四川省绵阳市第一高级中学2021-2022学年高二上学期期中教学质量测试数学试卷（PDF版含答案解析）

秘密 ★ 启用前 【考试时间：2021 年 11 月 4 日 14:30—16:30】
高中 2020 级第 3 学期期中教学质量测试
数 学
（时间：120分钟 满分：150分）
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择
题）组成，共 3页；答题卡共 6页。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用 0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时
用 2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内。
2. 选择题使用 2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干
净后再选涂其它答案；非选择题用 0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题
区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后将答题卡收回。
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一.选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)
2 2
1. x y设 P是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于 4，则|PF2|等于( )
25 16
A.6 B.1 C.2 D.14
2
2. x双曲线方程为 －y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
2
A.(1,0) B.( 2,0) C.( 3,0) D.(2，0)
3. 过点 P(1,1)作圆 C：x2＋y2－4x－4y＋7=0的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB的
方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
x2 y24. 已知双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的离心率 e=2，则该双曲线的一条渐近线方程为( )
a2 b2
A.y 1＝ x B.y＝2x C.y 3＝ x D.y＝ 3x
2 3
x25. F F y
2
设 1和 2为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的两个焦点，若 F1，F2，P(0，2b)是等边三角形的三
a2 b2
个顶点，则椭圆的离心率为( )
A. 7 B.2 7 C. 3 D.2 3
7 7 3 3
x2 y26. 若抛物线 x2＝2my的焦点与椭圆 ＋ ＝1的下焦点重合，则 m的值为( )
3 4
A.4 B.2 C.－4 D.－2
1
7. 已知直线 l1：ax＋4y－2＝0与直线 l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则 a＋b
＋c＝( )
A．－4 B．20 C．0 D．24
8. 设 A、B是直线 3x＋4y＋2＝0与圆 x2＋y2－4y＝0的两个交点，则线段 AB的垂直平分线
的方程是( )
A．4x－3y－2＝0 B．4x－3y＋6＝0 C．3x＋4y＋6＝0 D．3x＋4y＋8＝0
|2x＋3y＋3|
9. 满足 x2＋ y＋1 2＝ 的点 P(x，y)的轨迹是( )
13
A．圆 B．双曲线 C．直线 D．抛物线
x2 210. y双曲线 － ＝1的渐近线与圆(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，则 r的值为( )
13 3
A.4 B.3 C. 3 D.1
11. 过点 P(－ 3，－1)的直线 l与圆 x2＋y2＝1有公共点，则直线 l的倾斜角的取值范围是( )
A.(0,π] B.(0,π] C.[0,π] D.[0,π]
6 3 6 3
12. 过抛物线 y2＝3x的焦点 F的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l于点 C，若|BC|＝2|BF|，
且|AF|＝3，则|AB|＝( )
A．4 B．6 C．8 D．10
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二.填空题(每小题 5分,共 20分)
x2 y213. 过椭圆 ＋ ＝1的焦点 F的弦中最短弦长是________.
16 9
14. 已知过抛物线 y2＝4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝____.
2 2
15. x y若过椭圆 ＋ ＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________．
16 4
16. 一个长方体的 8个顶点坐标分别为(0,0,0)，(0,1,0)，(3,0,0)，(3,1,0)，(3,1,9)，(3,0,9)，(0,0,9)，
(0,1,9)．则这个长方体外接球的球心坐标______________；
三.解答题(满分 70分)
17. (10分)已知直线 l1:x－y－4＝0和 l2:x＋y＋2＝0
(1)求经过 l1与 l2的交点且与直线 3x＋y－1＝0平行的直线方程;
(2)求经过 l1与 l
2 2
2的交点且与圆 x ＋y =9相切的直线 l的直线方程.
2
18. (12分)已知半径为 5的圆的圆心在 x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 4x＋3y－29
＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线 ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于 A，B两点，是否存在实数 a，使得过点 P(－2,4)的
直线 l垂直平分弦 AB？若存在，求出实数 a的值；若不存在，请说明理由．
19. (12 6分)已知椭圆 C的左，右焦点坐标分别是(－ 2，0)，( 2，0)，离心率是 ，直线 y
3
＝t与椭圆 C交于不同的两点 M，N，以线段 MN为直径作圆 P，圆心为 P.
(1)求椭圆 C的方程；
(2)若圆 P与 x轴相切，求圆心 P的坐标.
20. (12分) 2 2已知椭圆的中心在原点，且经过点 P(3，0)，离心率 e＝ ，
3
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若椭圆的焦点在 x轴上,直线 l:y=x＋2交椭圆于 A,B,试计算线段 AB的长.
21. (12分)如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方
形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车
辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要
有 0.5米．
(1)以抛物线的顶点为原点 O，其对称轴所在的直线为 y轴，
建立平面直角坐标系(如图)，求该抛物线的方程；
(2)若行车道总宽度 AB为 7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1米)
22. (12分)已知圆 C：x2＋y2－2y－4＝0，直线 l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对任意 m∈R，直线 l与圆 C总有两个不同的交点；
(2)设直线 l与圆 C交于 A、B两点，若|AB|＝ 17，求直线 l的倾斜角．
3
高 2020级第 3学期半期考试数学 参考答案
一.选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分)
1、答案:A
解析由椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a=10，又∵|PF1|＝4，∴|PF2|＝10－4＝6.
2、答案 C
解析:∵a2＝1，b2＝1，∴c2＝a2＋b2＝3，∴c＝ 3，故右焦点坐标为( 3,0).
3、答案 A
解析: x＋y=3
4、答案 D
b2 2 b
解析:根据题意，有 2＝e －1=3，则 ＝ 3，故其中一条渐近线方程为 y＝ 3x，故选 D.a a
5、答案:B
解析:由 tanπ c 3 c 2 7＝ ＝ ，有 3c2＝4b2＝4(a2－c2)，则 e＝ ＝ ，故选 B.
6 2b 3 a 7
6、答案:D
x2 y2: 1 p解析 椭圆 ＋ ＝ 的下焦点为(0，－1)，即为抛物线 x2＝2py的焦点，∴ ＝－1，∴p＝－2
3 4 2
7、答案：A 解析：垂足(1，c)是两直线的交点，且 l1⊥l2，
a
故－ ·2＝－1，∴a＝10.直线 l1方程为 10x＋4y－2＝0.将(1，c)代入，得 c＝－2.
4 5
将(1，－2)代入 l2，得 b＝－12.则 a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4.
8、答案 B
4
解析 此题实际上是求过圆心(0，2)且与直线 3x＋4y＋2＝0垂直的直线方程，即 y－2＝ x，
3
整理，得 4x－3y＋6＝0.
9、答案：C解析：依题意得，点 P到 F(0，－1)和到 l:2x+3y+3=0 的距离相等,但 F(0,-1)在 l
上，所以点 P的轨迹是直线，故选 C.
10、答案:C
3
解析:因为双曲线的渐近线为 y＝± x，即 3x± 13y＝0，已知圆的圆心为(4，0)，利用直线
13
|4 3±0|
与圆相切，得到 d＝ ＝ 3＝r，故 r＝ 3，故选 C.
3＋13
11、答案 D
解析 方法一 如图，过点 P作圆的切线 PA，PB，切点为 A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，
π
sin α 1 α π BPA π
0，
则 ＝ ，所以 ＝ ，∠ ＝ .故直线 l的倾斜角的取值范围是 3 .选 D.
2 6 3
1
| 3k－1|
方法二 设过点 P的直线方程为 y＝k(x＋ 3)－1，则由直线和圆有公共点知 ≤1.
1＋k2
π
解得 0≤k≤ 3.故直线 l的倾斜角的取值范围是[0， ]．
3
12、答案: A 解析：如图，分别过点 A，B作 AA1，BB1垂直于准线 l，垂足分别为 A1，B1.
由抛物线的定义，得|BF|＝|BB1|，∵ |BC|＝2|BF|，∴ |BC|＝2|BB1|，
∴ ∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3，∴ |AC|＝2|AA1|＝6，
∴ |CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴ |BF|＝1，|AB|＝4.故选 A.
二.填空题(每小题 5分,共 20分)
13 9、答案:
2
2
解析: 2b 18 9由椭圆的几何性质可知，过椭圆焦点且与长轴垂直的弦长最短，弦长为 ＝ ＝ .
a 4 2
14、答案:2
解析:设点 A，B的横坐标分别是 x1，x2，则依题意有焦点 F(1，0)，|AF|＝x1＋1＝2，
∴x1＝1，直线 AF的方程是 x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
15、答案 x＋2y－4＝0
解析:设弦两端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点 M(x0,y0),则 x0=2,y0=1
x2 y2 2 2
则 1＋ 1＝1 x y， 2＋ 2＝1 y1－y2 4 x1＋x2，两式相减得 ＝－ × ，把 x1＋x2＝2x0=4，y1＋y2＝2y =216 4 16 4 x 01－x2 16 y1＋y2
y1－y2 1 1
代入得， ＝－ ，所以所求直线方程为 y－1＝－ (x－2)，即 x＋2y－4＝0.
x1－x2 2 2
16、解析:(1)如图．
(2)因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，
3＋0 0＋1 0＋9 3 1 9
所以球心坐标为( ， ， )，即( ，， )．
2 2 2 2 2 2
三.解答题(满分 70分)
x－y－4=0 x=1
17、解:方法一(1)由方程组 x 得＋y＋2=0 y=－3
∵直线 l和直线 3x＋y－1＝0平行，∴直线 l的斜率 k＝－3.
∴根据点斜式有 y＋3＝－3(x－1)，∴3x＋y=0;
(2)若 l的倾斜角≠90°,则设 l:y=k(x－1)－3,整理得:kx－y－k－3=0
|－k－3|
圆心 O(0,0)到 l的距离 d= 3
k2
=3,解之得:k= 或 k=0,
＋1 4
∴l的方程为 y=－3或 3x－4y－15=0,显然α=90°不合乎题意.
方法二(1)∵直线 l过两直线 x－y－4＝0和 x＋y＋2＝0的交点，
∴设直线 l的方程为(x－y－4)＋λ(x＋y＋2)＝0，
2
即(λ＋1)x＋(λ－1)y＋2λ－4＝0.∵直线 l与直线 3x＋y－1＝0平行，∴λ=2
从而所求直线方程为 3x＋y＝0.
|2λ－4|
(2)由(1) 1可得:d= 2 2=3,解之得:λ=－ 或λ=－1,代入 l得:(7x－7y－28)－(x＋y＋(λ＋1) ＋(λ－1) 7
2)=0即 3x－4y－15=0或(x－y－4)－(x＋y＋2)=0即－2y－6=0即 y=－3
18、解:(1)设圆心为 M(m,0)(m∈Z)．由于圆与直线 4x＋3y－29＝0相切，且半径为 5，
|4m－29|
所以 ＝5，即|4m－29|＝25.
5
即 4m－29＝25或 4m 27－29＝－25，解得 m＝ 或 m＝1，
2
因为 m为整数，故 m＝1，故所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25.
(2) 1设符合条件的实数 a存在，因为 a≠0，则直线 l的斜率为－ ，
a
l 1的方程为 y＝－ (x＋2)＋4，
a
即 x＋ay＋2－4a＝0.由于 l垂直平分弦 AB，故圆心 M(1,0)必在 l上．
所以 1＋0 3＋2－4a＝0，解得 a＝ .
4
3
经检验 a＝ 时，直线 ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
4
a 3故存在实数 ＝ ，使得过点 P(－2,4)的直线 l垂直平分弦 AB.
4
19 c 6、解:(1)因为 ＝ ，且 c＝ 2，
a 3
所以 a＝ 3，b＝ a2－c2＝1，
x2
所以椭圆 C的方程为 ＋y2＝1.
3
(2)由题意知 P(0，t)(－1y＝t，
由 x2 y2 1 得 x＝± 3 1－t
2 ，
＋ ＝
3
所以圆 P的半径为 3 1－t2 .
当圆 P与 x轴相切时，|t|＝ 3 1－t2 ，解得 t＝± 3，
2
0 ± 3，
所以点 P的坐标是 2 .
2 2
20、解 (1) x y①当焦点在 x轴上时，设其方程为 ＋ ＝1(a>b>0).
a2 b2
3
e 2 2 c 2 2∵离心率 ＝ ，∴ ＝ .又∵a2＝b2＋c2，∴a＝3b.又∵椭圆经过点 P(3，0)，
3 a 3
9 0 2
∴ ＋ ＝1，∴a2＝9，b2＝1. x∴椭圆的标准方程为 ＋y2＝1.
a2 b2 9
y2 x2
②当焦点在 y轴上时，设其方程为 ＋ ＝1(a>b>0).同理可得 a＝3b.∴b=3,a=9
a2 b2
y2 x2
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
81 9
(2) (1) : C:x2 9y2=9, y2=x2由 可知 椭圆 ＋ 而 ＋4x＋4,
代入得:10x2＋36x＋27=0,设 A(x1,y1),B(x2,y
3 6 6 2
2),则|x1－x2|= ,∴|AB|=5 5
21解：如图所示
(1)依题意，设该抛物线的方程为 x2＝－2py(p>0)，
因为点 C(5，－5)在抛物线上，
所以该抛物线的方程为 x2＝－5y.
(2)设车辆高 h，则|DB|＝h＋0.5，
故 D(3.5，h－6.5)，
代入方程 x2＝－5y，解得 h＝4.05，
所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0米．
22、(1)证明:圆 C：x2＋y2－2y－4＝0可化为：x2＋(y－1)2＝5，
由直线 l：mx－y＋1－m＝0，得 m(x－1)－y＋1＝0，
x－1＝0， x＝1，
则 得
－y＋1＝0 y＝1，
∴直线 l：mx－y＋1－m＝0过定点 P(1,1)，代入圆 C：x2＋(y－1)2＝5，得 12＋(1－1)2＝1<5，
∴点 P(1,1)在圆 C：x2＋(y－1)2＝5内部，
∴对任意的 m∈R，直线 l与圆 C总有两个不同的交点．
(2)解 当直线 l的斜率不存在时，直线方程为 x＝1，
代入圆 x2＋(y－1)2＝5得：y1＝－1，y2＝3，
此时|AB|＝4，不满足题意，∴直线 l的斜率存在，由|AB|＝ 17，圆的半径为 5，
17 3
得圆心到直线 l：mx－y＋1－m＝0的距离为 5－ ＝ .
4 2
|－m| 3
则 ＝ ，解得 m＝± 3.∴直线 l的倾斜角为 60°或 120°.
m2＋1 2
4