山东省菏泽市东明县万福中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版含答案）

高一数学
注意事项：
1.本试题满分 150 分，考试时间为 120 分钟。
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。
3.使用答题纸时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答
题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项符合题目要求）
1.已知集合 A {x | x N,且 x 1}， B { 2, 1,0,1,2}，则 A B
A.{ 2, 1,0,1,2} B.{ 1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{1,2}
2.命题“ x R， x3 x 1 0”的否定为
A. x R， x3 x 1≤0 3B. x R， x x 1≤0
C. x R， x3 x 1≥0 D. x R， x3 x 1≥0
x2 y2
3.“ x 0， y 0”是“ xy≤ ”的
2
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 x x2
4.函数 f (x) 的定义域为
x 1
A.[ 3,2] B.[ 3,1) (1,2] C.[ 2,3] D.[ 2,1) (1,3]
5.若a,b,c R ，则下列命题正确的是
c c 1 1
A.若a b 0，则 B.若a b且 ，则ab 0
a b a b
C.若a b 0，则a2 b2 ab 2 2 D.若a b 0，则a ab b
6.已知 f (x) 是非零实数集上的偶函数，且在 ( ,0)上为减函数，若 f ( 1) 0，则下列
说法正确的是
A. f ( 3) f (4) B. x R ， M R ，使 f (x)≥M
C.若 xf (x) 0，则 x ( , 1) (0,1) D.若 f (m 1) f (2)，则m ( ,3)
高一数学试题（第 1 页，共 4页）
2x 1 1
7.已知函数 f (x) ， g(x) x (x 0) ，则 y f (g(x))的值域为
x 1 x
A. ( ,2) (2, ) B.[5, ) C. (2, ) D. (2,5]
3x2 6x, x≤0
8.若函数 f (x) ，将函数 y f x f (t) ， x [m,n]的最大值记作
3x 2 , x 0
Zt[m,n]，则当 2≤
Z
m≤2时， 4[m,m 4]的取值范围是
3
A.[5,14] B.[5,16] C.[2,14] D.[2,16]
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9.如图，集合U 是全集, A ，B 是非空集合，定义集合 A B 为阴影部分表示的集合，则
A B 可表示为
A.B U(A B) B. A U(A B)
C. (( UA) B) (( UB) A) D. (A B) U(A B)
10.已知a 0，b 0，则下列结论正确的是
2 2
2ab a b a b
A. ≤ ab B. ≥
a b 2 2
a2 1 b2 1 2 1
C. 的最小值为 4 D.若 1，则2a b 的最小值为8
a b a b
11.某打车平台欲对收费标准进行改革，现制定了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费
用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是
A．当打车距离为8km时，乘客选择甲方案省钱
B．当打车距离为10km时，乘客选择甲、乙方案均可
C．打车3km以上时，每公里增加的费用甲方案比乙方案多
D．甲方案3km内（含3km）付费5元，行程大于3km 每
增加1公里费用增加0.7 元
高一数学试题（第 2 页，共 4页）
2
, x≥2
12．定义域为R 的奇函数 f (x) ，当 x 0时， f (x) x 1 ，下列结论
x2 2x 2,0 x 2
正确的有
f (x1) f (x2 )
A．对 x1, x2 ( 1,1) 且 x1 x2 ，恒有 0 x1 x2
x x f (x ) f (x )
B．对 x1, x2 [2, )，恒有 f (
1 2 )≤ 1 2
2 2
C．函数 y x 与 f (x) 的图象共有 4 个交点
D．若 x [a,0)时， f (x) 的最大值为 1，则a [ 3, 1]
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13.已知集合 A { 1,0,a2}， B { 1,a}，若 A B B ，则实数 a 的值为_________.
14.若函数 f (x) x2 2kx 2在[ 1,2]上具有单调性，则实数 k 的取值范围是________.
15.已知命题： x R，ax2 x 2 0 是假命题，则实数a 的取值范围是________.
16.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数
1 q q
,当x ( p,q都是正整数, 是既约真分数)
学中有着广泛的应用.其定义为： R x p p p ，

0,当x 0,1或 0,1 上的无理数
2
则 R( ) _________；若函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 x 都有
3
2 7
f (2 x) f (x) 0，当 x [0,1]时， f (x) R(x)，则 f ( ) f ( )
2 5
______________.（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. (本小题满分 10分)已知全集U R，A {x R || 2x 5 | 9}，B {x | 2 x≤8}.
（1）求 A B， ( UA) B ；
（2）若C {x | 2a x a 3}，且C B C ，求实数 a 的取值范围.
1
18.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) 满足 f (x) 2 f ( ) 3x .
x
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）判断函数 f (x) 在（0， ）上的单调性，并用定义证明.
高一数学试题（第 3 页，共 4页）
19.( 本小题满分 12分)已知不等式mx2 x 2 0的解集为{x | 2 x n}.
（1）求m 、 n 的值，并求不等式nx2 5mx 6 0的解集；
（2）设函数 y ax
2 n 1 x 2a (a 0)的图象与 x 轴交点的横坐标分别为 x1, x2 ,
若 | x1 x2 |≤4，求实数 a 的取值范围.
20．（本小题满分 12 分）文化是魂，旅游为体.为推动文旅融合发展，不断提升、持续强
化文化和旅游产业的竞争力，某景点推出对旅行社购买团体票的优惠活动，团体票价
格规定如下：若团体人数不超过25人，每张票价50元；若超过25人，则每增加1人，
每张票价降低 2 元，但每张票价不低于34元.
（1）若某旅行社购票费用恰为1122元，求该旅行社购买团体票的人数；写出购票费用
f (x) 与团体人数 x 之间的函数解析式；
（2）若某旅行社计划对每名游客收取该景点门票费用45元，要使旅行社购票利润不低
于150元，则旅行社至少需组织多少人进行团购？（购票利润 收取总费用 购票
费用）
21.(本小题满分 12分)已知定义在[ 1,1]上的函数 f (x) 的图象是连续不断的，且满足以
下条件:
① x, y [ 1,1]， f (x y) f (x) f (y)；② f ( 1) 3；
③ m,n [ 1,1]，且m n 0，都有 (m n)( f (m) f (n)) 0 .
（1）判断 f (x) 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断并证明 f (x) 的单调性；
（3）若不等式2at 4≤ fmax (x)在a [ 1,1]上有解，求实数 t 的取值范围.
2
22.（本小题满分 12分）已知函数 f (x) x ax 1在[1,2]上的最小值为3.
（1）求函数 f (x) 的解析式；
k
（2）解关于 x 的不等式2x2 (3 )x 1 k≤ f (x)≤k(x 1) 1(k 1) ；
2
2 2
（3）不等式 f (x 1) m(x 1)≤ 1在[0, 3]上恒成立，求实数m 的取值范围.
高一数学试题（第 4 页，共 4页）
高一数学参考答案
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1.C 2. B 3. A 4.D 5.B 6.C 7.D 8.A
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 全部选对的得 5 分，部分选对的得
2 分，有选错的得 0 分）
9. CD 10.AC 11.ABC 12.BD
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
1 1 1
13.1 14. k≤ 2或 k≥1 15.a≤ 16. ，
8 3 5
四、解答题（共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（1）因为 | 2x 5 | 9 ,所以 9 2x 5 9，即 2 x 7，
所以 A {x | 2 x 7}， …………………………………………………………………1分
而 B {x | 2 x≤8}，
所以 A B {x | 2 x 7}， ………………………………………………………………3 分
UA {x | x≤ 2或x≥7}， ………………………………………………………………4分
( UA) B {x | x≤ 2 或 x 2}， …………………………………………………………5分
（2）因为C B C ，所以C B . ………………………………………………………6分
若 ，则2a≥a 3，即a≥3………………………………………………………7分
2a a 3

若 ，则 2a≥2 ， ………………………………………………………………8 分

a 3≤8
a 3

即 a≥1 ，所以1≤a 3， ……………………………………………………………9分

a≤5
综上所述：a≥1. …………………………………………………………………………10 分
高一数学试题答案 第 1 页（共 6 页）
1
18. 解：（1）由 f (x) 2 f ( ) 3x，
x
1
用 代替 x 可得，
x
1 3
f ( ) 2 f (x) ， ……………………………………………………………2分
x x
1
f (x) 2 f ( ) 3x x

1 3f ( ) 2 f (x) , 4分
x x
联立方程，
2
解得： f (x) x(x 0). ………………………………………………………6分
x
（2）函数 f (x) 在 (0, )上单调递减， …………………………………………7分
证明：任取 x1, x2 (0, )，且 x1 x2， …………………………………………8分
2 2
f (x1) f (x2 ) ( x1) ( x2 )
x1 x2
2 2
(x2 x1)
x1 x2
2(x2 x1) (x2 x1)
x1x2
2
(x2 x1)( 1)， …………………………………………10分
x1x2
2
因为 x1, x2 (0, )，且 x1 x2，所以 x2 x1 0， 1 0， x1x2
故 f (x1) f (x2 ) 0 ，即 f (x1) f (x2 )，
所以 f (x) 在 (0, )上单调递减. …………………………………………12 分
高一数学试题答案 第 2 页（共 6 页）
1
2 n m
19.解：(1)由题意得 ， …………………………………………………2分
2 2n
m
m 1
解得 ， ………………………………………………………………………4分
n 1
由 x2 5x 6 0，解得 x 1或 x 6，
故不等式解集为{x | x 1或x 6}， ……………………………………………………6分
另解：由题意知：方程mx2 x 2 0的解为 x 2或x n
将 x 2代入得m 1， ………………………………………………2分
解方程 x2 x 2 0得 x 2或x 1，所以n 1， …………………………………4分
由 x2 5x 6 0，解得 x 1或 x 6，
故不等式解集为{x | x 1或x 6}， ……………………………………………………6分
2 1 1 2a
2 1 1 2a2
(2)令ax 2x 2a=0解得 x1= , x ， …………………8分 2
a a
1 1 2a2 1 1 2a2 2 1 2a2
所以 x1 x2 = = ≤4， ………………10分
a a a
2 2 2
所以 1 2a ≤2 a ，解得a≤ 或a≥ ，
2 2
2 2
所以实数 a 的取值范围是a≤ 或a≥ . ………………………………………12分
2 2
2
另解：因为函数 y ax n 1 x 2a (a 0)的图象与 x 轴有两交点，
所以 4 4a( 2a) 4 8a2 0恒成立， ………………………………7分
2
所以 x1 x2 ，x1x2 2， ………………………………………………………8分
a
高一数学试题答案 第 3 页（共 6 页）
2 2 4
所以 x1 x2 (x1 x2) 4x1x2 8≤16， ……………………………………10分
a2
2 2
解得a≤ 或a≥ ，
2 2
2 2
所以实数 a 的取值范围是a≤ 或a≥ . ………………………………………12分
2 2
20. 解：（1）设该旅行社购买团体票的人数为 x ( x N* )，由题意得：
当0 x≤25时，购票费用为50x 1122，此方程解不合题意， ……………………1分
当 x 25时，门票价格为50 2(x 25)元，有 x(50 2(x 25))=1122， …………2分
化简得 x2 50x 561 0，解得 x 17（舍）或 x 33， …………………4分
此时，门票价格恰为34元，符合题意.
所以，旅行社购票费用恰为1122元时，该旅行社购买团体票的人数为33. …………5分
50x, 0 x≤25

所以， f (x) 2x
2 100x, 25 x≤33（ x N* ）， …………………7分

34x, x 33
（2）由题意可知，当0 x≤25时，显然不合题意； …………………………8分
当25 x≤33时，旅行社的购票利润为 45x ( 2x2 100x)≥150， ……………9分
5
即2x2 55x≥150，解得 x≤ （舍）或 x≥30，
2
此时，旅行社至少需要组织30人； ……………11分
综上，要使旅行社购票利润不低于150元，则旅行社至少需组织30人进行团购.……12分
21.解：(1) f (x) 为奇函数. …………………………………………………………………1分
令 x y 0 得 f 0 f 0 f 0 ，所以 f 0 0，………………………………2 分
令 y x 得 f 0 f x f x …………………………………3 分
，
所以 f x f x 0 ,即 f x f x ，
又因为 x [ 1,1]，故 f x 为奇函数. ………………………………………………………4分
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(2) f (x)在[ 1,1]上单调递减, ……………………………………………………………5分
令m x2 ，n x1，且 1≤ x1 x2 ≤1，则 x2 x1 0 , …………………………6分
由题③得： x2 x1 ( f x2 f x1 )
x2 x1 ( f x2 f x1 ) 0 , …………………………………………………………7分
因为 x2 x1 0 ,所以 f x2 f x1 0 ,
即 f x2 f x1 ,
所以函数 f x 在[ 1,1]上单调递减, ……………………………………………………8 分
(3)由(2)知 f x 在[ 1,1]上单调递减，所以 f 1 ≤ f x ≤ f 1 ,
所以 3≤ f x ≤3, ……………………………………………………………………9 分
即 2at 4≤ fmax x 3在a [ 1,1]上有解, ……………………………………10 分
所以2 1 t 4≤3或2t+4≤3 ,………………………………………………………11分
1 1
解得 t≥ 或 t≤ ，
2 2
1 1
故实数 t 的取值范围为 t≥ 或 t≤ .…………………………………………………12分
2 2
a a2
22.解：（1） f (x) x2 ax 1 (x )2 1 ， …………………………1分
2 4
a
①当 1，即a 2时， f (x) 在[1,2]上单调递增，
2
fmin (x) f (1) 2 a 3，解得a 1，满足题意； …………………………2分
a a
②当1≤ ≤2，即2≤a≤4时， f (x) 在[1, ]上单调递减，
2 2
a a a2
在[ ,2]上单调递增， fmin (x) f ( ) 1 3，无解，………………………3分 2 2 4
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a
③当 2，即a 4时， f (x) 在[1,2]上单调递减，
2
fmin (x) f (2) 5 a 3，解得a 2，不满足题意； …………………………4分
故函数 f (x) 2的解析式为： f (x) x x 1. …………………………5分
k
（2）不等式2x2 (3 )x 1 k≤ f (x)≤k(x 1) 1可化为：
2
x2 (1 k)x k≤0

k ，
x
2 (2 )x k≤0
2
因为 k 1 2，所以 x (1 k)x k≤0的解集为[ 1,k]， …………………………6分
2 k kx (2 )x k≤0的解集为[ 2, ]， …………………………7分
2 2
故当 1 k≤0时，不等式解集为[ 1,k]，
k
当 k 0时，不等式解集为[ 1, ]. …………………………8分
2
2
（3）令 x 1 t ，因为 x [0, 3]，所以 t [1,4] ， …………………………9分
不等式转化为 f (t) mt≤ 1在[1,4]上恒成立，
2
即mt≥ t t 2，
2
因为 t [1,4]，所以m≥ t 1， ……………………………………………10分
t
2
令 g(t) = t 1，当 t [1, 2]时，g(t)单调递减，当 t [ 2,4]时，g(t)单调递增，
t
11 11
又 g(1) 4 g(4) ，所以 g (t) = ， ……………………………11分 max
2 2
11
所以实数m 的取值范围为m≥ . ………………………………………………12分
2
高一数学试题答案 第 6 页（共 6 页）