24.2.1点和圆的位置关系

(共39张PPT)
24.2.1点和圆的位置关系
如图，设⊙O 的半径为r，
A点在圆内
B点在圆上
C点在圆外
点A在⊙O内
点B在⊙O上
点C在⊙O外
反过来，如果已知点到圆心的距离和圆的半径之间的关系，可以判断点和圆的位置关系
OA＜r
OB=r
OC＞r
A
B
C
r
OA＜r
OB=r
OC＞r
O
设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。则
点和圆的位置关系
点在圆内
d﹤r
点在圆上
点在圆外
d＝r
d>r
练习：已知圆的半径等于5厘米，若点到圆心的距离是:
⑴8厘米 ⑵4厘米 ⑶5厘米。
请你分别说出点与圆的位置关系。
●
●
●
●
O
符号 读作“等价
于”,它表示从符号
的左端可以得到右端,从
右端也可以得到左端．
圆外的点
圆内的点
圆上的点
平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点。
圆的内部可以看成是 ；
圆的外部可以看成是 。
到圆心的距离大于半径的点的集合
思考：平面上的一个圆把平面上的点分成哪几部分？
到圆心的距离小于半径的点的集合
问：⊙O的半径6cm，当OP=6时，点P在 ；当OP 时点P在圆内；当OP 时，点P不在圆外。
圆上
＜6
≤6
A
6
O
点A在
点B在
点C在
∵OA=8<10 ∴点A在圆内
∵OB=10=10 ∴点B在圆上
∵OC=12>10 ∴点C在圆外
圆内
圆上
圆外
1.⊙O的半径10cm，A、B、C三点到圆心
的距离分别为8cm、10cm、12cm，则
点A、B、C与⊙O的位置关系是：
画出由所有到已知点O的距离大于或等于2CM并且小于或等于3CM的点组成的图形。
O
O
问：如图已知矩形ABCD的边AB=3厘米，AD=4厘米
A
D
C
B
（1）以点A为圆心，3厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆上，D在圆外，C在圆外)
（2）以点A为圆心，4厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆上，C在圆外)
（3）以点A为圆心，5厘米为半径作圆A，则点B、C、D与圆A的位置关系如何？
(B在圆内，D在圆内，C在圆上)
1.已知⊙O的面积为25π：
（1）若PO=5.5，则点P在 ；
（2）若PO=4，则点P在 ；
（3）若PO= ，则点P在圆上；
（4）若点P不在圆外，则PO__________。
随堂练习
O
O
5
2.如图，⊿ABC中，∠C=90°，
BC=3，AC=6，CD为中线，
以C为圆心,以 为半径作圆，
则点A、B、D与圆C的关系如何？
随堂练习
6
3
已知菱形ＡＢＣＤ的对角线为AC和 BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证E、F、G、H四个点在同一个圆上。
思路：要证明几个点在同一圆上，就是证明这几个点到某一个定点的距离相等
O
问：在⊙O中，点M到⊙O的最小距离为3，最大距离是19，那么⊙O的半径为（ ）
11或8
唐朝的铜镜是中国铜镜中的精品。江西省文物考古研究所日前从玉山县一座唐代墓葬中出土了半面铜镜，那么你有什么方法使得它能“破镜重圆”呢？
A
B
0
C
●A
●A
●B
过一点可作几条直线？过两点可以作几条直线？过三点呢？
过两点有且只有一条直线(直线公理)
（“有且只有”就是“确定”的意思）
经过一点可以作无数条直线；
过三点
1、若三点共线，则过这三点只能作一条直线.
A
B
C
2、若三点不共线，则过这三点不能作直线，但过任意其中两点一共可作三条直线.
A
B
C
直线公理：两点确定一条直线
对于一个圆来说,过几个点能作一个圆,并且只能作一个圆？
过一点能作几个圆？
无数个
A
过A点的圆的圆心有何特点？
平面上除A点外的任意一点
经过一个已知点A能确定一个圆吗
A
经过一个已知点能作无数个圆
过两点能作几个圆？
A
B
过A、B两点的圆的圆心有何特点？
经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上.
以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.
●O
●O
经过两个已知点A、B能确定一个圆吗
A
B
经过两个已知点A、B能作无数个圆
经过两个已知点A、B所作的圆的圆心在怎样的一条直线上
它们的圆心都在线段AB的中垂线上。
A
B
C
为什么过同一直线上的三点不能作圆呢？
因为DE∥FG，所以没有交点，
即没有过这三点的圆心
D
F
E
G
1.当三点共线
(不能作圆)
参见课本P92反证法
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
A
B
C
1、连结AB，作线段AB的垂直平分线DE，
O
D
E
G
F
2、连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O ，
3、以O为圆心，OB为半径作圆，
作法：
⊙O就是所求作的圆
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C
求作：⊙O，使它经过A、B、C
2、当三点不共线
请你证明你作的圆符合要求
证明:∵点O在AB的垂直平分线上，
∴OA=OB.
同理,OB=OC.
∴OA=OB=OC.
∴点A,B,C在以O为圆心，OA长为半径的圆上.
∴⊙O就是所求作的圆,
在上面的作图过程中.
∵直线DE和FG只有一个交点O,并且点O到A,B,C三个点的距离相等,
∴经过点A,B,C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
定理：
不在同一直线上的三点确定一个圆.
O
A
B
C
O
1.由定理可知：经过三角形三个顶点可以作一个圆.并且只能作一个圆.
2.经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3.三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
A
B
C
圆的内接三角形
三角形的外接圆
三角形的外心
A
B
C
O
外心
1.三边垂直平分线的交点
2.到三个顶点距离相等
一个三角形的外接圆有几个？
一个圆的内接三角形有几个？
O
A
B
C
A
B
C
O
直角三角形外心是斜边AB的中点
钝角三角形外心在△ABC的外面
三角形的外心是否一定在三角形的内部？
画出过以下三角形的顶点的圆
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
1、比较这三个三角形外心的位置，你有何发现？
（图1）
（图2）
（图3）
2、图2中，若AB=3，BC=4，则它的外接圆半径是多少？
锐角三角形的外心位于三角形内,直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点,钝角三角形的外心位于三角形外.
课堂练习
判断题：
1、过三点一定可以作圆 （ ）
5、三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
2、三角形有且只有一个外接圆 （ ）
3、任意一个圆有一个内接三角形，
并且只有一个内接三角形 （ ）
4、三角形的外心就是这个三角形任意两边
垂直平分线的交点 （ ）
如何解决“破镜重圆”的问题：
A
B
C
O
圆心一定在弦的垂直平分线上
1。如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？
A
B
C
D
A
B
C
D
2。经过四个点是不是一定能作圆？举例说明。
思考题
思考：过任意四个点是不是一定可以作一个圆 请举例说明.
不一定
1.四点在一条直线上不能作圆；
3.四点中任意三点不在一条直线可能作圆也可能作不出一个圆.
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
2.三点在同一直线上,另一点不在这条直线上不能作圆;
你强,我更强!
1. 如果直角三角形的两条直角边分别是6, 8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗 是多少
2.在△ABC中,AB=AC=13,BC=10,试求这个三角形的外接圆的面积.
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
A
B
C
过如下三点能不能做圆 为什么
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点，而l1⊥l，l2⊥l这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，所以过同一条直线上的三点不能作圆．
l1
l2
A
B
C
P
先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
什么叫反证法？
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
(1)命题的结论是否定型的；
(2)命题的结论是无限型的；
(3)命题的结论是“至多”或“至少”型的.
我学会了什么 ？
过两点可以作无数个圆.圆心在以已知两点为端点的线段的垂直平分线上.
实际问题
直线公理
过一点可以作无数个圆
过三点
过不在同一条直线上的三点确定一个圆
过在同一直线上的三点不能作圆
外心、三角形外接圆、圆的内接三角形
实际问题
作圆
引入
解决
类比
作业：课时书第44页到45页。