2021-2022 学年“皖南名校”高二期中联考
数学参考答案
题
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案 D B B A D C A B B C C B
1 2
1.【解析】由题意知 1，得a 1.
2 a
2 2 a
2.【解析】 x y ax 8y 2 0 的圆心坐标为 ( ,0) 在直线 y x 3 上 ,所以可得
2
a 2 ,故可得圆的半径为 15 .
3.【解析】因为向量a (1,1,a),b (2, 1,1) 互相垂直，所以a 1，所以 a 3 .
4.【解析】圆O1半径为 r1 1，圆心坐标为（0,0），圆O2 半径为 r2 55，圆心坐标为（3,0），所
以 O1O2 3， r2 r1 4，所以 PQ 的最小值为 1.
1 2
5.【解析】由 a b a b ，平方可得cos a,b ，所以 a,b .
2 3
1 2 4
k ( , )
l l l与l
6.【解析】由题意知，若 1 2 ，则 2 ， 1 2 的交点坐标为 5 5 ，则此时三角形的面积
1 1 1
( ,1)
5 l l为 ,若 3 2 ,则 k 0 l3与l, 2 的交点坐标为 2 ,所以此时三角形的面积为 4 .所以答案为
1 1
5 或 4 .
x2 y2
C : 1
7.【解析】椭圆 9 8 右焦点为 (1,0)，上顶点为 (0,2 2)，右顶点为 (3,0)，则
11 2 153
可求得该圆的方程为 (x 2)2 ( y )2 .
8 32
x2
y2
3
1 y
8【. 解析】该椭圆的标准方程为 4 ，当 x 1时, 2 ,所以最短窗棂的长度为 3 .
1 / 6
9.【解析】圆过原点，故 A 不正确，对于 C,圆心坐标在第三象限，a 0,b 0，故 C 不正确，
对于 D，直线的截距与圆心纵坐标不符，故不正确，只有 B a 0,b 0 ,正确.
10.【解析】建立以 AB, AD, AA分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，可以求得平面 AEF 的法
AB n 4 5
向量为n (2,0, 1)， AB (2,0,0) ,所以可得d .
n 5
11.【解析】如图，建立平面直角坐标系，其中 A(0,0), B(2,0),C(0,4) ,
设 M (1,0) ，直线BC方程为 x=2，则可求得点M 关于BC的对称点
为 M '(3,0) , M '关于 y 4的对称点为M ''(3,4) ，点B 关于 y 的对
称点为 B '( 2,0) ,连接 B ' M '' ,交CD, AD 于Q, R ,连接 M 'Q ,交 BC 于 P ,则可得 P,Q, R 为反
射点，所以轨迹长为B 'Q QM ' ,所以可得轨迹长为 89 .
12.【解析】可证得PA, PE, PF 三线互相垂直，故以PE, PF , PA分
别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，可以求得
P(0,0,0), E(1,0,0), A(0,0,2), F(0,1,0), 设 C(x, y, z) ， 由
2 2 2
AC 2 2, EC 1, FC 1 , 可得 C( , , ) , 所以可以求得平面 PCE 的法向量为
3 3 3
10
n (0,1,1) ， AF (0,1, 2)，所求 AF 与平面PCE 所成角的正弦值为 .
10
13.【答案】5【解析】∵α⊥β，则 u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.
1 2 9 1
14.【答案】(x ) ( y 2)2 【解析】由题意知，圆心坐标为 ( , 2) ，直径为3，所
2 4 2
1 2 9
以圆的方程为 (x ) ( y 2)2 .
2 4
2
15.【答案】(1, 1, 2) ， 【解析】点Q(1, 1, 2) ，点Q到平面OPM 距离即为点Q '(1, 1,0)
3
到平面OPM 距离，即为点Q '(1, 1,0)到OM 距离，可以求得该距离为即为OQ ' 2 ，因为
1 2
S OPM 2 ,所以VQ OPM 2 2 .(答对一空 2 分)
3 3
2 / 6
16.【答案】 65 5 【解析】因为OB中点 b ，直线PA 恰好经过OB中点 b ，所以直(0, ) (0, )
4 2 2
线 PA 方程为 ，联立 x y ，消去 x 得5y2 4by 0
，得 4b ，从而得
x y y
1 1 P
b a b 5a
2 2
x2 y2
1
a2 b2
到 3a ，所以 3a 4b ,因为 PA PF ，所以 k k 1,即
xP P( , )
PA PF
5 5 5
2 2
4b 4b ，得2c 5ac 5a 0，所以椭圆得离心率为 . 65 5
0 0
5 5 1 4
3a 3a
a c
5 5
1
17.【解析】（1）由题意可知，直线 l 的方程为 y 1 (x 2)，
2
整理得 x 2y 0； ----------------------------------------------------------------------------------- 5 分
（2）设直线 l '的方程为 x 2y c 0 ， ------------------------------------------------------ 6 分
2 2 1 c
则 5 ， --------------------------------------------------------------------------- 8 分
12 22
解得c 5或c 5， -------------------------------------------------------------------------------- 9 分
所以直线 l '的方程为 x 2y 5 0或 x 2y 5 0 . ------------------------------------- 10 分
18. 【解析】（1）已知圆心 C 在 x 轴上，
2 2
故设圆的标准方程为 (x a) y r2 ， ------------------------------------------------------- 1 分
( 1 a)2 02 r2 ,
因为圆C 经过两点 A( 1,0), B(1, 2) ,所以 ---------------------- 3 分
(1 a)
2 ( 2)2 r2 ,
a 1,解之得 ------------------------------------------------------------------------------------------ 4 分
r
2 4,
所以 (x 1)2 y2 4 ； ----------------------------------------------------------------------------- 5 分
2 0
（2）由题意知kAB 1，所以直线 l 的斜率为k 1， --------------------- 6 分
1 ( 1)
所以设直线 l 的方程为 y x b，
3 / 6
1 0 b 1 b
得圆心 C 到直线 l 的距离为d ， --------------------------------------- 7 分
12 12 2
因为直线 l 2与圆 C 相交所得弦长为2 3，所以d 3 4，
1 b 2
所以 ( ) 3 4 ，即 1 b 2 ，
2
求得b 2 1或b 2 1， ----------------------------------------------------------------- 9 分
所以直线 l 的方程为 x y 2 1 0或x y 2 1 0 . ---------------------------- 12 分
1 1
19.【解析】（1）因为D为B1C1中点，所以 A1D (A1B1 A1C1) (b c)
2 2
2 1
由 AE 2ED，所以 A1E A1D (b c) ,
3 3
1
所以 AE AA1 A1E a (b c) ； ------------------------------------------------------------ 4 分
3
（2）由题意知a b 2 2 cos60 2，a c 2 2 cos60 2 ，
b c 2 2 cos60 2，
1
所以 AE AA1 A1E [a (b c)]
2 2 2 ， ----------------------------------------- 6 分
3
BC1 AC1 AB a c b，所以 BC1 (a c b)
2 2 2 ， ------------------- 8 分
1 16
AE BC1 [a (b c)] (a c b) ，
3 3
AE BC1 2所以cos AE, BC1 ，
AE BC 31
2
所以异面直线 AE 与 BC1所成角的余弦值为 . ----------------------------------------------------- 12 分
3
20.【解析】(1)证明：因为 ABCD 为圆柱 的轴截面，
所以BC 平面ABP，所以BC AP , -------------------------------------------------- 2 分
又因为 AP PB ,所以PA 平面PBC ,所以PA BE , ------------------------------------ 3 分
4 / 6
又因为BE AC ，所以BE 平面PAC ，所以BE PC ，
因为 E 为PC中点，所以三角形PBC 为等腰三角形，即PB BC ; --------------------- 5 分
(2)如图，以 P 为坐标原点，以 PA, PB 为 x, y 轴建立空间直角坐标系，设PB 2 ,则
P(0,0,0), A(4,0,0), B(0,2,0),C(0,2,2), D(4,0,2),可得E(0,1,1) , ----------------------- 6 分
设平面PAD 的法向量为m (0,1,0)， ----------------------------------------- 7 分
可得 AB ( 4,2,0) , BE (0, 1,1) ,
设平面 ABE 的法向量为n (x, y,z) ，
AB n 0, 4x 2y 0,
则 即
BE n 0, y z 0,
不妨令 x 1，可得n (1,2,2)为平面 ABE的一个法向量， ----------------------- 9 分
m n 2 2
所以cos m,n ， -------------------------------- 11 分
m n 1 9 3
2
平面PAD与平面 ABE 所成锐二面角的余弦值为 . ------------------------------- 12 分
3
21.【解析】由题意知，圆M 与 y 轴相切原点O ，
所以设圆的方程为 (x a)2 y2 a2 ， -------------------------------------------------------- 2 分
因为圆M 圆 N : x2 y2 8y 12 0 相外切，且 N : x2 ( y 4)2 4，
所以 (a 0)2 (4 0)2 a 2，所以a 3或a 3， --------------------------- 4 分
所以M：(x 3)2 y2 9 或 M：(x 3)2 y2 9 ； ------------------------------- 5 分
（2）由题意知M ： (x 3)2 y2 9 ， ----------------------------------------- 6 分
(x 3)2 y2 9,
设OP 所在直线方程为 y kx(k 0)，联立
y kx,
6 6k
得 xP ， yP ， -------------------------------------------------------
1 k 2
8 分
1 k 2
6k 2 6k
同理把k 换做 k ,可得 x ， yQ ， ---------------------------------- Q 2 9 分
1 k 2 1 k
5 / 6
6k 2k 6
所以PQ 所在直线方程为 y (x ) ， ------------------------ 10 分
1 k 2 1 k 2 1 k 2
当 y 0时，可得 x 3， ------------------------------------------------------------------ 11 分
故直线PQ 过定点 (3,0) . ------------------------------------------------------------------ 12 分
22.【解析】(1)由题意知上顶点到焦点距离为a 2， ---------------------------------------- 1 分
3 1 3
又椭圆C 过点 (1, ) 1 b2，所以 ，得 1， ----------------------- 3 分
2 4 4b2
x2
所以C : y2 1； ------------------------------------------------ 4 分
4
x2 2
1
y 1,
（2）设直线 l : y x t ，联立 4
2 1 y x t,
2
消去 y 得 x2 2tx 2t2 2 0 ，
(2t)2 4(2t2 2) 8 4t2 0 ,解得 2 t 2 ， --------------- 6 分
设 A(x1, y1), B(x2, y2 ),Q(x0, y0 ) ，
1
则 x1 x2 2t, x1x2 2t
2 2，得Q( t, t)
2
AB 1 k 2 (x x )2 4x x 2则 1 2 1 2 10 5t ， ----------------------- 8 分
l 与 x 轴的交点为M ( 2t,0)，
2 1 5
所以 MQ ( t 2t) ( t)2 t2 ， --------------------- 9 分
2 4
2 2 2 1 2 2 5
所以 MC QC MQ AB MQ , ----------------------- 10 分
4 2
因为CQ AB ,所以CM 的中点为 P ,
1 10 10
所以 PQ MC ,所以 PQ 为定值 . --------------------------- 12 分
2 4 4
6 / 6021~2022学年“皖南名校”高二期中联考
数
本试卷共4页,全卷满分150分,考试时间120分钟
考生注意事项
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置
选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区誠均无效
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷草稿纸和答题
卡上的非答题区域均无效
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交
选择题:本题共12小题,每小题5分,共6分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题自
要求的。
1.已知经过两点P
的直线斜率为1,则a
2.已知圆
+ax-8y+2=0的圆心在直线y=x+3上,则该圆的半径为
A.2
B.√15
D.15
若向量a=(1,1,a),b=(2
互相垂直,则a
4.已知点P为圆O1:x2+y2=1上任一点点Q为圆O
16-0上任一点,则PQ的最
小值为
A
5.已知ab为空间向量若已知|a=|b|=|a+b|,则
三条直线l
0所围成的图形为直角
该三角形的面积为
已知圆(x
)2=2经过椭圆C:+=1的右焦点,上顶点与右顶点,则b
在日常生活中,可以看见很多有关直线与椭园的位置关系的形象,如图.某
户就是长轴长为4米,短轴长为2米的潲圆形状,其中三条竖
直窗棂将长轴分为相等的四段,则该窗广的最短的竖直窗棂的长度为
C.2
高二数学试卷第1页(共4页
直线
b与圆(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的大致图象可能正确的是
10.已知边长为2的正方体ABCD-A1BCD1中,E,F分别为C1D1,A1B1的
中点,则点B到平面AEF的距离为
3
C
11.某玩具台球桌为矩形(设为ABCD
AD=4,一小球从边AB上异于A,B的一点
经BC,CD,DA反弹后恰好到达B点,已知AM=1,则该小球的运动轨迹的长为
B.8
2.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为CD,CB
中点,沿AE,AF将三角形ADE,ABF折起,使得点B
恰好重合,记为点P,则AF与平面PCE所成角的正
弦值为
、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分
2,2,),y=(6,-4,4)分别是平面a,B的法向量,若a⊥月,则t=
4.已知园直径的两个端点为A(1,0),B(0,2√2),则该圆的标准方程为
5.已知点P(1,1,2)是空间直角坐标系O-xyx中的一点,则点P关于x轴的对称点为Q的坐标为
若点P在平面xOy上的射影为M,则四而体O-PQM的体积为
16.已知椭圆C
1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,上顶点为B,O为坐标原点,点P为
椭圆上一点,PA⊥PF,且直线PA恰好经过OB中点,则该椭圆的离心率为
高二数学试卷第2页(共4页