高中人教A版（2019）必修第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式 单元检测（Word含答案解析）

高中人教A版（2019）必修第一册第二章
一元二次函数、方程和不等式
一、单选题
1.已知实数 满足 ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的值为（ ）
A. -5 B. C. -4 D. 或
3.若正数x、y满足 ，则 的最小值等于（ ）
A. 4 B. 5 C. 9 D. 13
4.已知 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.设函数 ,若对于 , 恒成立,则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知 ，那么 的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 5
7.若 ，则函数 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8.若实数a，b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是（ ）
A. 18 B. 6 C. D.
9.函数 的最大值是（ ）
A. B. C. D. 1
10.已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
二、填空题
11.已知 ，则 的最小值是 .
12.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线（Cassini Oval）．在平面直角坐标系中，设定点为 ， ，点O为坐标原点，动点 满足 （ 且为常数），化简得曲线 ．下列四个命题中，正确命题的序号是 ．
（将你认为正确的命题的序号都填上）
①曲线E既是中心对称又是轴对称图形；
②当 时， 的最大值为 ；
③ 的最小值为 ；
④ 面积的最大值为 ．
13.设 且 ，则 的最小值为________．
14.已知a＞0，b＞0，且4a﹣b≥2，则 的最大值为 ．
15.已知 ,且 ,则当 取得最小值时相应的 ________.
三、解答题
16.已知集合A={x|x2 - 3x - 4＜0}，集合B={x|1-2a＜x＜2a}
（1）求集合A
（2）若A∩B=B，求参数a的取值范围.
17.已知 ， .
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若方程 有两个正实数根 ， ，求 的最小值.
18.已知关于 的函数 .
（Ⅰ）当 时，求不等式 的解集；
（Ⅱ）若 对任意的 恒成立，求实数 的最大值.
19. . 问：是否存在正数m ， 使得对于任意正数 ，可使 为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】
,
当且仅当 时取等号
故答案为：B
【分析】利用1的代换，结合基本不等式求最值.
2.【答案】 B
【考点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】由题设， 的解集为 ，
∴ ，
当 ，则 ，此时 ，即 ，有 ，
当 ，无解，
当 ，则 ，此时 ，无解，
综上， .
故答案为：B
【分析】首先由一元二次不等式的解法，结合已知条件由m的取值范围，即可得出m与n的值，由此得出答案。
3.【答案】 C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为正数x、y满足 ，所以 （ ），
所以 ，令 ， ，
，
由对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为9，此时 ．
故答案为：C．
【分析】由 得 （ ），代入 后变形，换元后用对勾函数的单调性求解．
4.【答案】 D
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由基本不等式可得 ≥2 ，
若 恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，
∴m2+2m＜8，求得-4＜m＜2
故答案为：D．
【分析】根据题意结合基本不等式的性质即可求出最小值，再由一元二次不等式的解法求解出m的取值范围即可。
5.【答案】 A
【考点】函数恒成立问题，二次函数的性质，一元二次不等式
【解析】【解答】 函数 ,若对于 , 恒成立，
在 恒成立，
，即 ，
设 ，
若 恒成立，只需 ，
易知 在 单调递减，
所以 ，
故答案为：A
【分析】由题意采用分离参数化为 ，求 在 上的最小值即可.
6.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】根据题意， ，则 ，
当且仅当 时等号成立，
即 的最小值是2；
故答案为： ．
【分析】根据题意，由基本不等式的性质即可得答案。
7.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】∵ ，∴ （当且仅当 时，即 时，取“=”），所以函数 的最小值为。
故答案为：B.
【分析】利用已知条件借助均值不等式变形求出函数 的最小值。
8.【答案】 B
【考点】基本不等式
【解析】【解答】因为， 所以， 当且仅当时“＝”成立.故选B.
9.【答案】 A
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】令 ，则 ，
求函数 的最大值可化为： ，
时，
，有 ，
当且仅当 时“ ”成立，
综上，
的最大值为 ，
故答案为：A．
【分析】令 ，则 ，问题转化为求 的最大值，根据基本不等式的性质求出其最大值即可．
10.【答案】 B
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由 ， ， 得，
，当且仅当 时等号成立。
故答案为：B。
【分析】由已知得到 ， 利用基本不等式即可求出 的最小值.
二、填空题
11.【答案】 8
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时取等号.
故答案为：8 ．
【分析】首先整理原式再由基本不等式即可求出最小值即可。
12.【答案】 ①②④
【考点】基本不等式，两点间的距离公式
【解析】【解答】①：以 代 ，得： ，所以曲线关于纵轴对称；
以 代 ，得： ，所以曲线关于横轴对称；
同时以 代 ，以 代 得：
，所以曲线关于原点对称，所以曲线E既是中心对称又是轴对称图形，故本命题是真命题；
②：当 时，
由 ，
解得： ，
因此有 ，
即 ，故本命题是真命题；
③：因为 ，
所以当 时，有 ，
当 时，显然 与 ， 中一点重合，故此时 ，
因此本命题是假命题，
④： 面积为： ，
当 时， 面积的最大值为 ，故本命题是真命题，
故答案为：①②④
【分析】①对曲线方程以 代 ， 以 代 ， 同时以 代 ， 以 代 你进行判断即可；②利用曲线方程求出x的取值范围，结合两点间距离公式进行判断即可；
③ 利用基本不等式进行判断即可；
④利用三角形面积公式，结合题中定义进行判断即可。
13.【答案】
【考点】基本不等式
【解析】【解答】 ,
因为 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时等号成立，
故 ，故 的最小值为 .
故答案为： .
【分析】由题意可知 ， 再利用基本不等式可得 的最小值 。
14.【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意，4a≥b+2＞2，a＞ ， ≥ ，
∴ ≤ ﹣
令y= ﹣
则y′=﹣ + = ，
∴ 时，y′＞0，函数单调递增，a＞1时，y′＜0，函数单调递减，
∴a=1时，ymax= ，
∴ ≤ ，
故答案为 ．
【分析】由题意，4a≥b+2＞2，a＞ ， ≥ ，可得 ≤ ﹣ ，令y= ﹣ ，求导数确定函数的单调性，求最值，即可得出结论．
15.【答案】
【考点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为 ,且 ,
所以有： ,当且仅当
时取等号,即 .
故答案为：
【分析】根据所给的代数式特征,利用公式 进行恒等变形,利用基本不等式的性质可以求出当 取得最小值时相应的 的值.
三、解答题
16.【答案】 （1）解：由集合 知： ，解得 ，
∴集合 为 ；
（2）解：由A∩B=B知： ，结合（1）有：
当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ；
综上，有 .
【考点】集合的包含关系判断及应用，一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）利用因式分解求一元二次不等式的解集即可；（2）由已知条件可知 ，再分类讨论 、 时求a的范围.
17.【答案】 （1）解：由 得 ，
当 时，原不等式的解集为 ， ， ，
当 时，原不等式的解集为 ，
当 时，原不等式的解集为 ， ， ；
（2）解：方程 有两个正实数根 ， ，
等价于 有两个正实数根 ， ，
，
则
当且仅当 时取等号，
故 的最小值为6．
【考点】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用，一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而解出关于 的不等式 的解集。
（2） 方程 有两个正实数根 ， ，等价于 有两个正实数根 ， ，再利用判别式法结合韦达定理，从而求出实数a的取值范围，再利用均值不等式求最值的方法，从而求出 的最小值 。

18.【答案】 解：（Ⅰ）由题意，当 时，函数 ，
由 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
（Ⅱ）因为 对任意的 恒成立，即 ，
又由 ，当且仅当 时，即 时，取得最小值，
所以 ，即实数 的最大值为 .
【考点】一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（Ⅰ）由 时，根据 ，利用一元二次不等式的解法，即可求解；（Ⅱ）由 对任意的 恒成立，得到 ，利用基本不等式求得最小值，即可求解.
19.【答案】 解：x＞0，y＞0，a=x+y，b= ，c=m ，
由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，
可得a＞b，
由题意可得要构成三角形，必须
b+c＞a且a+b＞c，
即有 +m ＞x+y
且x+y+ ＞m ．
由m＜ ，
≥ =2+ ，
当且仅当x=y取得等号．
可得m＜2+ ①
由m＞ ，
= + ﹣ ，
令u= ，则上式为u+ ﹣ ．
可令t=u+ （t≥2），可得上式为t﹣ = ，
可得在[2，+∞）递减，可得t﹣ ≤2﹣ ，
即有m＞2﹣ ②
由①②可得m的取值范围是（2﹣ ，2+ ）．
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】本题利用三角形两边之和大于第三边的性质，结合均值不等式求最值的方法求出m的取值范围，注意构造法和换元法的应用，构造相关函数利用单调性求出m的取值范围是解决本题的关键。