西藏自治区拉萨市第二高级中学2022届高三上学期期中考试数学试卷（Word版含答案）

拉萨市第二高级中学2022届高三上学期期中考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题。（每题5分，共12题，满分60分。请注意：第11题，文科生做文科题目，理科生做理科题目，做错不给分）
1．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，那么集合等于（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“”（ ）
A．既不充分又不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
6．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知平面向量 的夹角为 ，且 ，则
A． B．2 C． D．
8．若双曲线的一条渐近线被以焦点为圆心的圆所截得的弦长为，则（ ）
A． B． C． D．
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积是 ，则的三个内角大小为（ ）
A． B．
C． D．
10．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列人世界遗产名录．良诸古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了华夏五千年文明史．考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量随时间（年）的衰变规律满足：（表示碳14原来的质量），经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的倍，据此推测良渚古城遗址存在的时期距今大约是（ ）．（参考数据：，）
A．5160年 B．4580年 C． 4010年 D． 3440年
11．（理科）二项式的展开式中的系数是___________.
A.40 B. C. D.80
(文科) 某医院传染病科室有3名医生、2名护士，现从这5名医护人员中选取3名参加医院组织的运动会，要求其中至少有1名医生1名护士，则不同的选取方法有______种．
A.10 B.9 C.8 D.7
12．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题。（每题5分，共20分）
13．设向量，，若，则_________．
14．已知实数，满足不等式组，则的取值范围为_ _.
15．如图，执行所示的算法框图，则输出的值是___________.
16．已知函数，若的图象向右平移个单位后与的图象重合，当最小时，给出下列结论：
①在上单调递增
②在上单调递减
③的最小值为4
④的图象关于直线对称
⑤的图象关于点中心对称
其中，正确结论的编号是__________（填写所有正确结论的编号）．
三、解答题。（17-21题每题12分，22.23题为选做题10分）
17．已知数列是等差数列，是的前n项和，， .
（1）判断2022是否是数列中的项，并说明理由；
（2）求的最小值.
从①，②中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．垃圾的分类回收不仅能减少环境污染，美化家园，甚至能够变废为宝，节约资源.为增强学生的垃圾分类意识，推动垃圾分类进校园，某校组织全体学生参加了“垃圾分类知识竞赛”.现从参加知识竞赛的学生中随机抽取了100名学生，将他们的竞赛成绩（满分100分）分为6组：[40，0），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值；
非优秀 优秀 合计
男生 20
女生 50
合计 100
（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，低于80分为“非优秀”，将下面列联表补充完整，并判断能否有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关？
参考公式及数据：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图所示的几何体中，是菱形，，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．已知椭圆C：(a＞b＞0)的右焦点F(2，0)，右顶点A，且|AF|＝2.
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若动直线l：y＝kx＋m与椭圆C有且只有一个交点P，且与直线x＝8交于点Q，问：是否存在一个定点M(t，0)，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知函数.
（1）若，求证：；
（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.
选做题：10分。（请从22、23题中任选一题作答，并在相应位置涂黑，若多做则按第一题计分）
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线平分曲线，且与曲线交于点A（异于O点），曲线上的点B满足，求的面积S．
23．已知函数．
（1）求的最大值m；
（2）已知，且，求证：
答案
第I卷（选择题）
一、单选题
1．C 2.D 3．C 4.D 5.C 6.A 7.D 8 。B 9． A 10． C
11．B 12．B
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．
14．
15．4
16．③⑤
三、解答题
17．选①（1）由得：，
所以，又因为，
所以，
所以，
所以，
令 ，则，此方程无正整数解，
所以不是数列中的项.
（2）令，即，解得：，
所以时，，当时，，
所以，当时，的最小值为.
选②（1）由得：，
又因为，所以，
所以，
所以，
令，则，
所以是数列中的第项.
（2）令，即，解得：，
所以时，，当时，，
所以，当或时，的最小值为.
18．解：（1）因为频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和为1，
所以
解得
（2）列联表如下：
非优秀 优秀 合计
男生 30 20 50
女生 10 40 50
合计 40 60 100
所以有99.9%的把握认为竞赛成绩是否优秀与性别有关.
19．【详解】
（1）∵AP∥DE，平面CDE，平面CDE, ∴AP∥平面CDE，
∵AB∥CD，平面CDE，平面CDE,所以AB∥平面CDE，
而平面ABP，平面ABP，，
∴平面ABP∥平面CDE，又BP平面ABP，∴平面.
（2）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，则ABC是正三角形，取BC的中点Q，∴AQ⊥BC，由AB=4，易得，∵BC∥AD，∴AQ⊥AD.
∵PA⊥平面ABCD，AQ平面ABCD，∴PA⊥AQ，而，∴AQ⊥平面PADE.
∵BF∥AP，BF平面ADEP，AP平面ADEP，∴BF∥平面ADEP，
∵BC∥AD，BC平面ADEP，AD平面ADEP，∴BC∥平面ADEP，
而BFBC=B，∴平面BCF∥平面ADEP.
∵PA⊥AD，且PA=AD=4，DE=2，∴.
20．
解：(1)由c＝2，a－c＝4，得a＝4，，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－48＝0，
所以Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－48)＝0，
即m2＝12＋16k2，，，所以.
因为M(t，0)，又Q(8，8k＋m)，，
所以恒成立，
故，解得t＝2.所以存在点M(2，0)符合题意．
21．
解：（1）当时，，所以；
当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增；
所以是在区间上的最小值，所以.
（2）依题意，.
若，则当时，，在区间上单调递增，不合题意，舍去；
若，令，则.
因为时，，所以在上单调递增.
因为，而，
所以存在，使得.
此时函数在上单调递减，在上单调递增，符合条件；
综上所述，实数的取值范围是.
22．
（1）曲线的普通方程是，化成极坐标方程为；
，，
，
所以曲线的直角坐标方程是．
（2）曲线是圆，射线OM过圆心，，所以方程是，
代入得，
又，所以，因此．
23．
（1），当且仅当时等号成立.
∴的最大值.
（2）由（1）可知，,又，
∴（当且仅当时取等），
∴.