圆锥曲线 学案

圆锥曲线专题 第二讲 双曲线 学案
【知识梳理】
1．双曲线的定义
第一定义：平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|，即||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点的轨迹叫做双曲线．(这两个定点叫焦点)
说明：
①式中是差的绝对值，在条件下，时为双曲线的一支； 时为双曲线的另一支（含的一支）；
②当时，表示两条射线；
③当时，不表示任何图形；
④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(e>1)的点的轨迹。
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
设P到的对应准线的距离为，到对应的准线的距离为，则
2．双曲线的标准方程
(1) 标准方程：，焦点在 轴上；，焦点在 轴上．其中：a 0，b 0， ．
(2) 双曲线的标准方程的统一形式：
3．双曲线的几何性质(对进行讨论)
(1) 范围： ， ．
(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．
(3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，准线方程为 ，渐近线方程为 ．
(4) 离心率= ，且 ，越大，双曲线开口越 ，越小，双曲线开口越 ，焦准距P＝ ．
(5) 焦半径公式，设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若是双曲线右支上任意一点， ， ，若是双曲线左支上任意一点， ， ．
(6) 具有相同渐近线的双曲线系方程为 的共轭双曲线方程为 ．
(7) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率为 ．
(8)等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为： ；（2）渐近线互相垂直。
注意：
（1）以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
（2）注意到等轴双曲线的特征，则等轴双曲线可以设为： ，当时交点在 轴，当时焦点在轴上。
【题型梳理】
题型一　双曲线的定义与标准方程
【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.
【例2】根据下列条件，写出双曲线的标准方程
(1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5．
(2) 与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)．
题型二　双曲线几何性质的运用
【例3】双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使＝0，求此双曲线离心率的取值范围.
【例4】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3：7。
（1）求这两曲线方程；
（2）若P为这两曲线的一个交点，求的值。
题型三　直线与双曲线的位置关系
【例5】（1）求直线被双曲线截得的弦长；
（2）求过定点的直线被双曲线截得的弦中点轨迹方程
【例6】已知中心在原点，左、右顶点A1、A2在x轴上，离心率为的双曲线C经过点P（6,6），动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点.
（1）求双曲线C的标准方程
（2）当直线l的斜率为何值时，。
题型四　有关双曲线的综合问题
【例7】已知双曲线－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；
(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.圆锥曲线专题 第三讲 抛物线 学案
【知识梳理】
1．抛物线定义：平面内到 和 距离 的点的轨迹叫抛物线， 叫抛物线的焦点， 叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外，否则，轨迹将退化为一条直线)．
2．抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
① ，焦点为 ，准线为 ．
② ，焦点为 ，准线为 ．
③ ，焦点为 ，准线为 ．
④ ，焦点为 ，准线为 ．
3．抛物线的几何性质：对进行讨论．
① 点的范围： 、 ．
② 对称性：抛物线关于 轴对称．
③ 离心率 ．
④ 焦半径公式：设F是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则 ．
⑤ 焦点弦长公式：设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)
i) 若，，则＝ ， ．
ii) 若AB所在直线的倾斜角为(则＝ ．
特别地，当时，AB为抛物线的通径，且＝ ．
iii) S△AOB＝ （表示成P与θ的关系式）．
iv) 为定值，且等于 ．
【题型梳理】
题型一　抛物线的定义与标准方程
求抛物线的标准方程常采用待定系数法。利用题中已知条件确定抛物线的焦点到准线的距离p的值；
注：抛物线的标准方程有四种类型，所以判断类型是关键，在方程类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个参数p，只需一个条件就可以确定一个抛物线的方程。
【例1】根据下列条件，求抛物线的标准方程.
(1)抛物线过点P(2，－4)；
(2)抛物线焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5.
(3)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和n的值．
【例2】已知如图所示，抛物线的焦点为，在抛物线上，其横坐标为4，且位于x轴上方，到抛物线准线的距离等于5。过作垂直于y轴，垂足为，的中点为。
（1）求抛物线方程；
（2）过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标。
题型二:直线与抛物线
1.直线与抛物线的位置关系
设抛线方程为,直线Ax+By+C=0,将直线方程与抛物线方程联立,
消去x得到关于y的方程my2+ny+q=0,
(1)若m≠0,当⊿＞0时,直线与抛物线有两个公共点;
当⊿=0时,直线与抛物线只有一个公共点;当⊿＜0时,直线与抛物线没有公共点.
(2)若m=0,直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线的对称轴平行.
2.焦点弦问题
已知AB是过抛物线的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则
(1) y1·y2=-p2,·=;
(2)
(3)；
(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
3. “设而不求”: 比如有一个已知曲线方程，一条未知斜率k直线，他们有两个交点，你就设出来，联立椭圆方程跟直线方程，得到一个关于直线k的一元二次方程，然后利用题给条件，结合韦达定理，（比如给你两个交点的中点的横或者纵坐标，你就可以算出直线斜率了）在经过你的做题技巧得出结果，如果他要难一点，可能就会涉及到动点（解不出k），然后算最大小值，这时候就要注意构造均值不等式（一正二定三相等）或者也可以数形结合
4．“点差法”： 如若是抛物线上两点，则直线AB的斜率与可得如下等式：。
【例3】 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．
(1) 若，求直线l的方程．
(2) 求的最小值．
【例4】已知一条曲线C在y轴右侧，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程；
(2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
题型三　抛物线的实际应用
【例5】如图，，是通过某市开发区中心0的两条南北和东西走向的道路，连接M、N两地的铁路是一段抛物线弧，它所在的抛物线关于直线L1对称．M到L1、L2的距离分别是2 km、4km，N到L1、L2的距离分别是3 km、9 kin． （1）建立适当的坐标系，求抛物线弧MN的方程； （2）该市拟在点0的正北方向建设一座工厂，考虑到环境问题，要求厂址到点0的距离大于5km而不超过8km，并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于km．求 此厂离点0的最近距离．（注：工厂视为一个点）
题型四：有关抛物线的综合问题
【例6】已知抛物线C：y＝2x2，直线y＝kx＋2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.
(1)求证：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.圆锥曲线专题 第四讲 综合复习 学案
【知识网络】
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线C的位置关系
将直线的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2+bx+c=0.
(1)交点个数
①当 a=0或a≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点;
②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点;
③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点;
(2) 弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：
①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）
②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）
③曲线上两点的中点在对称直线上
3.求动点轨迹方程
①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法
②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法
③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转入法
4.设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求
②弦中点问题用“点差法”设而不求
【题型梳理】
一、直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
【例1】 设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是
【名师指引】
（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
.题型2：与弦中点有关的问题
【例2】已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线的方程.
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
题型3：与弦长有关的问题
【例3】已知直线被抛物线截得的弦长为20，为坐标原点．
（1）求实数的值；
（2）问点位于抛物线弧上何处时，△面积最大？
二、对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【例4】若直线过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线L的方程．
【例5】在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围.
【名师指引】要抓住对称包含的三个条件：
(1)中点在对称轴上
(2)两个对称点的连线与轴垂直
(3)两点连线与曲线有两个交点(),通过该不等式求范围
三、 圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
【例6】已知椭圆与直线相交于两点．当椭圆的离心率满足，且（为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【例7】定长为3的线段AB的两个端点在抛物线上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
【例8】直线m：y=kx+1和双曲线x2-y2=1的左支交于A，B两点，直线过点P（-2，0）和线段AB的中点M，求在y轴上的截距b的取值范围．
四、 定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
【例9】已知P、Q是椭圆C：上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
六、 曲线与方程
题型：用几种基本方法求方程
【例10】过双曲线C:的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点，,求点M的轨迹方程．
【例11】已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为．求动点的轨迹方程；
【例12】已知抛物线C： y2=4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；圆锥曲线专题 第一讲 椭圆 学案
一、曲线与方程
【知识梳理】
1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。
注：如果只满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
注:求轨迹和轨迹方程有什么不同 (求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。
【题型梳理】
（一）用直接法求轨迹方程
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1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含、的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。
2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。
※例题解析※
〖例1〗如图所示，设动直线垂直于x轴，且与椭圆交于A、B两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。
（二）用定义法求轨迹方程
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1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。
2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。
※例题解析※
〖例2〗如图所示，一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。
注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。
（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。
（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。
（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程
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1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。
※例题解析※
〖例3〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足:，点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。
（四）用参数法求轨迹方程
〖例4〗设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：
（1）动点P的轨迹方程；
（2）的最小值与最大值。
二、椭圆
1.椭圆的定义
（1）椭圆的第一定义：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|，即)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．
当时, 的轨迹为椭圆 ；
当时, 的轨迹不存在；
当时, 的轨迹为 以为端点的线段
（2）椭圆的第二定义:平面内到定点与定直线(定点不在定直线上)的距离之比是常数()的点的轨迹为椭圆
（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）.
2.标准方程、图形和几何性质
标准方程
图形
性质 范围
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
准线方程
焦半径
轴 长轴的长为2a，短轴的长为2b
焦距 ||=2c
离心率
a,b,c的关系
注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆）。
3．点与椭圆的位置关系
4.常用结论
①过椭圆的焦点的弦AB长的最大值为2a， (长轴)；最小值为(过焦点垂直长轴的弦)
②设椭圆的两焦点分别为F1、F2， P为椭圆任意一点，当∠F1PF2最大时，P为短轴端点；
③椭圆上的点到焦点的最短距离为a-c；椭圆上的点到焦点的最长距离为a+c
【题型梳理】
（一）椭圆的定义以及标准方程
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求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：
（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程：。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为：，这种形式在解题时更简便。
〖例1〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
（二）椭圆的几何性质
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1．椭圆的几何性质涉及一些不等关系，例如对椭圆，有等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值时，经常用到这些不等关系。
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形。当涉及到顶点、焦点、准线、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系。
3．求椭圆离心率问题，应先将e用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于e的等式或不等式，从而求出e的值或范围。离心率e与的关系：
※例题解析※
〖例2〗已知椭圆的长轴、短轴端点分别为A、B，从椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。求椭圆的离心率；
设Q是椭圆上任意一点，、分别是左、右焦点，求∠的取值范围。
（三）直线与椭圆的位置关系
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1．直线与椭圆位置关系的判定
把椭圆方程与直线方程y=kx+b联立消去y，整理成形如的形式，对此一元二次方程有：
（1）⊿>0,直线与椭圆相交，有两个公共点；
（2）⊿=0，直线与椭圆相切，有一个公共点；
（3）⊿<0，直线与椭圆相离，无公共点。
2．直线被椭圆截得的张长公式，设直线与椭圆交于两点，则
注：解决直线与椭圆的位置关系问题时常利用数形结合法、设而不求法、弦长公式及根与系数的关系去解决。
※例题解析※
〖例3〗中心在原点，一个焦点为F1（0，）的椭圆截直线所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程
〖例4〗已知椭圆：，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长
（四）与椭圆有关的综合问题
〖例5〗如图，已知椭圆C：经过椭圆C的右焦点F且斜率为k(k≠0)有直线交椭圆C于A、B两点，M为线段AB中点，设O为椭圆的中心，射线OM交椭圆于N点。
（1）是否存在k，使对任意m>0,总有成立？若存在，求出所有k的值；
（2）若，求实数k的取值范围。