(共13张PPT)
简单的图案设计
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.4
B
1
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5
A
6
A
答 案 呈 现
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C
7
如图是一个镶边的模板，该图案是由基本图形( )通过一次平移得到的．
1
B
【2021·北京四中期末】如图，若要使这个图案与自身重合，则至少绕它的中心旋转( )
A．45°
B．90°
C．135°
D．180°
A
2
小明想用图①通过图形变换得到图②，下列这些变换中可行的是( )
A．轴对称变换
B．平移变换
C．旋转变换
D．中心对称变换
3
A
【2021·永州】如图，在平面内将五角星绕其中心旋转180°后所得到的图案是( )
4
C
以给出的图形“○○△△＝”(两个相同的圆、两个相同的等边三角形、两条线段)为构件，各设计一个构思独特且有意义的轴对称图形或中心对称图形．
5
举例：如图，左框中是一个符合要求的图形．你还能构思出其他图形吗？请在右框中画出与之不同的图形．
解：如图所示．(答案不唯一)
如图所示的图案是由7个正六边形组成的，下面是三名同学对该图案的形成过程的不同见解．
甲：该图案可看成是由其中一个正六边形经过6次平移而形成的．
乙：该图案可看成是由图案的一半经过轴对称变换而形成的．
丙：该图案可看成是由图案的一半经过中心
对称变换而形成的．
6
解：甲从平移的角度，以一个正六边形为基本图案进行分析；
乙从轴对称的角度，以图案的一半为基本图案进行分析；
丙从中心对称的角度，以图案的一半为基本图案进行分析．
虽然各自分析的角度不同，但是他们的观点都是正确的．
你认为上述观点都正确吗？
【教材P86习题T2变式】利用1个等腰三角形、2个长方形、3个圆，可以构造出许多独特且有意义的轴对称图形，如图已给出四幅图，你能再构思出一些轴对称图形吗(画出三幅即可)？别忘了加一两句贴切、有创意的解说词．
7
解：如图所示．(答案不唯一)(共15张PPT)
图形的旋转
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.2.1
目标二 旋转的性质
D
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C
(7，4)
6
C
答 案 呈 现
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B
7
【2021·天津】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD.当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是( )
A．∠ABC＝∠ADC
B．CB＝CD
C．DE＋DC＝BC
D．AB∥CD
1
D
【2021·大连】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，点B的对应点B′在边AC上(不与点A，C重合)，则∠AA′B′的度数为( )
A．α
B．α－45°
C．45°－α
D．90°－α
C
2
【点拨】
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，
∴AC＝A′C，∠BAC＝∠CA′B′，∠ACA′＝90°.
∴△ACA′是等腰直角三角形．
∴∠CA′A＝45°.
∵∠BAC＝α，∴∠CA′B′＝α.
∴∠AA′B′＝45°－α.
【2021·广安】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为( )
A．65° B．70° C．75° D．80°
3
C
4
B
【教材P90复习题T21变式】【2021·吉林】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(4，0)，连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A′BO′，则点A′的坐标为__________．
5
(7，4)
【点拨】
注意旋转的中心和方向．作A′C⊥x轴于点C，由旋转的性质可得BC＝O′A′＝OA＝3，A′C＝O′B＝OB＝4，进而求解．
【2021·湘西州】如图，在△ABC中，点D在AB边上，CB＝CD，将边CA绕点C旋转到CE的位置，使得∠ECA＝∠DCB，连接DE与AC交于点F，且∠B＝70°，∠A＝10°.
6
(1)求证：AB＝ED；
(2)求∠AFE的度数．
解：∵△BCA≌△DCE，
∴∠CDE＝∠B＝70°，
又∵CB＝CD，∴∠B＝∠CDB＝70°.
∴∠EDA＝180°－∠BDE＝180°－70°×2＝40°.
∴∠AFE＝∠EDA＋∠A＝40°＋10°＝50°.
【2020·金昌】如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN＝45°.把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE.
7
(1)求证：△AEM≌△ANM；
证明：由旋转的性质得△ADN≌△ABE，
∴∠DAN＝∠BAE，AE＝AN.
∵∠DAB＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠MAE＝∠BAE＋∠BAM＝∠DAN＋∠BAM＝45°.
∴∠MAE＝∠MAN.
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．
(2)若BM＝3，DN＝2，求正方形ABCD的边长．
解：设CD＝BC＝x，则CM＝x－3，CN＝x－2.
∵△AEM≌△ANM，∴EM＝MN.
∵BE＝DN，∴MN＝EM＝BM＋BE＝BM＋DN＝5.
∵∠C＝90°，∴MN2＝CM2＋CN2，
即25＝(x－3)2＋(x－2)2，
解得x＝6或x＝－1(舍去)．
∴正方形ABCD的边长为6.(共23张PPT)
平移的定义与性质
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.1.1
C
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A
D
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答 案 呈 现
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D
B
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B
D
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下列现象中是平移的是( )
A．将一张纸沿它的中线折叠
B．飞碟的快速转动
C．电梯的上下移动
D．翻开书中的每一页纸张
1
C
如图为一只小牛，将图中的小牛进行平移，得到的小牛可能是下列选项中的( )
B
2
【2020·上海】如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，是平移重合图形的是( )
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．正六边形 D．圆
3
A
【2020·青海】如图，将周长为8的△ABC沿BC边向右平移2个单位长度，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为________．
4
12
如图，△ABC沿BC边所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是( )
A．AC∥DF
B．∠A＝∠D
C．AC＝DF
D．EC＝CF
5
D
小明乘电梯从一楼到六楼，向上平移了15米，若每层楼的高度相同，则他乘电梯从十三楼到一楼( )
A．向下平移28.8米 B．向下平移33米
C．向下平移26.4米 D．向下平移36米
6
D
【点拨】
∵从一楼到六楼，向上平移了15米，
∴每层楼的高度为15÷(6－1)＝3(米)．
∴从十三楼到一楼需要向下平移(13－1)×3＝36(米)．
【教材P67随堂练习变式】如图，从图形B到图形A的变化过程中，下列描述正确的是( )
A．向上平移2格，向左平移4格
B．向上平移1格，向左平移4格
C．向上平移2格，向左平移5格
D．向上平移1格，向左平移5格
7
B
【教材P66例1变式】如图，将△ABC平移到△DEF的位置，则下列结论：
①AB∥DE，AD＝CF＝BE；
②∠ACB＝∠DEF；
③平移的方向是点C到点E的方向；
④平移的距离为线段BE的长．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8
B
如图是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个Rt△ABC沿着BC方向平移5个单位长度就得到了另一个Rt△DEF，其中AB＝8，BE＝5，DH＝3，则下列结论正确的有( )
①AC∥DF；②HE＝5；
③CF＝5；
④四边形DHCF的面积为32.5.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9
D
如图，已知在△ABC中，BC＝4 cm，把△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF.
(1)图中与∠A相等的角有哪几个？
10
解：∠D，∠EMC和∠AMD均与∠A相等．
(2)图中的平行线共有几组？请分别写出来．
解：有两组；AB∥DE，AC∥DF.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，将△ABC沿AB方向平移得到△DEF.
(1)试求出∠E的度数；
11
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝33°，
∴∠CBA＝90°－33°＝57°.
由平移得∠E＝∠CBA＝57°.
(2)若AE＝9 cm，DB＝2 cm，请求出CF的长度．
如图，△ABC，△BDE都是由△CEF平移得到的图形，A，B，D三点在同一条直线上，∠F＝35°.
12
(1)试判断CE，AD之间的数量关系，并说明理由；
解：AD＝2CE.理由如下：
由平移的性质可知AB＝CE，BD＝CE，
∴AB＋BD＝CE＋CE，即AD＝2CE.
(2)求∠EBC的度数．
解：易知A，C，F三点在同一条直线上．
由平移的性质可知BE∥AF，
∴∠BED＝∠F＝35°.同理可得BC∥DF，
∴∠EBC＝∠BED＝35°.
(1)图①是将线段AB向右平移1个单位长度，图②是将线段AB折一下再向右平移1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形，并给折线平移时扫过的面涂上阴影；
13
解：如图所示．(答案不唯一)
(2)若长方形的长为a，宽为b，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积；
解：剩余部分的面积均为ab－b.
(3)如图④，在宽为10 m，长为18 m的长方形空地上修一条弯曲的小路，小路宽为1 m，求剩余空地的面积．
解：剩余空地的面积为10×(18－1)＝170(m2)．(共16张PPT)
练素养
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
集训课堂
2.图形变换的四种作图
1
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如图，已知△ABC，将△ABC沿着北偏东60°的方向平移1 cm，作出平移后的图形(不写作法，保留作图痕迹)．
1
解：如图，△A1B1C1即为所求．
【中考·桂林】如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，我们将小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点均在格点上．
2
(1)将线段AB向右平移3个单位长度，得到线段A′B′，画出平移后的线段并连接AB′和A′B，两线段相交于点O；
解：如图所示．
(2)求证：△AOB≌△B′OA′.
【教材P79习题T1改编】如图，将△ABC绕点O旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B，C的对应点的位置并画出旋转后的三角形．
3
解：作法：(1)连接OA，OD，OB，OC；
(2)分别以OB，OC为一边按顺时针方向作∠BOE，∠COF，
使得∠BOE＝∠COF＝∠AOD且OE＝OB，OF＝OC；
(3)连接EF，ED，FD，△DEF就是
所求作的三角形，如图所示．
【2021·安徽】如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上．
4
(1)将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)将(1)中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1.
解：如图，△A2B2C1即为所求．
请作出图中与△ABC关于直线m成轴对称的图形．
5
解：作法：(1)过点A作直线m的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA′＝OA，点A′就是点A关于直线m的对称点；
(2)类似地，分别作出点B，C关于直线m的对称点B′，C′；
(3)连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′就是所要求作的图形(如图)．
【中考·枣庄】如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
6
解：如图①所示．
(答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
解：如图②所示．(答案不唯一)
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
解：如图③所示．(共29张PPT)
测素质
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
集训课堂
中心对称与图案设计
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答 案 呈 现
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平行四边形
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答 案 呈 现
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【2021·贺州】在平面直角坐标系中，点A(3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
1
D
【2020·自贡】下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是( )
A
2
下列各组图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是( )
3
A
如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A．点A与点A′是对称点
B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′
D．∠ACB＝∠C′A′B′
4
D
【中考·宜昌】如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为( )
A．(2，2) B．(2，－2)
C．(2，5) D．(－2，5)
5
A
如图，图b的图案是由图a中五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤
6
B
如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交边AD，BC于E，F两点，则阴影部分的面积是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
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A
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B
在圆、平行四边形、长方形、正方形、正六边形、等腰三角形这些图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是________________．
9
平行四边形
在平面直角坐标系中，点P(2，3)与点P′(2a＋b，a＋2b)关于原点对称，则a－b的值为________．
10
1
如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，且AO＝7，AB＝5，则OE＝________．
2
11
【中考·乐山】如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为________．
6
12
如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形)．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，
且组成的图形既是轴对称图形，又是中
心对称图形，则这个格点正方形的作法
共有________种．
4
13
(10分)【中考·南昌】如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2)．
14
(1)求对称中心的坐标；
解：根据中心对称的定义，可得对称中心是D1D的中点．
∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)，
∴对称中心的坐标是(0，2.5)．
解：∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4－2＝2.
∴点B，C的坐标分别是(－2，4)，(－2，2)．
∵A1D1＝2，点D1的坐标是(0，3)，∴点A1的坐标是(0，1)．
∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3)．
综上可得，顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(－2，4)，
(－2，2)，(2，1)，(2，3)．
(2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标．
(12分)为创建绿色校园，学校决定在一块正方形的空地上种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的圆弧构成的图案是轴对称图形．种植花草部分用阴影表示．
15
请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
解：答案不唯一，如图：
(12分)【中考·眉山】在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题：
16
(1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
解：如图，△A1B1C1即为所求；
C1(－1，2)．
(2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
解：如图，△A2B2C2即为所求；
C2(－3，－2)．
(3)已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(－4，－2)，请直接写出直线l的函数表达式．
解：直线l的函数表达式为y＝－x.
(14分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
17
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为
(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2；
解：△A1B1C和△A2B2C2如图所示．
(2)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心的坐标；
(3)在x轴上有一点P，使得PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
点P的坐标为(－2，0)．(共34张PPT)
全章热门考点整合应用
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
①②④⑤
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下面给出的五种运动属于平移的是________(填序号)．
①急刹车的汽车车身在地面上的运动；
②沿直线行驶的汽车车身的运动；
③时钟分针的运动；
④高层建筑的电梯的运动；
⑤小球从高处向下坠落(球不转动)．
1
①②④⑤
如图，△ABC绕顶点C旋转一定角度后得到△A′B′C′.
(1)旋转中心是点________；
(2)旋转角有________个，分别是_________________．
C
2
2
∠ACA′，∠BCB′
如图，如果甲、乙关于点O成中心对称，那么乙图中不符合题意的一块是( )
3
C
【2021·益阳】以下有关勾股定理证明的图形中，不是中心对称图形的是( )
4
A
如图，△ABC通过平移得到△DEF，AC与DE相交于O.已知∠B＝45°，∠A＝60°，则∠DEF＝________，∠EOC＝________.若BC＝3 cm，EC＝0.5 cm，则CF＝________cm.
5
45°
60°
2.5
如图，点O是等边三角形ABC内一点，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，连接OD.已知∠AOB＝110°.
6
(1)求证：△COD是等边三角形；
证明：由旋转的性质得CO＝CD，
∠OCD＝60°，
∴△COD是等边三角形．
(2)当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，
△AOD是直角三角形．理由如下：
由旋转的性质得∠ADC＝∠BOC＝150°.
∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°.
∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形．
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO.
∵△COD是等边三角形，∴∠COD＝60°.
∴∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－α＝360°－
110°－60°－α＝190°－α.
∵∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝α－60°.
∴190°－α＝α－60°，解得α＝125°.
②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO.
∵∠AOD＝190°－α，∠ADO＝α－60°，
∴∠OAD＝180°－(∠AOD＋∠ADO)＝50°.
∴α－60°＝50°，解得α＝110°.
③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD，
即190°－α＝50°，∴α＝140°.
综上所述，当α为125°、110°或140°时，△AOD是等腰三角形．
如图，在一块平行四边形的菜地中，有一口圆形的水井，现在张大爷要在菜地上修建一条笔直的小路将菜地面积二等分以播种不同的蔬菜，且要使水井在小路上，以便有利于对两块地进行浇灌，请你帮助张大爷画出小路修建的位置．
7
解：如图，小路应修建在直线AB上．
【2021·桂林】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别是A(－1，4)，B(－3，1)．
8
(1)画出线段AB向右平移4个单位后的线段A1B1；
解：如图，线段A1B1即为所求．
(2)画出线段AB绕原点O旋转180°后的线段A2B2.
解：如图，线段A2B2即为所求．
如图，在六边形ABCDEF中，已知AB∥DE，AF∥CD，BC∥FE，AB＝DE，AF＝CD，BC＝FE，FD⊥BD，FD＝24 cm，BD＝18 cm，你能求出六边形ABCDEF的面积吗？
9
解：能．如图，将△DEF竖直向上平移，使点D与点B重合，点E与点A重合，得到△BAG，将△BCD水平向左平移，使点B与点G重合，点D与点F重合，点C与点A重合，得到△GAF.
则△DEF≌△BAG，△BCD≌△GAF，GB∥FD，GF∥BD.
∴S△DEF＝S△BAG，S△BCD＝S△GAF.
易得四边形BDFG是长方形，
∴S六边形ABCDEF＝S△DEF＋S△BCD＋S四边形BDFA＝S△BAG＋S△GAF＋S四边形BDFA＝S四边形BDFG＝FD·BD＝24×18＝432(cm2)．
10
证明：如图，延长BE交AC于点F(即把△ABE沿AD翻折得到△AFE)．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.
∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEF＝90°.
如图①，△ABC与△DCE均为等腰直角三角形，DC与AB交于点M，CE与AB交于点N，以点C为中心，将△ACM逆时针旋转90°，得到△BCM′.
11
(1)求证：AM2＋BN2＝MN2.
证明：连接M′N.
∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∠A＝∠CBA＝45°.
∴∠ACM＋∠BCN＝45°.
∵△BCM′是由△ACM旋转得到的，
∴∠BCM′＝∠ACM，CM＝CM′，AM＝BM′，
∠CBM′＝∠A＝45°.
∴∠M′CN＝∠BCM′＋∠BCN＝∠ACM＋∠BCN＝45°，∠NBM′＝∠CBA＋∠CBM′＝45°＋45°＝90°.
∴∠M′CN＝∠MCN.
(2)如图②，在四边形ABCD中，∠BAD＝45°，∠BCD＝90°，CA平分∠BCD.若BC＝4，CD＝3，则对角线AC的长度为多少？
解：如图，将△ADC绕点A顺时针旋转90°得到△AD′C′，连接CC′，BD.由旋转的性质知AC′＝AC，AD＝AD′，C′D′＝CD＝3，∠CAC′＝∠DAD′＝90°，∠AC′D′＝∠ACD，
∴△AC′C是等腰直角三角形．
∴∠AC′C＝∠ACC′＝45°.
∵∠DAD′＝90°，∠BAD＝45°，∴∠BAD′＝45°.
如图，P是正方形ABCD的边CD上一点，∠BAP的平分线交边BC于点Q.求证：AP＝DP＋BQ.
12
证明：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°后得到△ADE.
∴∠EAQ＝90°，△AED≌△AQB.
∴∠E＝∠AQB，DE＝BQ，∠ADE＝∠B＝90°.
∴E，D，P三点共线．
又∵∠BAP的平分线交边BC于点Q，AD∥BC，
∴∠BAQ＝∠PAQ，∠DAQ＝∠AQB.
∴∠PAE＝90°－∠PAQ＝90°－∠BAQ＝∠DAQ＝
∠AQB＝∠E.
∴AP＝PE＝DP＋DE＝DP＋BQ.
D
13(共11张PPT)
图形的旋转
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.2.1
目标一 旋转的定义
A
1
2
3
4
5
C
C
6
C
答 案 呈 现
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D
7
下列现象不属于旋转的是( )
A．电梯的上下移动
B．方向盘的转动
C．水龙头开关的转动
D．荡秋千的运动
1
A
如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，则图中可以看成是旋转关系的三角形是( )
A．△ABC和△ADE
B．△ABC和△ABD
C．△ABD和△ACE
D．△ACE和△ADE
C
2
如图，△ABC按顺时针方向旋转到△ADE的位置，以下关于旋转中心和对应点的说法正确的是( )
A．点A是旋转中心，点B和点E是对应点
B．点C是旋转中心，点B和点D是对应点
C．点A是旋转中心，点C和点E是对应点
D．点C是旋转中心，点A和点D是对应点
3
C
【教材P77随堂练习T1变式】如图，将四边形ABOC按顺时针方向旋转得到四边形DFOE，则下列角中不是旋转角的是( )
A．∠BOF
B．∠AOD
C．∠COE
D．∠AOF
4
D
【2020·赤峰】下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合，其中旋转角度最小的是( )
5
C
如图①，魔术师把4张扑克牌放在桌子上，然后用布巾蒙住眼睛，请一位观众上台，把某一张牌旋转180°.魔术师解开布巾后，看到4张扑克牌如图②所示，他很快确定了哪一张牌被旋转过，你能吗？
6
解：我能．
题图①与题图②中扑克牌完全一样，说明被旋转过的牌旋转前后完全一样，
而图中只有方块4旋转前后完全一样，故方块4被旋转过．
【教材P77随堂练习T1改编】如图，△AOB绕着点O顺时针旋转至△A′OB′，此时：
(1)旋转中心是________，旋转角为________________；
(2)点B的对应点是________，
点A的对应点是__________；
(3)∠A的对应角是________，
线段OB的对应线段是__________．
7
点O
∠AOA′或∠BOB′
点B′
点A′
∠A′
线段OB′(共18张PPT)
中心对称
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.3
目标一 中心对称
③
1
2
3
4
5
B
6
A
答 案 呈 现
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(3，－1)
A
7
8
下列图形中，图形①与图形__________成中心对称．
1
③
下列两个电子数字成中心对称的是( )
A
2
如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是( )
A．∠ABC＝∠A′B′C′
B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′
D．OA＝OA′
3
B
4
A
如图，在网格中已知格点△ABC和点O.
5
(1)画△A′B′C′，使其和△ABC关于点O成中心对称；
解：如图，△A′B′C′即为所求作的三角形．
(2)若以点A，O，C′，D为顶点的四边形是平行四边形，请在网格中标出所有符合条件的D点．
解：如图，点D1，D2，D3即为所求的点．
如图， 在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______．
6
(3，－1)
【点拨】
由中心对称的性质可知，对称中心在一对对称点的连线上，对称中心到一对对称点的距离相等．由题意知，对称中心为线段AA1的中点，即点E的坐标是(3，－1)．
如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探究线段BE，EF，FC之间的数量关系．
7
解：∵点D为BC的中点，∴BD＝CD.
作△BDE关于点D成中心对称的△CDM，如图所示．
由中心对称的性质可得CM＝BE，MD＝ED，∠DCM＝∠B，点M，D，E在一条直线上．
又∵∠B＋∠ACB＝90°，∴∠DCM＋∠ACB＝90°，
即∠FCM＝90°.
连接FM.
在△FME中，MD＝ED，FD⊥ME，∴FM＝FE.
∵在Rt△FCM中，FC2＋CM2＝FM2，
∴FC2＋BE2＝EF2.
【点拨】
通过几何图形的中心对称变换，可以将等长的线段进行位置转移，使分散的几何元素集中起来．
【教材P82例题变式】如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，已知AC＝4，BC＝6.
8
(1)画出与△BCD关于D成中心对称的图形；
解：如图所示．
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围．(共38张PPT)
练素养
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
集训课堂
1.旋转在解几何题中的九种常用技巧
1
2
3
4
5
6
7
8
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9
【中考·苏州】如图，在△ABC中，点E在BC边上，
AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
1
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，
∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°.
∴∠FAG＝∠BAE＝50°.
∵△BAC≌△EAF，
∴∠F＝∠ACB＝28°.
∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°.
如图，P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A，B，C的距离分别为PA＝1，PB＝2，PC＝3.求正方形ABCD的边长．
2
又∵PC＝3，∴PC2＝PQ2＋CQ2.∴∠PQC＝90°.
∴∠CQB＝135°＝∠APB.又∵∠QPB＝45°，
∴∠APB＋∠QPB＝180°.∴A，P，Q三点共线．
如图，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF.求证：EF3
证明：由题意可知BM＝MC，
∴可将△BFM绕点M旋转180°得到△CNM，
连接EN，如图所示．
∴BF＝CN，FM＝MN，点F，M，N共线．
又∵ME⊥MF，
∴EN＝EF.
在△ENC中，EN如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，将一个含30°角的直角三角尺DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角尺的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角尺DEF绕D点按逆时针方向旋转．
4
(1)在图①中，DE交AB于点M，DF交BC于点N，求证：DM＝DN.
∵∠EDF＝90°＝∠MDB＋∠BDN，
∠BDC＝90°＝∠BDN＋∠CDN，
∴∠MDB＝∠NDC.
又∵BD＝CD，∠ABD＝∠C，
∴△BMD≌△CND(SAS)．
∴DM＝DN.
(2)继续旋转至如图②的位置，延长AB交DE于点M，延长BC交DF于点N，DM＝DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：DM＝DN仍然成立．证明如下：如图②，连接BD，
由(1)知BD⊥AC，BD＝CD，∠ABD＝∠ACB＝45°.
∵∠ABD＋∠MBD＝∠ACB＋∠NCD＝180°，
∴∠MBD＝∠NCD.
∵∠BDM＋∠MDC＝90°＝
∠MDC＋∠CDN，∴∠BDM＝∠CDN.
又∵BD＝CD，
∴△BDM≌△CDN(ASA)．∴DM＝DN.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠B＋∠ADC＝180°，对角线AC＝m.求四边形ABCD的面积．
5
解：将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，如图所示．
∵AB＝AD，
∴旋转后AB与AD重合，AC＝AE，∠B＝∠ADE，
∠BAC＝∠DAE.
∵∠B＋∠ADC＝180°，
∴∠ADE＋∠ADC＝180°.
∴点C，D，E在同一条直线上．
【点拨】
图形的旋转是全等变换，若两个图形全等，则它们的面积相等，故可利用旋转将不规则的图形转化成规则的图形，以便于求图形的面积．
如图①，把两个全等的等腰直角三角尺ABC和EFG(其直角边长均为4)叠放在一起，且使三角尺EFG的直角顶点G与三角尺ABC的斜边中点O重合．
6
现将三角尺EFG绕点O顺时针旋转角 α(旋转角α满足条件：0°<α<90°)，四边形CHGK是旋转过程中两个三角尺的重叠部分(如图②)．在上述旋转过程中，四边形CHGK的面积有何变化？
解：如图，连接GC，则GC＝GB，∠ACG＝∠BCG＝45°.
∵∠KGC与∠HGB都是旋转角，∴∠KGC＝∠HGB＝α.
7
当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
解：题图②成立；题图③不成立．
如图，过点D作DM⊥AC于点M，DN⊥BC于点N，
则∠DMA＝∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°.
又由题意知∠A＝∠B＝45°，AD＝BD，
∴△ADM≌△BDN(AAS)．
∴DM＝DN.
【点拨】
通过旋转图形改变图形的位置来探究解决是否成立问题时，动态中无法判断结论是否成立，可以通过寻找运动范围的某一固定时刻，探究其结论的正确性，这就是“动中求静”的思想．
如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是边AC上任意一点(点E与点A，C不重合)，以CE为一直角边作Rt△ECD，∠ECD＝90°，连接BE，AD.若Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形．
(1)猜想线段BE，AD之间的数量关系及位置
关系，直接写出结论．
8
解：BE＝AD，BE⊥AD.
(2)现将图①中的Rt△ECD绕着点C顺时针旋转n°，得到图②，请判断(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解：BE＝AD，BE⊥AD仍然成立．
证明：设BE与AC的交点为点F，BE与AD的交点为点G，如图所示．
∵Rt△ABC和Rt△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE.
∵∠BFC＝∠AFE，
∴∠AGF＝∠ACB＝90°.
∴BE⊥AD.
(1)探究发现：下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图①，在等边三角形ABC内部有一点P，若∠APB＝150°.求证：AP2＋BP2＝CP2.
9
证明：如图①，将△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形，PC＝________．
∴∠APP′＝60°，PA＝PP′.
又∵∠APB＝150°，∴∠BPP′＝90°.
∴P′P2＋BP2＝________，
即PA2＋PB2＝PC2.
BP′
P′B2
(2)类比延伸：如图②，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝90°，△ABC内部有一点P，若∠APB＝135°，试判断线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明．
解：2PA2＋PB2＝PC2.
证明：如图①，将△APC绕A点逆时针旋转90°，得到△AP′B，连接PP′，则P′A＝PA，∠P′AP＝90°，P′B＝PC.
∴∠APP′＝45°，P′P2＝P′A2＋PA2＝2PA2.
∵∠APB＝135°，∴∠BPP′＝90°.
∴P′P2＋BP2＝P′B2.
∴2PA2＋BP2＝PC2.
(3)联想拓展：如图③，在△ABC中，∠BAC＝120°，
AB＝AC，点P在直线AB的上方，且∠APB＝60°，满足(kPA)2＋PB2＝PC2，请直接写出k的值．(共13张PPT)
图形在坐标平面中一次平移的坐标变化
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.1.2
(2，3)
1
2
3
4
5
C
C
6
7
C
答 案 呈 现
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C
【2021·大连】在平面直角坐标系中，将点P(－2，3)向右平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是__________．
1
(2，3)
【2021·泸州】在平面直角坐标系中，将点A(－3，－2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B′的坐标为( )
A．(2，2) B．(－2，2)
C．(－2，－2) D．(2，－2)
C
2
【2021·丽水】四盏灯笼的位置如图，已知A，B，C，D的坐标分别是(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( )
A．将B向左平移4.5个单位长度
B．将C向左平移4个单位长度
C．将D向左平移5.5个单位长度
D．将C向左平移3.5个单位长度
3
C
【点拨】
∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，
∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴．
∵A(－1，b)，B(1，b)，∴点A，B关于y轴对称，只需要点C，D关于y轴对称即可．∵C(2，b)，D(3.5，b)，
∴可以将点C(2，b)向左平移到(－3.5，b)，平移5.5个单位长度，或可以将D(3.5，b)向左平移到(－2，b)，平移5.5个单位长度．
【教材P70习题T1变式】将△ABC各顶点的横坐标加上4，纵坐标不变，连接三个点所构成的三角形是由△ABC( )得到的．
A．向左平移4个单位长度
B．向下平移4个单位长度
C．向右平移4个单位长度
D．向上平移4个单位长度
4
C
【2020·济南】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC先沿y轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为( )
A．(1，7)
B．(0，5)
C．(3，4)
D．(－3，2)
5
C
【教材P71习题T3改编】如图所示．
(1)请分别写出平面直角坐标系中房子的点A，B，C，D，E，F，G的坐标．
6
解：A(2，3)，B(6，5)，C(10，3)，D(3，3)，E(9，3)，F(3，0)，G(9，0)．
(2)源源想把房子向下平移3个单位长度，你能帮他办到吗？请直接写出平移后7个点的坐标．
解：能．如图所示．
A′(2，0)，B′(6，2)，C′(10，0)，D′(3，0)，E′(9，0)，F′(3，－3)，G′(9，－3)．
在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，把△ABC向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′.
(1)请在图中画出△A′B′C′，并写
出点A′，B′，C′的坐标；
7
解：△A′B′C′如图所示．
A′(－2，4)，B′(－3，1)，C′(1，1)．
(2)求△ABC的面积；
(3)点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
点P的坐标为(0，1)或(0，－5)．(共12张PPT)
中心对称
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.3
目标二 中心对称图形
C
1
2
3
4
5
A
6
D
答 案 呈 现
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D
【教材P84习题T1变式】【2021·牡丹江】下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
1
C
【2021·徐州】下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
D
2
3
A
如图，△ABC与△CDA关于点O成中心对称，过点O任作直线EF，分别交AD，BC于点E，F.下列结论：
①点E和点F、点B和点D分别关于点O成中心对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；
⑤△AOE与△COF成中心对称．
其中正确的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
4
D
如图，在△ABC中，D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.
5
(1)求证：四边形AEDF是中心对称图形；
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴∠ADE＝∠DAF，∠DAE＝∠ADF.∵AD＝DA∴△ADE≌△DAF(ASA)．
∴AE＝DF，DE＝AF.
连接EF，交AD于点O，易证得△AOE≌△DOF，△AOF≌△DOE，∴OE＝OF，OA＝OD.
即点A、点D关于点O成中心对称，点E、点F也关于点O成中心对称．∴四边形AEDF是中心对称图形．
(2)若AD平分∠BAC，求证：点E，F关于直线AD对称．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
又∵∠CAD＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE.
∴AE＝DE.
∵DE＝AF，∴AE＝AF.
∴AD垂直平分EF.
∴点E，F关于直线AD对称．
【2020·宁波】图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
6
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形；
解：轴对称图形如图①所示．(答案不唯一)
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
(请将两个小题依次作答在图①、图②中，均只需画出符合条件的一种情形)
解：中心对称图形如图②所示．(答案不唯一)(共14张PPT)
图形在坐标平面中两次平移的坐标变化
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.1.3
(3，1)
1
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5
C
6
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【教材P72例2变式】【2021·长春】如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA＝2，点B在第一象限，标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点B1的位置，
继续平移至△A2O2B2的位置，
使A2O2经过点B1，此时点B2的
坐标为__________．
1
(3，1)
【点拨】
如图，过点B作BP⊥y轴于点P.
∵△ABO是等腰直角三角形，OA＝2，
∴AP＝OP＝1，∠AOB＝45°.
∴△BPO是等腰直角三角形．
∴BP＝PO＝1.
由题意知点B2的坐标为(3，1)．
【2021·仙桃】如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1(－1，－1)；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移
4个单位长度，再竖直向上平移4个单位
长度得到点P4，…，按此作 法进行下去，
则点P2 021的坐标为_________________．
(－1 011，－1 011)
2
【点拨】
观察图可知，奇数点在第三象限，
由题意得P1(－1，－1)，
P3(－2，－2)，P5(－3，－3)，…，P2n－1(－n，－n)，
∴P2 021(－1 011，－1 011)．
【中考·海南】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(3，－1)，平移线段AB，使点A落在点A1(－2，2)处，则点B的对应点B1的坐标为( )
A．(－1，－1)
B．(1，0)
C．(－1，0)
D．(3，0)
3
C
4
5
(1)求B，C，D三点的坐标．
(2)怎样平移，才能使A点与原点重合？
【教材P72例2改编】【2021·哈尔滨】如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
6
(1)在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP(点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P)，请画出△MNP.
解：如图，△MNP为所作．
(2)在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF(点F在小正方形的顶点上)．连接FP，请直接写出线段FP的长．(共23张PPT)
练素养
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
集训课堂
旋转的性质在解几何问题中的应用
1
2
3
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【中考·荆州】如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．
(1)图②中，∠AOF＝__________(用含α的式子表示)；
1
90°－α
(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．
解：AF＝DE.证明如下：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠AOD＝∠COD＝90°，OA＝OD.
∵∠DOF＝∠COE＝α，∴∠AOF＝∠DOE.
∵△OEF为等腰直角三角形，∴OF＝OE.
如图，将一个钝角三角形ABC(其中∠ABC＝120°)绕点B顺时针旋转得到△A1BC1，使得C点落在AB延长线上的点C1处，连接AA1.
(1)写出旋转角的度数；
解：旋转角为60°.
2
(2)求证：∠A1AC＝∠C1.
证明：由旋转的性质知△ABC≌△A1BC1，
∴∠ABC＝∠A1BC1＝120°，AB＝A1B，∠C＝∠C1.
∵∠A1BA＋∠A1BC1＝180°，∴∠A1BA＝60°.
∴△A1BA为等边三角形．∴∠A1AB＝60°.
∴∠A1AB＋∠ABC＝180°.∴AA1∥BC.
∴∠C＝∠A1AC.∴∠A1AC＝∠C1.
如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.求证：BC∥AD.
3
证明：由旋转的性质可得△ABC≌△DBE，
且∠ABD＝∠CBE＝60°，
∴AB＝DB.
∴△ABD是等边三角形．
∴∠DAB＝60°.
∴∠CBE＝∠DAB.
∴BC∥AD.
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上，且∠DAE＝45°.
4
(1)画出将△ABD绕点A逆时针旋转90°后的三角形；
解：如图，△ACF即为所求．
(2)若BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：连接EF，如图所示．
∵把△ABD绕点A逆时针旋转90°得△ACF，
∴∠B＝∠ACF，BD＝CF，AD＝AF，∠DAF＝90°.
∴∠EAF＝90°－∠DAE＝45°＝∠DAE.
如图，把正方形ABCD中的△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，若BP＝2，AP＝1.
5
(1)求PP′的长；
(2)连接CP，若CP＝3，求∠APB的度数．
解：∵PB＝P′B，∠PBP′＝90°，∴∠BP′P＝∠BPP′＝45°.
∵把△ABP绕点B顺时针旋转得到△CBP′，
∴AP＝CP′＝1，∠APB＝∠BP′C.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D不与点A，B重合)，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
6
(1)求证：△ACD≌△BCE；
证明：∵把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝∠DCF＋∠ECF＝90°.
∵∠ACB＝90°＝∠ACD＋∠DCF，
∴∠ACD＝∠ECF.
又∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；
(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.
证明：∵∠ABC＝∠EBC＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠EBC＝90°.
∴DE2＝BD2＋EB2.
又∵EB＝AD，∴DE2＝BD2＋AD2.
在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A按顺时针方向旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于M，N两点．当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时(如图①)，易证BM＋DN＝MN.
7
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图②)，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？并进行证明．
解：BM＋DN＝MN.证明如下：
如图，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE.
由旋转的性质可得∠EAN＝90°，BE＝DN，AE＝AN，
∠ABE＝∠D＝90°，∴E，B，C三点共线．
∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°.
又∵AM＝AM，∴△AEM≌△ANM(SAS)．
∴ME＝MN.
∵ME＝BE＋BM＝DN＋BM，∴BM＋DN＝MN.
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③所示的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解：DN－BM＝MN.(共14张PPT)
旋转作图
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
3.2.2
B
1
2
3
4
5
B
6
B
答 案 呈 现
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(1，－1)
如图，由一个长方形绕某点按顺时针方向旋转90°后所形成的图形是( )
A．①④
B．②③
C．①②
D．②④
1
B
【2021·苏州】如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是( )
B
2
【教材P90复习题T21变式】【2021·黄石】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是(－1，0)，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是( )
A．(2，－3)
B．(－2，3)
C．(－2，2)
D．(－3，2)
3
B
【2021·枣庄】如图，在平面直角坐标系xOy中，△A′B′C′由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为__________．
4
(1，－1)
【点拨】
由题意知点P在线段AA′的垂直平分线l上，因此只需在l上找一点，使其到C与C′的距离相等即可．观察可知点(1，－1)符合要求，即点P的坐标为(1，－1)．
【2021·达州】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(0，4)，B(0，2)，C(3，2)．
5
(1)将△ABC以O为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C1；
解：如图，△A1B1C1即为所求．
(2)将△ABC平移后得到△A2B2C2，若点A的对应点A2的坐标为(2，2)，求△A1C1C2的面积．
【2021·黑龙江龙东地区】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABO的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－4，3)，O(0，0)．
6
解：如图，△A1B1O即为所求；点A1的坐标为(－1，－3)．
(1)画出△ABO关于x轴对称的△A1B1O，并写出点A1的坐标；
解：如图，△A2B2O即为所求；点A2的坐标为(3，1)．
(2)画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2O，并写出点A2的坐标；
(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长(结果保留π)．(共31张PPT)
测素质
北师版 八年级下
第三章 图形的平移与旋转
集训课堂
图形的平移、旋转及其应用
D
1
2
3
4
5
B
C
6
7
8
D
答 案 呈 现
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C
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9
10
B
11
12
B
90°
10
(2，2)
(0，－2)
5
13
14
15
16
17
答 案 呈 现
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小明读了“子非鱼，安知鱼之乐”后，用电脑画了几幅鱼的图案，其中不能由左边图案旋转得到的是( )
1
D
下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是( )
D
2
如图，该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( )
A．72°
B．108°
C．144°
D．216°
3
B
【2020·南通】以原点为中心，将点P(4，5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4
B
【2021·凉山州】在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段A′B′，点A(2，1)的对应点A′的坐标为
(－2，－3)，则点B(－2，3)的对应点B′的坐标为( )
A．(6，1) B．(3，7)
C．(－6，－1) D．(2，－1)
5
C
如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB′C′，连接BC′，则BC′的长为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
6
C
7
D
【原创题】如图，在平面直角坐标系xO1y中，点A的坐标为(1，1)．如果将x轴向上平移3个单位长度，将y轴向左平移2个单位长度，交于点O2，点A的位置不变，那么在平面直角坐标系xO2y中，点A的坐标是( )
A．(－3，2)
B．(3，－2)
C．(－2，－3)
D．(3，4)
8
B
【中考·衡阳】如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为________．
9
90°
【2021·淄博】在直角坐标系中，点A(3，2)关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位得到点A2，则点A2的坐标为_________．
10
(0，－2)
如图，将边长为3个单位长度的等边三角形ABC沿边BC所在的直线向右平移2个单位长度得到△DEF，则四边形ABED的周长为________个单位长度．
10
11
【2021·怀化】如图，在平面直角坐标系中，已知A(－2，1)，B(－1，4)，C(－1，1)，将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕点C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则点A2的坐标是__________．
(2，2)
12
5
13
(12分)如图，长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B，A，G在同一直线上，试回答下列问题：
(1)旋转角度是多少？
14
解：∵长方形ABCD绕顶点A旋转后得到长方形AEFG，点B，A，G在同一直线上，∴∠BAD是旋转角．∴旋转角度为90°.
解：△ACF是等腰直角三角形．
理由：∵点C绕点A旋转90°到点F，
∴AC＝AF，∠CAF＝90°.
∴△ACF是等腰直角三角形．
(2)△ACF是什么形状的三角形？说明理由．
(12分)【2020·伊春】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A(5，2)，B(5，5)，C(1，1)均在格点上．
15
(1)将△ABC向下平移5个单位长度得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
解：如图，△A1B1C1即为所求；点A1的坐标为(5，－3)．
(2)画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
解：如图，△A2B2C1即为所求；
点A2的坐标为(0，0)．
(3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π)．
(12分)【2021·昆明三中模拟】如图，点O为等边三角形ABC内一点，连接OA，OB，OC，将线段BO绕点B顺时针旋转60°到BM，连接CM，OM.
16
(1)求证：AO＝CM；
(2)若OA＝8，OC＝6，OB＝10，判断△OMC的形状并证明．
解：△OMC是直角三角形．
证明：由(1)知CM＝AO＝8.
∵BO＝BM，∠OBM＝60°，∴△OBM是等边三角形．
∴OM＝OB＝10.
在△OMC中，OM2＝100，OC2＋CM2＝62＋82＝100，
∴OM2＝OC2＋CM2.∴△OMC是直角三角形．
(12分)【2021·毕节】如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
17
(1)求证：BD＝CE，BD⊥CE；
证明：如图①，设AC与BF相交于点O.
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAD＝∠CAE.
(2)如图②，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由．
解：AF∥CD.理由如下：
如图②，作AG⊥BF于点G，AH⊥CE于点H.
由(1)知△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，S△ABD＝S△ACE.∴AG＝AH.
∵AG⊥BF，AH⊥CE，∴FA平分∠BFE.
又∵∠BFE＝90°，∴∠AFD＝45°.
∵∠BDC＝135°，∴∠FDC＝45°.
∴∠AFD＝∠FDC，∴AF∥CD.
