
x ≤-
í 3 或 í 2 3 或 í 2 …………3 分
5x - 1 < 1 + 7x 3 - x < 1 + 7x 1 - 5x < 1 + 7x
∴ {x | x > 14 } ……5 分
(2) f (x 3) =| 2x + a | + | 2x - 2b | ≥| 2x + a | +| 2x - 2b | ≥| (2x + a ) - (2x - 2b ) |
2
=| a + 2b | = a + 2b …………7 分
{2x - 2b = 0当 ,即 x = b 时取“ = ”(2x + a ) (2x - 2b ) ≤ 0
∴ f (x ) min = a + 2b = 3……………………8 分
∴ 2 + 1 = 1 ( 2 + 1 ) 1 4b a 1(a + 2b ) = (3 + + ≥ (a 2b 3 a 2b 3 a 2b ) 3 3 + 2 2 )
ì4b =
a
a 2b , 2 + 1 3
+ 2 2
当且仅当 í 时 取最小值 ……………………10 分
a 2b 3 a + 2b = 3
文科数学参考答案·第6页·共6 页秘密★启用前
“四省八校”2022 届高三第一学期期中质量检测考试
文科数学
(考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)
注意事项:
1. 答题前,务必在答题卡上填写姓名和报名号等相关信息并贴好条形码。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上
无效。
3. 考试结束后,将答题卡交回。
第 I 卷(满分 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,有且只有一项符合
题目要求)
1. 已知集合 A = { x +x 1- ≤ 0} ,B = { - 1,1,2,5} ,则 A ∩ B = ( )x 5
A. {x - 1 ≤ x < 5} B. { - 1,1,2} C. { - 1,1,2,5} D. { - 1,5}
2. 下列函数中,在定义域上是减函数的为( )
A. f(x) = x3 B. f(x) = e -x
C. f(x) =log 1 | x | D. f(x) = - tanx
2
3. 在等差数列 {an} 中,前 9 项和 S9 = 18, a2 + a6 = 6,则 a3n = ( )
A. 3n - 3 B. 3n + 5 C. 7 - 3n D. 21 - 3n
4. 直线 (2m - 1 ) x + my + 2 = 0 和直线 mx + 3y + 1 = 0 垂直,则实数 m 的值为( )
A. 0 或 - 1 B. - 1 C. 3 ± 6 D. 3 + 6
5. 已知实数 a,b , “ 1 < 1则 < 0”是“ ab < b2”的( )
a b
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. alnx已知函数 f(x) = + b(a,b ∈ R) ,若 f(x) 的图象在点 (1,f(1) ) 处切线方程为 3x - y = 0,则
x
a + b = ( )
A. 0 B. 3 C. 9 D. 6
2
→ →
→ → → → → →
7. p: a ∥ b(a ≠ 0,b ≠ 0) , a = b 2已知命题 若 则 → → ,命题 q: 函数 y = sinx + x ∈a b sinx
π
êéê - ,0 ) 最大值为-3,下列是真命题的为( ) 2
A. ( p ) ∧ q B. p ∧ q C. p ∨ ( q) D. ( p ) ∧ ( q)
文科数学·第1页·共4 页
8. 已知函数 y = f(x - 1) 定义域为 R,且图象关于 x = 1 对称,在 (1, + ∞ ) 上单调递增,若 a =
1 1
log 3,b = 4 3 ,c = e 21 ,则( )
4
A. f(a) > f(b) > f(c) B. f(a) > f(c) > f(b)
C. f(c) > f(b) > f(a) D. f(b) > f(c) > f(a)
9. π 3已知函数 f (x ) = sin (π + x ) sin ( + x ) + 3 cos2x - ,则下列正确的是( )2 2
A. f (x ) 最小正周期为 2π
B. ( π ,0 ) 是 f (x ) 的一个对称中心6
C. 将 f (x π 5π) 图象向右平移 个单位长度后得到 g (x ) 的图象,此时 g (x ) = - sin (2x -2 6 )
D. é - π ,πê ùê úú 是 f (x ) 的一个减区间 6 3
10. ABCD , A→B·A→C = 3A→B·A→D,∠DAB = π , C→A C→已知平行四边形 则 与 B 的夹角为( )
3
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
11. 1已知点 P 在圆 O:x2 + y2 = 上, 从 A ( 1 ,0 ) 出发, 沿圆周逆时针方向运动了弧长4 2
x (0 < x < π) 到达 B 点, 1且 tanx = ,又 B 点在角 β + π 终边上,则 cos2β = ( )
2 4
A. - 24 B. - 4 C. 4 D. 24
25 5 5 25
12. 在平面直角坐标系中,坐标原点为 O ,定点 M (1, - 1 ) ,动点 P (x,y ) 满足 | PO | = 2 | PM | ,
P 的轨迹 C 2 21 与圆 C2:x + y - 3x + 3y + 4 + a = 0 有两个公共点 A,B ,若在 C1 上至多有 3 个不
同的点到直线 AB 距离为 2 ,则 a 的取值范围为( )
A. ( - ∞ , - 2 - 2 2 ] ∪ [ - 6 + 2 2 , + ∞ )
B. ( - 4 - 2 2 , - 2 - 2 2 ]
C. [ - 6 - 2 2 , - 4 - 2 2 ) ∪ ( - 4 + 2 2 , - 2 + 2 2 ]
D. ( - 4 - 2 2 , - 2 - 2 2 ] ∪ [ - 6 + 2 2 , - 4 + 2 2 )
第 II 卷(满分 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
ìx - y ≥ 0
13. 若实数 x,y 满足约束条件 í2x + y - 6 ≤ 0 ,则 x + y 取最大值时最优解为 。
y ≥- 1
→ → → →
14. 已知向量 a = ( - 1,2 ) ,b = (3,1 ) ,则 a 在 b 方向上的投影为 。
15. 已知函数 f (x ) = - 4sin2x + 4sinx,x ∈ [0,a ] 的值域为 [0,1 ] ,则实数 a 的取值范围为 。
文科数学·第2页·共4 页
16. 函数 f(x) 是定义在 (0, + ∞ ) 上的可导函数, f′(x) 为其导函数, xf′(x) - 2f(x) = x2,且 f(1) =
0 ,若 f(x) = a 恰有两个零点,则 a 的取值范围为 。
三、解答题:共 70 分,解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤。 第 17 ~ 21 题为必考题。
每个试题考生都必须作答。 第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17. 已知 S 3 15n 是正项等比数列 {an} 的前 n 项和, S2 = , S16 4
= 。
64
(1)求数列 {an} 的通项公式;
(2) b =log a , { 1设 n 2 n 求数列 b ·b } 前 n 项和 Tn 。2n 2n+2
-
18. 已知函数 f(x) = x a - lnx(a ∈ R)
x
(1)讨论 f(x) 的单调区间;
(2) f(x) [ 1求 在 ,e] 上的最大值 g(a) 。
e
19. 在△ABC 中,角 A、B、C 对边分别为 a 、 b 、 c , AC = 2 2 , 7 c·sinA = a - 2acos2( π + c ) ,D 为
2 2
BC 边上一点,且 CD = 7 - 2。
(1)求 AD;
(2)若 AB = 2 ,求△ABC 面积。
文科数学·第3页·共4 页
x2 220. 已知椭圆 C 的方程为: + y =2 2 1( a > b > 0),
1
离心率为 ,椭圆上的动点 P 到右焦点 F 距离
a b 2
的最大值为 3。
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)过右焦点 F 作不平行于 y 轴的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 A 关于 x 轴对称点为 A′ ,求证:
直线 BA′ 过定点。
21. 已知函数 f(x) = x2 + ax - ex ;
(1)若 f(x) 的极大值点是 1,求 a 的值;
(2)当 x ≥ 0 时, f(x) ≤ 0 恒成立,求 a 的最大整数值。
(二)选考题:共 10 分. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做。 则按所做的第一题计分,
作答时请写清题号。
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
x = - t
在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l的参数方程为 { ( t为参数),以 O 为极点, x 轴y = 3 - t
的正半轴为极轴建立极坐标系。 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ = 4sinθ 。
(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C1 的直角坐标方程;
(2)在直角坐标系中,若把曲线 C1 图象向下平移 2 个单位,然后横坐标不变,纵坐标压缩到原来
1
的 ,得到曲线 C2,直线 l 与曲线 C2 交于点 M、N,与 x
1 1
轴交于点 P,求 + 的值。
2 | PM | | PN |
23. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知 f(x) =| 2x + a | +| 3x - 3b | ( a > 0, b > 0)
(1)当 a = 1, b = 2 时,解关于 x 的不等式 f(x) < 1 + 7x ;
3
(2)若 f(x) 最小值为 3, 2求 + 1 的最小值。
a 2b
文科数学·第4页·共4 页
