函数的周期性和对称性
一、周期性
对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无限集 ( http: / / www. / wxc / )
1. 常见函数周期:
①y=sinx，最小正周期T＝2π；
②y=cosx，最小正周期T＝2π；
③y=tanx，最小正周期T＝π；
④y=cotx，最小正周期T＝π.
周期函数f(x)最小正周期为T,则y=Af(ωx+φ)+k 的最小正周期为：T/|ω|.
2.几种特殊的抽象函数的周期：
函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）,
，则是以为周期的周期函数；
②，则是以为周期的周期函数；
③，则是以为周期的周期函数；
④，则是以为周期的周期函数；
⑤，则是以为周期的周期函数.
⑥，则是以为周期的周期函数.
⑦，则是以为周期的周期函数.
⑧函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.
⑨函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；
⑩函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；
⑾函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；
3.主要方法：
①判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
②解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
【典型例题】
1．函数对于任意实数满足条件，若则 。
2．定义域为的函数是以2为周期的奇函数，则方程在上至少有_____个实数根.
．
4.设函数为R上的奇函数，且，若， ，
则的取值范围是 .
5．设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当≤时，，则 。
6.函数定义在R上，且满足，，求的值。
7.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间
已知当时，求在上的解析式.
8．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，
求时，的解析式.
二、对称性
讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。
1. 函数自身的对称性探究
定理1：函数的图像关于直线x＝a对称的充要条件是:即
简证：设点在上，通过可知:，
即点上，而点与点关于x=a对称，得证。
若写成：，函数关于直线 对称。
推论：函数的图像关于y轴对称的充要条件是：
定理2：函数的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是:
或
简证：设点在上，即，通过可知，
，所以，所以点也在
上，而点与关于对称，得证。
若写成：，函数关于点 对称
推论：函数的图像关于原点O对称的充要条件是
注：偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。
定理3：
①若函数的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
②若函数的图像同时关于直线成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
③若函数的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（），则是周期函数，且是其一个周期。
以下给出③的证明，①②的证明留给读者。
证明：因为函数的图像关于点A（a，c）成中心对称。
所以代得：
又因为函数的图像关于直线成轴对称。
所以代入（*）得： 得：
代入（**）得： 是周期函数，且是其一个周期。
2. 不同函数对称性的探究
定理4：函数的图像关于点成中心对称。
证明：设点图像上任一点，则。点关于点的对称点为，此点坐标满足，显然点在的图像上。
同理可证：图像上关于点对称的点也在的图像上。
推论：函数与的图像关于原点成中心对称。
定理5：函数与的图像关于直线成轴对称。
证明：设点是图像上任意一点，则。点关于直线的对称点为，显然点在的图像上。
同理可证：图像上关于直线对称的点也在图像上。
推论：函数与的图像关于直线y轴对称。
定理6：①函数与的图像关于直线成轴对称。
②函数与的图像关于直线成轴对称。
现证定理6中的②
证明：设点是图像上任一点，则。记点关于直线的对称点，则，所以代入之中得。所以点在函数的图像上。
同理可证：函数的图像上任一点关于直线的轴对称点也在函数的图像上。故定理6中的②成立。
推论：函数的图像与的图像关于直线成轴对称。
【典型例题】
1.定义在R上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是
（填奇函数或偶函数）
2.设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
3.设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线，则： _____________
4.已知偶函数满足，且当时，，则的值等于
5.定义在上的偶函数满足，且在上是增函数，下面是关于的判断：
① 是周期函数； ② 的图象关于直线对称；
③ 在上是增函数； ④
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。
6.已知函数的图象关于点对称，且满足，又，，
求…的值。
7. 设函数在上满足，，且在闭区间
上只有
⑴ 试判断函数的奇偶性；
⑵ 试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论.
8．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称?对任意，
都有： ，且．
(1)求；
(2)证明是周期函数；
(3)记＝，求．函数专题复习 第四讲 指数函数
【知识梳理】
1．根式
（1）根式的概念：
根式的概念 符号表示 备注
如果,那么叫做的次方根
当为奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数 零的次方根是零
当为偶数时,正数的次方根有两个,它们互为相反数 负数没有偶次方根
（2）两个重要公式：
①；
②。
【例题精讲】
【例1】求下列各式的值：
（1）（）； （2）.
【练习】化简与求值：
2．有理数指数幂
（1）幂的有关概念
①正整数指数幂:;
②零指数幂:;
③负整数指数幂:
④正分数指数幂:;
⑤负分数指数幂:
⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。
3．有理数指数幂的运算性质：
①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q);.
【例题精讲】
【例2】已知a=,b=9.求：（1） （2）.
【练习】 化简下列各式（其中各字母均为正数）:
（1） （2）
二、指数函数及其性质
4.指数函数定义:函数 称作指数函数。
5.指数函数的图像和性质
函数名称 指数函数
定义 函数且叫做指数函数
图象
定义域
值域
过定点 图象过定点，即当时，．
奇偶性 非奇非偶
单调性 在上是增函数 在上是减函数
函数值的变化情况
变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低．
【例题精讲】
【例1】求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）
【例2】求下列函数的值域：
（1）； （2）
【例3】按从小到大的顺序排列下列各数：，，，.
【例4】已知函数.
（1）求该函数的图象恒过的定点坐标； （2）指出该函数的单调性.
【例5】已知. （1）讨论的奇偶性； （2）讨论的单调性.
【例6】求下列函数的单调区间：（1）； （2）.
【例7】已知f(x)= (ax-a-x)(a>0,a≠1).
(1)判断f(x)的奇偶性；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)当x∈[-1,1]时，f(x)≥b恒成立，求b的取值范围.
【例8】已知函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈［1,2］恒成立，求实数m的取值范围.
0
1
0
1函数专题复习 第二讲 奇偶性和单调性 学案
一、奇偶性
【知识梳理】
1.定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
说明：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
2.利用定义判断函数奇偶性
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数
3.简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
②设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，
偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
【典例解析】
题型一：判断函数的奇偶性
例1 讨论下述函数的奇偶性：
练习 （1）讨论函数的奇偶性 （2）讨论的奇偶性
题型二：奇偶性的应用
例2 已知函数为奇函数，，且不等式的解集是∪
（1）求a,b,c。
（2）是否存在实数m使不等式对一切成立？若存在，求出m的取值范围；若不
存在，请说明理由。
练习
1. 若定义在R上的偶函数在上是减函数，且=2，则不等式的解集为______.
2.若为奇函数，则实数＝__ __
二、单调性
【知识梳理】
1.定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；
说明：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x12.利用定义判断函数单调性
①任取x1，x2∈D，且x1②作差f(x1)－f(x2)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
3.复合函数单调性
设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x)
①若u=g(x)在是增（或减）函数，y= f(u)也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是增函数；
②若u=g(x)是增（或减）函数，而y= f(u)是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。
4.简单性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：增函数增函数是增函数； 减函数减函数是减函数；
增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。
5.最值问题
（1）定义：
最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
说明：
①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）。
（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
②利用图象求函数的最大（小）值；
③利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；
【典例解析】
题型一：判断证明函数的单调性
例1（1）求函数的单调区间；（2）已知若试确定的单调区间和单调性。
例2 已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。
练习 讨论函数在(-2,2)内的单调性。
题型二：单调性的应用
例3 已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。
例4 已知奇函数f(x)的定义域为R，且f(x)在［0，+∞］上是增函数，是否存在实数m，使f(cos2θ－3)+f(4m－2mcosθ)>f(0)对所有θ∈［0,］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不存在，说明理由
练习 奇函数在定义域上为减函数，且满足，求实数的取值范围。
题型三：最值问题
例5 设a为实数，函数.
(1)若，求a的取值范围；
(2)求的最小值；
(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
练习 设m是实数，记M={m|m>1}，f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+)。
(1)证明：当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M；
(2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值；
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。
—函数专题复习 第一讲 函数及其表示
【知识网络】
【知识梳理】
1.函数与映射的概念
函数 映射
两集合 设是两个非空数集 设是两个非空集合
对应关系: 如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应。 如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应。
名称 称为从集合到集合的一个函数 称为从集合到集合的一个映射
记法 ， 对应是一个映射
注：函数与映射的区别：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集。
2.函数的其他有关概念
（1）函数的定义域、值域
在函数，中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域
（2）一个函数构成要素：定义域、值域和对应关系
（3）相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？（不一定。如果函数y=x和y=x+1,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数；再如y=sinx与y=cosx，其定义域为R，值域都为[-1，1]，显然不是相等函数。因此两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
（4）函数的表示方法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法和列表法。
（5）分段函数：若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。
【考点梳理】
考点1：映射的概念
【例】下列三个对应 是到的映射
（1），，；
（2），，；
（3），，．
[答案]（2）
考点2：判断两函数是否为同一个函数
【例】 试判断以下各组函数是否表示同一函数
（1），；
（2），
（3），（n∈N*）；
【练习】试判断以下各组函数是否表示同一函数
1.，；
2.，
考点3：求函数解析式
方法总结：
（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）方程的思想—已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组。
1.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
【例1】 已知二次函数，且+2+4,求.
2.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
【例2】 已知 ,求.
3.凑合法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
【例3】 已知，求
4.函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.
【例4】已知=为奇函数,当 >0时,,求
.
5.赋值法：抓住等式的特征对等式进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组
【例5】已知，求的解析式。（答：）；
【练习】
1.已知求的解析式
2.，则函数=__ ___
3.已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,
4.已知函数满足，求
5.已知为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2,求的解析式 。（答：）
考点4：求函数的定义域
1．确定函数的定义域的原则
（1）当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;
（2）当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；
（3）当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合；
（4）当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。
2．已知函数解析式确定函数定义域的依据
（1）若f(x)是整式，则定义域为全体实数；
（2）若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；
（3）当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；
（4）当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合；
（5）当解析式是由上述几种形式组合而成时，应首先求出式子中各部分的取值范围，然后再求出它们的公共部分；
【例1】函数的定义域是
【例2】若函数的定义域为R，则_______(答：
【练习】
1.函数的定义域是__ __(答：)；
2.设函数，①若的定义域是R，求实数的取值范围；②若的值域是R，求实数的取值范围（答：①；②）
3.根据实际问题的要求确定自变量的范围。
当函数涉及实际问题时，自变量的取值范围要使该问题有意义!
【例3】 用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架(如图)，若矩形底部长为2x，求此框围成的面积y与x的函数关系式，并指出其定义域.
4.求复合函数和抽象函数的定义域
1.已知的定义域，求复合函数的定义域
由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若的定义域为，求出中的解的范围，即为的定义域。
【例1】已知函数的定义域为，求的定义域
2.已知复合函数的定义域，求的定义域方法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
【例2】已知的定义域是，求函数的定义域
3.已知复合函数的定义域，求的定义域
结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
【例3】已知的定义域是，求的定义域(-34.已知的定义域，求四则运算型函数的定义域
若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
【例4】 已知函数定义域为是，且,求函数的定义域
【练习】
1.若函数的定义域为，则函数的定义域为___ ___ __
2.若函数的定义域为，则的定义域为_______ ___
3.已知的定义域为， 的定义域为
4.设，则的定义域为
考点5：分段函数
【例1】 已知函数f(x)＝
(1)求f(1)＋f(－1)的值；
(2)若f(a)＝1，求a的值；
(3)若f(x)＞2，求x的取值范围.
【练习】已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是
考点6：值域的求法
求值域的几种常用方法：
1.配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），
【例1】求函数的值域。
【例2】当时，函数在时取得最大值，则的取值范围是___。
【练习】求函数的值域
2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，运用换元法时，要特别要注意新元的范围！
【例1】的值域为___ __ ；
【例2】的值域为___ __ ；
【练习】
1.函数的值域为____ ；
2.的值域为_ _ __ ；
3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，
【例1】求函数的值域 ；
【例2】求函数的值域
【例3】求函数的值域
4.单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性
【例1】求的值域为____ __ ；
【例2】求函数—的值域
【练习】求函数（2≤x≤10）的值域
5.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等
【例1】已知点在圆上，求及的取值范围；
【例2】求函数的值域；
【练习】
1.求函数的值域
2.求函数的值域
注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在轴的同侧。
6.判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
①型，可直接用不等式性质，
求的值域
②型，先化简，再用均值不等式
求的值域；（2）求函数的值域
③型，通常用判别式法
已知函数的定义域为R，值域为[0，2]，求常数的值
④型，可用判别式法或均值不等式法
求的值域
【练习】求函数的值域
7.不等式法――利用基本不等式求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
【例】设成等差数列，成等比数列，则的取值范围是____________.
【练习】如求函数的值域
8.导数法――一般适用于高次多项式函数，
【例】求函数，的最小值
【练习】求函数，的最大值
9.分离常数法――形如的函数均可由此法求得值域。要注意自变量x的广泛性如：x为x2,ax,logax…等等。
【例】求函数的值域。
10.对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了
【例1】，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x [-1,0 )(0,4],求值域
【例2】，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间
【例3】，（1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间
【随堂练习】
1.求函数的值域。
2.求函数的值域。
3.求函数的值域。
4.求函数的值域。
5.求函数，的值域。函数专题复习 第四讲 对数函数、幂函数
【知识梳理】
一、对数函数
1．对数的概念
（1）对数的定义
如果，那么数叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数。
（2）几种常见对数
表格 1
对数形式 特点 记法
一般对数 底数为
常用对数 底数为10
自然对数 底数为e
2．对数的性质与运算法则：
（1）对数的性质（）：①，②，③，④。
（2）对数的重要公式：
①换底公式：；
②
推广：。
（3）对数的运算法则：如果，那么：
①；
②；
③R）；
④。
3．对数函数的图象与性质
图象
性质 （1）定义域：（0,+）
（2）值域：R
（3）当x=1时，y=0即过定点（1，0）
（4）当时，；当时， （4）当时，；当时，
（5）在（0,+）上为增函数 （5）在（0,+）上为减函数
注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系
提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。
∴0二、幂函数
1．幂函数的定义
形如y=xa（a∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数
注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。
2．五种幂函数的图象比较
注：在上图第一象限中如何确定y=x3，y=x2，y=x，，y=x-1
方法：可画出x=x0；
当x>1时，按交点的高低，从高到低依次为y=x3，y=x2， y=x，， y=x-1；
当03．幂函数的性质比较
( http: / / www. / ) y=x y=x2 y=x3 y=x-1
定义域 R R R [0，）
值域 R [0，） R [0，）
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 x∈[0，）时，增；x∈时，减 增 增 x∈(0,+)时，减；x∈(-,0)时，减
定点 (0,0)，（1，1）
提示：（1）由于在第四象限x>0，又因为此时因此幂函数图象上的点不会在第四象限；
（2）由函数的定义可知，幂函数的图象最多出现在两个象限内。
【要点名师解析】
（一）对数函数
1.对数式的化简与求值
对数的化简与求值的基本思路：利用换底公式及，尽量地转化为同底的和、差、积、商运算；利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算；约分、合并同类项，尽量求出具体值。
【例1】计算
（1）； （2）；
（3）
2.比较大小
（1）比较同底的两个对数值的大小，可利用对数函数的单调性来完成。
①a>1,f(x)>0.g(x)>0,则logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;
②00,g(x)>0,则logaf(x)>logag(x) 0（2）比较两个同真数对数值的大小，可先确定其底数，然后再比较。
①若a>b>1，如图1.
当f(x)>1时，logbf(x)>logaf(x);
当0 logbf(x).
②若1>a>b>0,如图2。
当f(x)>1时，logbf(x)> logaf(x);
当1>f(x)>0时，logaf(x)> logbf(x).
③若a>1>b>0。
当f(x)>1时，则logaf(x)> logbf(x);
当0（3）比较大小常用的方法
①作差（商）法；②利用函数的单调性；③特殊值法（特别是1和0为中间值）
【例2】对于，给出下列四个不等式：
①②；③④其中成立的是
注：（1）画对数函数图象的几个关键点共有三个关键点：
（2）解决与对数函数有关的问题时需注意两点
①务必先研究函数的定义域；
②注意对数底数的取值范围。
（3）比较对数式的大小
①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；
②当底数不同，真数相同时，可转化为同底（利用换底公式）或利用函数的图象，数形结合解决；
③当不同底，不同真数时，则可利用中间量进行比较。
三、对数函数图象与性质
（1）对数函数的性质是每年高考必考内容之一，其中单调性和对数函数的定义域是热点问题。其单调性取决于底数与“1”的大小关系。
（2）利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”。即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决。
（3）与对数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤
①确定定义域；
②弄清函数是由哪些基本初等函数复合而成的，将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x)
③分别确定这两个函数的单调区间；
④若这两个函数同增或同减，则y=f(g(x))为增函数，若一增一减，则y=f(g(x))为减函数，即“同增异减”。
【例3】已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【例4】设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
注：解决对数函数问题，首先要看函数的定义域，在函数的定义域内再研究函数的单调性，判断时可利用定义，也可利用复合函数单调性的判断。对于恒成立问题注意等价思想的应用。
四、对数函数的综合应用
【例5】已知函数f(x)=-x+.
(1)求f()+f(-)的值；
(2)当x∈(-a,a］，其中a∈(0,1），a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由.
（二）幂函数
一、幂函数定义的应用
（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.
（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.
（3）几个具体函数的定义
①正比例函数；
②反比例函数；
③一次函数；
④二次函数；
⑤幂函数（）
【例1】已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.
【例2】已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x)：（1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；（4）是幂函数。
二、幂函数的图象与性质
幂函数的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从三方面考查：
（1）的正负：>0时，图象过原点和（1，1），在第一象限的图象上升；<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立；
（2）曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸；
（3）=（其中，且互质）。
①当为偶数时，为偶函数，其图象关于轴对称；
②当都为奇数时，为奇函数，其图象关于原点对称；
③当为偶数，为奇数时，为非奇非偶函数，其图象只能在第一象限。
注：幂函数的图象无论取何实数，其必经过第一象限，且一定不经过第四象限。
【例3】已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有：（1）；（2）；（3）．
【例4】 已知函数求的单调区间；比较与的大小