北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元检测卷（Word版，含答案解析）

北师大版八年级上册第一章
勾股定理
一、单选题
1.（2019八下·南岸期中）有四个三角形，分别满足下列条件，其中直角三角形有（ ）
（ 1 ）一个内角等于另外两个内角之差：（2）三个内角度数之比为3：4：5；（3）三边长度之比为5：12：13；（4）三边长分别为7、24、25.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.（2019八下·丹江口期末）矩形ABCD中，已知AB＝5，AD＝12，则AC长为（　　）
A. 9 B. 13 C. 17 D. 20
3.（2020八下·江夏月考）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则图中线段CD的长是（ ）
A. 0.8 B. C. D. 3-
4.（2020·昆明模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD ， 使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5 cm ， 且tan∠EFC＝ ，那么矩形ABCD的周长为（　　）
A. 18 B. 25 C. 32 D. 36
5.（2020八上·盐城期中）如图，在赵爽弦图中，已知直角三角形的短直角边长为a，长直角边长为b，大正方形的面积为20，小正方形的面积为4，则 的值是（ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 5
6.（2019八下·武安期末）如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一点，连接 ，把 沿 折叠，使点 落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为（ ）
A. 3 B. C. 2或3 D. 3或
7.（2021·南海模拟）将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上（每次飞镖均落在镖盘上，且落在镖盘的任何一个点的机会都相等），飞镖落在阴影区域的概率为（　　）
A. B. C. D.
8.代数式 的最小值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 14 D. 11
9.（2019八上·大庆期末）如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（ ）
A. B. C. D.
10.（2021·南湖模拟）如图，矩形纸片 中， ， 是 上一点，连结 ， 沿直线 翻折后点 落到点 ，过点 作 ，垂足为 .若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
11.（2020八上·嵊州期中）如图，等腰三角形 中， ， 是底边上的高，若 ， ，则 .
12.（2020·扶沟模拟）如图，在 中， ， ， ，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，将 沿DE所在直线翻折到 的位置， 交边BC于点F，当 为直角三角形时， 的长为________.
13.（2020·沭阳模拟）如图，斜靠在一面墙上的一根竹竿，它的顶端 距离地面的距离 为 ，底端 远离墙的距离 为 ，当它的顶端 下滑 时，底端 在地面上水平滑行的距离是________.
14.（2019八下·九江期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12．在直线AC、BC上分别取一点M、N，使得△AMN≌△ABN，则CN=________．
15.（2020八上·余杭期末）如图，已知等腰 中， ， ， 是 上的一个动点，将 沿着 折叠到 处，再将边 折叠到与 重合，折痕为 ，当 是等腰三角形时， 的长是________.
16.（2019八上·太原期中）如图，在 中 于点D，点P是线段AD上一个动点，过点P作 于点E，连接PB，则 的最小值为________.
17.（2021八下·余姚竞赛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C'处，P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE ， PH⊥BC ， 垂足分别为G ， H ， 若AD＝16，CF＝6，则PG+PH＝ ．
三、解答题
18.（2019八上·毕节月考）小东与哥哥同时从家中出发，小东以6km/时的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以8km/时的速度向正东方向走去，半小时后，小东距哥哥多远？
19.在棱长为4 cm的正方体箱子中放入一根细长的玻璃棒，则这根玻璃棒的最大长度是多少cm？(结果精确到0.1)
20.为了推广城市绿色出行，某市准备在AB路段建设一个共享单车停放点，该路段附近有两个广场C和D，如图所示，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，AB=1 700 m，CA=1 200m，DB=500m，试问这个单车停放点E应建在距点A多远处，才能使它到两广场的距离相等？
21.（2020七下·津南月考）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10,0）,（0,4）,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标.
22.（2020八上·东台月考）如图，在平面直角坐标系中长方形ABCO的顶点A，C的坐标分别为(0，8) ，(20，0)，D是OC的中点，点P在AB上运动，当△ODP是腰长为10的等腰三角形时，求点P的坐标.
23.（2020八下·邯郸月考）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C恰好落在AB边的中点C'上，点D落在D'处，C'D'交AE于点M．若AB=6，BC=9，求线段ED．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】三角形内角和定理，勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：（1）∵一个内角等于另外两个内角之差，∴∠A=∠B﹣∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，故是直角三角形；
（ 2 ）∵三个内角度数之比为3：4：5；∴设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；
（ 3 ）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；
（ 4 ）因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形.
所以有三个直角三角形，故答案为：C.
【分析】（1）（2）由题意结合三角形内角和定理可求得三角形内角的度数，从而根据直角三角形的定义即可判断求解；
（3）（4）由题意结合勾股定理的逆定理即可判断求解.
2.【答案】 B
【考点】勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，
矩形ABCD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=12，∴ 13，∴AC=BD=13.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理可求出BD长，由矩形的性质可得AC=BD=13.
3.【答案】 D
【考点】勾股定理
【解析】【解答】如图，连接AD
由题意得：
故答案为：D.
【分析】如图（见解析），先根据正方形的边长、圆的性质可得AD、CE、AE的长，再根据勾股定理可求出DE的长，然后根据线段的和差即可得.
4.【答案】 D
【考点】勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED ， AF＝AD ，
∴tan∠EFC＝ ＝ ，
设CE＝3k ， 则CF＝4k ，
由勾股定理得DE＝EF＝ ＝5k ，
∴DC＝AB＝8k ，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC ，
∴tan∠BAF＝ ＝tan∠EFC＝ ，
∴BF＝6k ， AF＝BC＝AD＝10k ，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝ ＝ ＝5 k＝5 ，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2(AB+BC)＝2(8k+10k)＝36（cm），
故答案为：D ．
【分析】先求出tan∠EFC＝ ＝ ，再利用勾股定理求出AE=5 ，最后计算求解即可。
5.【答案】 B
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为c，则c2＝20，小正方形的面积（a b）2＝4，
∵a2＋b2＝c2＝20，（a b）2＝4，
∴a2＋b2 2ab＝4，即20 2ab＝4.
∴ab＝8.
故答案为：B.
【分析】
6.【答案】 D
【考点】勾股定理的应用，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示。
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴AC=
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,
∴点A. B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′,AB=AB′=3，
∴CB′=5 3=2，
设BE=x,则EB′=x，CE=4 x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2 ，
∴x2+22=（4 x）2,解得x= ，
∴BE= ；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示。
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3.
综上所述,BE的长为 或3.
故答案为：D.
【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
7.【答案】 B
【考点】勾股定理，概率公式
【解析】【解答】解：设正六边形的边长为a ， 过A作AG⊥BF ， 垂足为G ， 如图，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF=AB=BC=CD=DE=EF ，
∴
∴
∴
∴由勾股定理得FG= ，
∴BF=
∴
∴白色部分的面积 ，阴影区域的面积是a× a＝ a2 ，
所以正六边形的面积为
则飞镖落在阴影区域的概率为 ．
故答案为：B ．
【分析】利用阴影部分的面积除以正六边形的面积，求出答案即可。
8.【答案】 B
【考点】线段的性质：两点之间线段最短，勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设P点坐标为P（x，0），
原式可化为 + ，
即 ＝AP， ＝BP，
AB＝ ＝13．
代数式 的最小值为13．
故答案为：B．
【分析】设P点坐标为P（x，0），根据两点间的距离公式，原式可化为 + ，即 ＝AP， ＝BP，只有当A、B、P三点在同一直线上的时候，AB=AP+BP最小，根据勾股定理算出AB的长从而得出答案。
9.【答案】 B
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，
∵BC=6，点E为BC的中点，
∴BE=3，
又∵AB=4，
∴AE= =5，
∵ ，
∴ ，
∴BH= ，则BF= ，
∵FE=BE=EC，
∴∠BFC=90°，
∴CF= = ．
故答案为：B．
【分析】连接BF，由折叠可知AE垂直平分BF，根据勾股定理求得AE=5，利用直角三角形面积的两种表示法求得BH= ，即可得BF= ，再证明∠BFC=90°，最后利用勾股定理求得CF= ．
10.【答案】 C
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】如图，作 于点H.
∵AD=6，AD=3GD，
∴GD=2，AG=4.
由题意可知AF=AD=6，EF=DE.
∴在 中， .
由所作辅助线可知四边形 为矩形，
∴HE=GD=2， .
设 ，则 ，
∴ .
∴在 中， ，即 ，
解得： .
故 .
故答案为：C.
【分析】作 于点H，根据折叠的性质，结合题意求出AF和AG的长，然后根据勾股定理求出GF，设 ，然后把相关线段用含x的代数式表示，在 中，根据勾股定理构建方程求解，即可解答.
二、填空题
11.【答案】 4
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理
【解析】【解答】解：∵等腰三角形 中， ， 是底边上的高，
∴AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC，
∵ ，
∴DB=3cm，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，可知BD=3，在直角三角形ABD中利用勾股定理，即可求得AD的长.
12.【答案】 或2
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵在 中， ， ， ， ，∵点 为 的中点， ，
①如解图①，
图①
当 时， ， ，
， ，
；
②如解图②，连接 ，
图②
当 时，
， ， ，
，
.综上所述， 的长为 或2.
故答案为： 或2 .
【分析】由题意可分两种情况讨论求解：①当∠CFB =90°时，根据30度角的直角三角形的性质可知∠B=30°，且DF=BD，则B F的值可求解，于是根据线段的构成得CF=BC-BF，于是在直角三角形CB F中，用勾股定理可求得CB 的长；②当CB F=90时，易证CDA△≌△CDB ，则CB =CA可求解.综合两种情况可求解.
13.【答案】 ( )m
【考点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图,根据题意有AC=2,OA=4,OB=3，AB=CD,BD即为所求.
∵OA=4,OB=3
∴
∵AC=2,
∴
∴
∴
故答案为：( )m.
【分析】先根据题意作出图形，然后先利用勾股定理求出AB的长度，然后再利用勾股定理求出OD的长度，从而可得到BD的长度.
14.【答案】 或 .
【考点】三角形全等的判定，勾股定理
【解析】【解答】①如图1所示：

若△AMN≌△ABN，则BN＝MN，且AM＝AB＝13，∴CM＝8，
设CN＝x，在Rt△MCN中，MC2＋CN2＝MN2 ， 即82＋x2＝（12–x）2 ，
解得x＝ ，∴CN＝ ；
②如图2所示：
若△AMN≌△ABN，则BN＝MN，且AM＝AB＝13，∴CM＝18，
设CN＝x，则BN＝MN＝x＋12，
在Rt△MCN中，MC2＋CN2＝MN2 ，
即182＋x2＝（12＋x）2 ， 解得x＝ ，∴CN＝ ；
综上所述：CN的长为 或 ．
故答案为 或 ．
【分析】分两种情况：①当∠BAN＝∠MAN，且AM＝AB时，则BN＝MN，且AM＝AB＝13，求出CM，设CN＝x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当∠BAN＝∠MAN，且AM＝AB时，则BN＝MN，且AM＝AB＝13，求出CM＝18，设CN＝x，则BN＝MN＝x＋12，在Rt△MCN中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
15.【答案】 ， ，
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：∠B=∠ADE, ∠C=∠ADF,AB=AD=5,AC=AD=5,BE=ED,DF=FC
过A作AM⊥BC于M
∵AB=AC
∴BM=CM= BC=4，∠B=∠C
∴∠B=∠ADE=∠C=∠ADF
由勾股定理可知:
①当DE=DF=a时，
则BE=ED=DF=FC=a，EM=BM-BE=4-x
∵∠ADE=∠ADF
∴AD⊥BC
又∵AM⊥BC
∴A、M、D三点共线，∠EMD=90°
∴DM=AD-AM=5-3=2
在Rt△EMD中：
∴
解得：
②当DE=EF时，
∵BE=ED
∴BE=EF
连接BD,延长AE交BD于G
∵AB=AD,BE=ED
∴AG垂直平分BD
∴BG=DG
设EM=b则BE=EF=4-b
∴FC=8-(8-2b)=2b
∴FD=FC=2b
在△BMD中: BG=DG，BE=EF
∴EG是△BMD的中位线
∴
∴GE=EM=b
∵∠BME=∠AHE=90°，∠BEG=∠AEM
∴
∴BG=AM=3
在Rt△BEG中:
∴
∴
∴BE=4-
③当DF=EF时，
∵CF=DF
∴CF=EF
连接CD,延长AF交CD于H
∵AC=AD,DF=FC
∴AH垂直平分CD
∴DH=CH
设FM=c则FC=FD=4-c
∴BE=8-(8-2c)=2c
∴BE=ED=2c
在△ECD中: EF=FC，DH=HC
∴FH是△ECD的中位线
∴
∴FH=FM=c
∵∠AMF=∠CHF=90°，∠AFM=∠CFH
∴
∴CH=AM=3
在Rt△FCH中:
∴
∴
∴BE=
故答案为： ， ，
【分析】分DE=DF,EF=ED,EF=FD,三种情况进行讨论，结合等腰三角形的性质及全等三角形判定和性质即可解决.
16.【答案】
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】∵
∴点B与点C关于AD对称
过点C作CE⊥AB于一点即为点P，此时 最小
∵
∴BD=2
在Rt△ABC中，
∵S△ABC=
∴
得
故此题填
【分析】根据题意点B与点C关于AD对称，所以过点C作AB的垂线，与AD的交点即点P，求出CE即可得到答案
17.【答案】 8
【考点】勾股定理，矩形的性质，翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：过点E作EQ⊥BC于点Q，连接BP，如图所示：
、
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，∠C=90°，
∴∠DEF=∠EFB，
由折叠可知∠BEF=∠FED，C'F=CF，BC=CD，∠C=∠C'=90°，
∴BE=BF，
∴ ，
∴EQ=PG+PH ,
∵ AD＝16，CF＝6，
∴BF=BC-CF=AD-CF=10，
在Rt△BC'F中，由勾股定理得 ，
∴CD=8，
∵AD∥BC，EQ⊥BC，
∴EQ=PG+PH=8 ,
故答案为：8.
【分析】过点E作EQ⊥BC于点Q，连接BP，先由矩形的性质即可求出AD=BC，AD∥BC，∠C=90°，进而得到∠DEF=∠EFB，再由折叠的性质即可得到∠BEF=∠FED，C'F=CF，BC=CD，∠C=∠C'=90°，进而得到BE=BF，运用等面积法表示△BEF的面积即可得到EQ=PG+PH ,在Rt△BC'F中，依据勾股定理即可求出BC'的长，进而可以求解.
三、解答题
18.【答案】 解：由题意得，AC=6× =3km，BC=8× =4km，∠ACB=90°，
则AB= =5km.
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】据题意求出小东与哥哥各自行走的距离，根据勾股定理计算即可.
19.【答案】 解：如图 ，玻璃棒最大长度为正方体的体对角线AC的长，
因为BC2 =BD2+CD2 =42+42=32，
所以AC2 =AB2+BC2 =42+32= 48．
因为6.922≈47.886， 6.932≈48.025，
所以6.92 cm答：玻璃棒的最大长度为6.9 cm．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】要运用两次勾股定理，首先求得底面的对角线，在利用勾股定理即可求解。
20.【答案】 解：设AE=x m时，它到两广场的距离相等，
则BE=(1 700- x)m，
由题意得1 2002+x2=(1 700-x)2+ 5002 ，
解得x=500．
答：这个单车停放点E应建在距点A500 m处，它到两广场的距离相等．
【考点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设AE的长度为x，根据其到两个广场的距离相等列出方程，解方程得到答案即可。
21.【答案】 解：（1）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OP=PD≠5；
（2）OD是等腰三角形的一条腰时：
①若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
在直角△OPC中，CP= =3，则P的坐标是（3，4）；
②若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，
过D作DM⊥BC于点M，
在直角△PDM中，PM= =3，
当P在M的左边时，CP=5-3=2，则P的坐标是（2，4）；
当P在M的右侧时，CP=5+3=8，则P的坐标是（8，4）．
故P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）．
【考点】勾股定理，矩形的性质
【解析】【分析】分类讨论，利用勾股定理进行求解即可。
22.【答案】 解：∵A（0，8），C（20，0），四边形OABC是矩形，D是OC的中点，
∴OA＝8，OD＝10，∠OAB＝∠COA＝ ，
①当OP＝OD＝10时，
过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8.
在Rt△PEO中，由勾股定理得：OE＝ ，
即P点的坐标是（6，8）；
②当DP＝OD＝10时，
过P作PE⊥OC于E，
则PE＝OA＝8，
由勾股定理得：DE＝ ，
OE＝10-6＝4，
即P点坐标是（4，8）；
③当OP＝DP＝10时，
由勾股定理得：DE＝OE＝ ，
即OD=DE+OE=12≠10，即此时不存在；
④当OD＝PD时，
过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8
在Rt△PED中，由勾股定理得：DE= ，
∴OE=OD+DE=10+6=16
∴此时点P坐标为（16，8）.
故P点的坐标为:（6，8）或（4，8）或（16，8）.
【考点】等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质
【解析】【分析】由点A、C的坐标以及矩形的性质可得OA＝8，OD＝10，∠OAB＝∠COA＝90°，①当OP＝OD＝10时，过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8，在Rt△PEO中，由勾股定理求得OE，据此可得点P的坐标；②当DP＝OD＝10时，过P作PE⊥OC于E，则PE＝OA＝8，由勾股定理求出DE，进而得OE，据此可得点P的坐标；③当OP＝DP＝10时，由勾股定理得：DE=OE=6，求出OD，判断出此种情况不存在；④当OD＝PD时，过点P作PE⊥OC轴于点E，则PE=8，在Rt△PED中，由勾股定理求得DE，进而求出OE，据此可得点P的坐标.
23.【答案】 解：如图，连接C'E，
设DE＝D'E＝x，
∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC＝9，∠A＝∠D＝90°，
∴AE＝AD－DE＝9－x，
∵折叠，
∴∠D'＝∠D＝90°，C'D'＝CD＝6，
∵点C'为AB边的中点，
∴AC'＝ AB＝3，
在Rt△AEC'中，C'E2＝AE2＋AC'2＝32＋（9－x）2 ，
在Rt△C'D'E中，C'E2＝C'D'2＋D'E2＝62＋x2 ，
∴32＋（9－x）2＝62＋x2 ，
解得x＝3，
∴线段ED的长为3．
【考点】勾股定理
【解析】【分析】连接C'E，设DE＝D'E＝x，则AE＝9－x，利用两次勾股定理分别表示出C'E2 ， 进而得到方程求解即可．