四川省绵阳市第一高级中学2021-2022学年高一上学期期中教学质量测试数学试卷（PDF版含答案解析）

秘密 * 启用前 【考试时间：2021 年 11 月 4 日 14：30-16：30】
高中 2021 级第 1 学期期中教学质量测试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分）
温馨提示：
1、请用 0.5毫米黑色签字笔将班级、考号、姓名填写在答卷相应栏目内（非网阅模式还应在机读卡
上填写），再用 2B铅笔在答卷（或机读卡）上填涂考号和科目。
2、选择题答案用 2B铅笔填涂在答卷（或机读卡）上，非选择题用 0.5毫米黑色签字笔书写在答卷
对应栏目内。
第Ⅰ卷（选择题，共 60分）
一．选择题（共 12个小题，每个小题 5分，共 60分。每小题只．有．一．个．选项符合题意）
1．下列描述正确的有（ ）
（1 2 2）很小的实数可以构成集合； （2）集合 y y x 与 x, y y x 集合是同一个集合；
（3）1,
3 , 6 , 1 ,0.5这些数组成的集合有 5个元素； （4）偶数集可以表示为 x x 2k ,k Z .
2 4 2
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
2．计算 lg 4 lg 25 ( )
A． 2 B．3 C． 4 D．10
3．已知函数 y f (x)的对应关系如下表，函数 y g(x)的图象是如图的曲线 ABC，其中 A(1,3)，
B(2,1)，C(3, 2)，则 f (g(2))的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．已知集合 A＝{1,3， m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则 m等于( )
A．0或 3 B．0或 3
C．1或 3 D．1或 3
5．下列是从集合 A到集合 B的函数的是（ ）
A. A=B=N﹡，对应法则 f : x y x 3
1
1, (x 0)
B. A=R，B={0，1}，对应法则 f : x y
0, (x 0)
C. A=B=R，对应法则 f : x y x
1
D. A=Z，B=Q，对应法则 f : x y
x
6．以下四组数中大小比较正确的是 （ ）
A． 0.2 -0.1 B． 0.50.3 0.40.3 C． log3.1 log 3.1 D． 0.40.3 0.10.7
7．函数 f x 2x 1 ln 1 x 的定义域是（ ）
4
A． 1,2 B． 2,1 C． 2,1 D． 2,1
1
8．若 f（x）满足关系式 f（x）+2f（ ）＝3x，则 f（2）的值为（ ）
x
3 3
A．﹣1 B．1 C． D．
2 2
y 19．在同一直角坐标系中，函数 x , y
1
log a x (a 0且 a 1)的图象可能是（ ）a 2
A． B． C． D．
10．已知幂函数 f (x) (a2 a 1)x a 2 是偶函数，则函数 g(x) logm(x a) 3(0 m 1) 恒过定点
（ ）
A． (0,3) B． (1,3) C． (3,3) D． (3,4)
1 2
11．函数 y ( ) x 2x的值域是（ ）
2
A． R B． (0, ) C． (2, ) [
1
D． , )
2
12．央视人民网报道：2019年 7月 15日，平顶山市文物管理局有关人士表示，郏县北大街古墓群抢救
性发掘工作结束，共发现古墓 539座，已发掘墓葬 93座．该墓地是一处大型古墓群，在已发掘的 93座
墓葬中，有战国时期墓葬 32座、两汉时期墓葬 56座、唐墓 2座、宋墓 3座．生物体死亡后，它机体内
原有的碳 14会按确定的规律衰减，大约每经过 5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．检
2
测一墓葬女尸出土时碳 14的残余量约占原始含量的 79%，则可推断为该墓葬属于（ ）时期（辅助
数据： log2 0.79 0.34）
参考时间轴：
A．战国 B．唐朝 C．宋朝 D．两汉
第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
二.填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20分）

13．若 log2 log 1 log2 x 0，则 x ________.
2
14 x．若函数 y a 1(a 0,a 1)与直线 y 2a的图象有两个公共点，
则a的取值范围是 。
15．函数 f x log 22 x 3x 4 的单调减区间为__________.
16．给出下列四个结论
①所以的幂函数都经过定点（0，0）与（1，1）；
②已知函数 y loga 2 ax (a 0且 a 1)在 0,1 上是减函数，则 a的取值范围是 1,2 ；
③在同一坐标系中，函数 y log x与 y log2 1 x的图象关于 x轴对称；
2
④在同一坐标系中，函数 y 2x 与 y log2x的图象关于直线 y x对称．
其中正．确．结．论．的序号是__________．
三．解答题（本大题共 6个小题，共 70分）
1
2

2 1 1
a 3 b 1 a 2 b3 1 317（10 log分） （1） （2） log 25 lg ln e 2 2 ; 5a＞0，b＞0 100
6 a b5
3
18（12分） 已知集合 A x 3 x 7 ,B x 2 x 10 ,C x a x a 1 .
（Ⅰ）求 A∪ B； （Ⅱ）求 (CRA)∩ B； （Ⅲ）若C A，求 a的取值范围.
19 （12分）已知 a 0且满足不等式 22a 1 25a 2 ．
（1） 求不等式 loga 3x 1 loga 7 5x ；
（2）若函数 y loga 2x 1 在区间 3,6 有最小值为 2，求实数 a值．
x
20 a 1（12分）已知函数 f (x) (a＞1).
a x 1
（1）判断函数 f (x)的奇偶性；
（2）求 f (x)的值域；
（3）证明 f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
21（12分） 某商品在近 30天内每件的销售价格 P元和时间 t（t∈N）的关系如图所示．


（1）请确定销售价格 P（元）和时间 t（天）的函数解析式；
（2）该商品的日销售量 Q（件）与时间 t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品
的日销售金额 y（元）与时间 t（天）的函数解析式；
（3）求该商品的日销售金额 y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是 30天中的哪一天？
22（12分） 已知二次函数 f x 满足 f (0) 2，且 f (x 1) f (x) 2x 3 .
（1）求 f x 的解析式；
（2）设函数 h(x) f (x) 2tx，当 x [1, )时，求 h x 的最小值；

（3）设函数 g x log 1 x＋m若对任意 x1 [1, 4]，总存在 x2 [1, 4]，使得 f x1 g x2 成立，
2
求 m的取值范围.
4
数学试题答案
1【答案】C 2.【答案】A 3【答案】B
4【答案】B 5【答案】B
6【答案】A 解：对 A， y x为增函数，故 0.2 -0.1，正确；对 B， y x0.3在第一象限为增函
数，故 0.50.3 0.40.3 ，错误；对 C，log3.1 1, log 3.1 1，故 log 0.33.1 log 3.1，错误；对 D，0.4 0.10.3，
0.10.3 0.10.7 ，故 0.40.3 0.10.7，错误； 故选：A
2x 1 0
7【答案】C 解：由题意得，{ 4 2 x 1，故函数 f (x)的定义域为 2,1 ，故选 C.1 x 0
1
1
f (2) 2 f 6,①
2
8【答案】A 解：∵f（x）满足关系式 f（x）+2f（ ）＝3x， ∴
x f 1 3 2 f (2) ,②
2 2
①﹣②×2得﹣3f（2）＝3， ∴f（2）＝﹣1， 故选：A
1
9.【答案】C 解：当0 a 1时，函数 y a x过定点 (0,1)且单调递减，则函数 y 过定点 (0,1)且
ax
y log x 1 1单调递增，函数 a 过定点 ( ,0)且单调递减，C选项符合；当 a 1时，函数 y a x过定
2 2
点 (0,1) 1
1 1
且单调递增，则函数 y 过定点 (0,1)x 且单调递减，函数 y loga x 过定点 ( ,0）且单a 2 2
调递增，各选项均不符合.
10【答案】C 解:因为 f (x) (a2 a 1)x a 2 是幂函数，所以 a2 a 1 1得 a 2或 a 1，
又 f (x) (a2 a 1)x a 2 是偶函数，所以 a 2，函数 g(x) logm (x 2) 3(0 m 1)恒过定点 (3,3)
1 t 1 t 1
11【答案】D 解：令 t x2 2x，则 y ( ) ，而 t x2 2x (x 1)2 1 1，所以 y ( ) .
2 2 2
t
P t 1 573012【答案】D 解：生物体内碳 14 的含量 与死亡年数 之间的函数关系式为P (t 0)
2
t
1 5730P 0.79
t log 0.79 t 5730 log 1 0.79 5730 log2 0.79 1948
2 5730 1 22
2019 1948 71，对应朝代为汉
1
13【答案】 2 解 log 1 log2 x 1 log2 x
1

2，故 x 2 .故答案为： 22
0 114【答案】（ ，）
2
15【答案】 ( , 1) 解：函数 f (x) log x22 3x 4 ，
则 x2 3x 4 0 x 4 x 1 0 x 4或 x 1，故函数 f x 的定义域为 x 4或 x 1，
由 y log2 x是单调递增函数，可知函数 f x 的单调减区间即 y x2 3x 4的单调减区间，
x 3当 ,

时，函数 y x2 3x 4单调递减，结合 f x 的定义域，
2
2
可得函数 f (x) log2 x 3x 4 的单调减区间为 ( , 1)．
16【答案】③ ④ 对于①，终边在 y轴上的角的集合是 ， ①错误；
a 1
对于②，函数 y loga 2 ax (a 0且 a 1)在 0,1 上是减函数， 2 a 0，解得 a 的取值范围
是 1,2 ，②错误；对于③，在同一坐标系中，函数 y log2x与 y log 1 x的图象关于 x轴对称，③
2
正确；对于④，在同一坐标系中，函数 y 2x 与 y log2x的图象关于直线 y x对称，④正确．
7
17【答案】（1）1 （2）
2
1
2

2 1 1
1
a 3 b a 2 b3 1 1 1 1
解：（1） a 3 b 2 a 2 b3 1 1 1 1 1 5 a 3 2 6 b 2 3 6 1
6 5 1 5a b a 6 b6
1
3 3
log5 25 lg
1
ln e 2log2 log 52 lg10 2 ln e2 2log2 2 2 1 7 3
（2） 100
5 2 2
18【答案】（Ⅰ） x 2 x 10 ；（Ⅱ） (CRA) B {2 x 3或7 x 10}；（Ⅲ）3 a 6
【详解】 （Ⅰ） A B {x | 2 x 10}；
（Ⅱ）CRA {x | x 3或 x 7}，∴ (CRA) B {2 x 3或7 x 10}；
2
a 3

C A a 1 7（Ⅲ）∵ ，∴ ，解得3 a 6
3 , 7 1119【答案】（1） ；（2） .
4 5 11
解：（1）∵22a+1＞25a-2． ∴2a+1＞5a-2，即 3a＜3∴a＜1， ∵a＞0，a＜1 ∴0＜a＜1．
∵loga（3x+1）＜loga（7-5x）．
1
x＞
3x 1＞0 3
7 3 7 3 7
∴等价为 7 5x＞0 ， 即 x＜ ， ∴ ＜x＜ ， 即不等式的解集为（ ， ）．
5 4 5 4 5
3x 1＞7 5x 3
x＞ 4
（2）∵0＜a＜1∴函数 y=loga（2x-1）在区间[3，6]上为减函数，
1
∴当 x=6时，y有最小值为-2， 即 log 11=-2 a-2= =11 a= 11a ， ∴ 2 ， 解得 .a 11
20【答案】(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)见解析.
a x 1 1 a x
解：(1)f(x) 定义域为 R f x f x 所以函数是奇函数.
a x 1 1 a x
a x 1 a x 2
(2) f x 1 2 2 1 ，令 t a x ,t 0，则 y 1 , t 0
a x 1 a x 1 ax 1 t 1
2
由反比例函数性质可知：函数 y 1 , t 0单调递增，所以 f（x）的值域为(－1，1).
t 1
a x1 1 a x2 1 a x1 1 a x2 1 a x1 1 a x2 1
(3)设 x1 x2，则 f x1 f x2 =a x 1 1 a x2 1 a x1 1 a x2 1
∵ a 1, x x1 x2 x11 x2 ，∴a a . 又∵ a 1 0,a x2 1 0
∴ f (x1) f (x2 ) 0, 即 f (x1) f (x2 ),函数 f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
t 19,0 t 25, t N
21【答案】（1） P ；
t 100,25 t 30, t N
t 2 21t 760, 0 t 25, t N （3）第 25 天，日销售金额有最大值 1125 元. 3 由y
t
2 140t 4000, 25 t 30, t N
3
19 b a 1
解：（1）当 0≤t＜25，t∈N，设 P=at+b，将（0，19），（25，44）代入得 ，解之得 ，
44 25a b b 19
∴P=t+19（0≤t＜25，t∈N），当 25≤t≤30，t∈N，同理可得 P=﹣t+100，
t 19,0 t 25, t N
综上所述：销售价格 P（元）和时间 t（天）的函数解析式为 P .
t 100,25 t 30, t N
t 19 t 40 ,0 t 25, t N
（2）由题意得，y=P Q，由（1）得 y , t 100 t 40 ,25 t 100, t N
t 2 21t 760, 0 t 25, t N
即y
t 2 140t 4000, 25 t 30, t N
2
3 t 21t 760, 0 t 25, t N 由y
t
2 140t 4000, 25 t 30, t N
当 0≤t＜25，t∈N，由二次函数的图象和性质知 t=10，或 t=11时，y取最大值 870元
当 25≤t≤30，t∈N，由二次函数的图象和性质知 t=25时，y取最大值 1125元
综上所述，在第 25天，日销售金额有最大值 1125元
5 2t, t 2,
22【答案】（1） f (x) x2 2x 2；（2） h(x)min 2 ；（3）m 7
t 2t 1,t 2.
解：(1)设 f (x) ax2 bx c(a 0) .①∵ f (0) 2,∴ f (0) c 2 ,又∵ f (x 1) f (x) x 1,
∴a(x 1)2 b(x 1) 2 ax2 bx 2 2x 3,可得 2ax a b 2x 3,
2a 1, a 1，
∴ 解得 即 f (x) x2 2x 2 .
a b 3, b 2，
(2)由题意知, h(x) x2 2(1 t)x 2 , x [1, ) ,对称轴为 x t 1.
①当 t 1 1,即 t 2时,函数 h(x)在[1, )上单调递增, 即 h(x)min h(1) 5 2t；
②当 t 1 1,即 t 2时,函数 h(x)在[1, t 1)上单调递减,在[t 1, )上单调递增,
5 2t, t 2,
即 h(x)min h(t 1) t
2 2t 1. 综上, h(x)min t 2 2t 1,t 2.
(3)由题意可知 f (x)min g(x)min ,∵函数 f x 在[1, 4]上单调递增,故最小值为 f (x)min f (1) 5 ,
函数 g x 在[1, 4]上单调递减,故最小值为 g(x)min g(4) 2 m ,∴5 2 m ,解得m 7 .
4