2021 -2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似单元检测卷（Word版，附答案解析）
文档属性
| 名称 | 2021 -2022学年人教版九年级数学下册第二十七章相似单元检测卷（Word版，附答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 212.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 14:40:31 | ||
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文档简介
人教版九年级下册第二十七章
相似
一、单选题
1.（2019九上·太原期中）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2020九上·永定期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 5：7 B. 10：4 C. 25：4 D. 25：49
3.（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020九上·浦东期中）已知△ABC中，D ， E分别是边BC ， AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2020九上·襄汾期中）如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
6.（2019·十堰）如图，平面直角坐标系中， ，反比例函数 的图象分别与线段 交于点 ，连接 .若点 关于 的对称点恰好在 上，则 （ ）
A. B. C. D.
7.（2021·扬州）如图，点P是函数 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 的图像于点C、D，连接 、 、 、 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①
二、填空题
8.（2019·宝山模拟）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于________．
9.（2020·孝感模拟）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为________.
10.（2020九上·上海月考）如图，在 中， 边上的高 和中线 及 的平分线 将 四等分， ________
11.（2019·高港模拟）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM= .
12.（2020九上·丽水期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x.
（ 1 ）AE的长为________（用含x的代数式表示）；
（ 2 ）设EK＝2KF，则 的值为________.
13.（2019九下·温州竞赛）如图，在△ABC中，AB=AC，在∠ABC的内部作∠ABE=45°，EC⊥BC点D在AB上，DE、AC相交点F，若以DE为直径的⊙O与AB、BC都相切，切点分别为点D和G，则 的值是________.
14.（2021·安丘模拟）如图，矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，A'B'与AD相交于点G ， 若点F ， B'，D在同一条直线上，△A'EG的面积为4，△CDF的面积为36，则△GB'D的面积等于 ．
三、解答题
15.（2019·松桃模拟）如图， 与 相交于点 ，已知 ， ， ， .求证： .
16.（2019九上·龙湖期末）如图，已知AB是 的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．
求证：△ABC∽△POA.
17.（2020九上·南山期中）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
18.（2019九上·西安月考）用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用.甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸.”你认为谁说的有道理，请证明.（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha ， hb ， hc）
19.（2020九下·黄石月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG FD.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、 ，故A符合标准；
B、 ，故B不符合标准；
C、 ，故C符合标准；
D、 ，故D符合标准；
故答案为：B.
【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
2.【答案】 D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案。
3.【答案】 D
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出 ， 据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于 ， 可证△ABC∽△CBD，可得 ， 据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
4.【答案】 D
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
若使线段DE∥AB ， 则其对应边必成比例，
即 ＝ ， ＝ ，A、B可判定DE∥AB；
＝ ，即 ＝ ，C可判定DE∥AB；
而由 ＝ 不能判断DE∥AB ， 故D选项答案符合题意．
故答案为：D．
【分析】作图，结合图像，根据线段之比逐项判断平行即可。
5.【答案】 C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
6.【答案】 C
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，设点 关于 的对称点为 ，连接 ，如图所示：
则 ，
易证
，
，
，
在反比例函数 的图象上，
，
在 中，由勾股定理：
即：
解得： 。
故答案为：C。
【分析】过点 作 ，垂足为 ，设点 关于 的对称点为 ，连接 ，如图所示：根据A,B,C三点的坐标特点得出 ， 根据点的坐标与图形的性质分别用含k的式子表示出点D,E的坐标，根据轴对称的性质很容易得到 ， 根据全等三角形的性质得出 ， 很容易证出 ， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 利用比例式建立方程求解算出AF的长，在 中，由勾股定理建立方程，求解即可。
7.【答案】 B
【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在 上，点C，D在 上，
设P（m， ），
则C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，
则 ，即D（ ， ），
∴PC= = ，PD= = ，
∵ ， ，即 ，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积= = = ，故③正确；
=
=
=
=
= ，故②错误；
故答案为：B.
【分析】设P（m， ），则C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，可求出D（ ， ），从而求出PD、PC，继而求出 ，由∠DPC=∠BPA可证△PDC∽△PBA，可得∠PDC=∠PBC，可证CD∥AB，据此判断①；由△PDC的面积= 求出结论，据此判断③；由 ， 可求出结果，据此判断②即可.
二、填空题
8.【答案】 1:16
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是 ，
∴其相似比等于1：4，
∴它们的面积比是 ： =1：16，
故答案为1：16．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出结论．
9.【答案】 3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例
【解析】【解答】作CE⊥x轴于E，如图，
∵DB∥CE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设D（m，n），则C（2m，2n），
∵C（2m，2n）在反比例函数图象上，
∴k＝2m×2n＝4mn，
∴A（m，4n），
∵S△AOD＝ ×（4n﹣n）×m＝ mn，S△BCD＝ ×（2m﹣m）×n＝ mn
∴△AOD与△BCD的面积比＝ mn： mn＝3.
故答案为3.
【分析】作CE⊥x轴于E，如图，利用平行线分线段成比例得到 ＝ ＝ ＝ ，设D（m，n），则C（2m，2n），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4mn，则A（m，4n），然后根据三角形面积公式用m、n表示S△AOD和S△BCD ， 从而得到它们的比.
10.【答案】 45
【考点】三角形的角平分线、中线和高，比例线段
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADF=90°，又∠FAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADC≌△ADF，
∴AF=AC，FD=DC，
∵∠BAE=∠FAE，
∴ ，
∵AF平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BF=BE+EF，FC=CE-EF，BE=CE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又FC=2FD，
∴ ，即
∵∠EAF=∠DAF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AFD中， ，
∴DE=AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
故答案为：45°．
【分析】由题意可证得△ADC≌△ADF，则有AF=AC，FD=DC，再根据三角形内角平分线性质可证得 ， ，根据比例的合比性质可证得 ，进而有 ， ，由勾股定理可证得AD=DE，则△DAF为等腰直角三角形，即可求得∠EDA的度数．
11.【答案】 5：12
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AE∥BC交DC于点E，交DF于点F，
设每个小正方形的边长为a，
则△DEF∽△DCN，
∴ ＝ ＝ ，
∴EF= a，
∵AF=2a，
∴AE= a，
∵△AME∽△BMC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为：5：12.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题
12.【答案】 ；x
【考点】三角形全等及其性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝ ，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝ ，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
故答案为： ；
（ 2 ）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝ AM＝AN，
∴ ＝ ，
∵△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ＝x，
∴ ＝x，
故答案为：x.
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝ AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝x，即可得出 ＝x.
13.【答案】
【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质，切线长定理
【解析】【解答】设圆的半径为1，EC=x，GC=y，连接EG、DG，
Rt△ECG∽Rt△EGD，则 ， ， 在Rt△BCE中， ， 解得 得
设CE交圆于M点，CG为切线，有 ， 从而
,过F作AH的垂线，交AH、DP分别为J、K，AH交DE于I.,
∴
【分析】要求AF:FC的值，直接求不好处理，考虑间接求法。作AH垂直于BC，交DE于一点P，这样AF：FC就转化为AI:EC。作出有关平行线和垂线，利用平行线所截线段成比例和三角形相似等求得AI的长度，进而求出的值。
14.【答案】 16
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，
∴∠A′=∠A=∠A′B′F=∠B=∠C=90°，A′B′=AB ，
∵∠A′+∠A′B′F=180°，
∴A′E∥DF ，
∴∠A′EG=∠GDB′ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD ， AD∥BC ，
∴∠GDB′=∠DFC=∠A′EG ，
∴△A′EG∽△CFD ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵∠A′=∠A′B′F=90°，∠A′EG=∠GDB′ ，
∴△A′EG∽△B′DG ，
，
∵S△A'EG=4，
∴ ．
故答案为：16．
【分析】由矩形ABCD沿EF折叠， 可得∠A′=∠A =90°，A′B′=AB ， 可证A′E∥DF ， 可得∠A′EG=∠GDB′ ， 可证△A′EG∽△CFD ， 可得 ，可证△A′EG∽△B′DG ， 即可．
三、解答题
15.【答案】 证明：∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，夹角相等，即可判定 ，然后得到 ，根据内错角相等，判定平行.
16.【答案】 证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA.
【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，可得∠AOP=∠B，再根据在圆中，直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90° ，从而可得到∠C=∠OAP，由两组角对应相等的两个三角形相似即可证明。
17.【答案】 解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，
∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 △ABC∽△A'B'C'，理由：根据三边对应成比例可证△ABD∽△A'B'D'，可得∠B＝∠B'，利用三角形的中线可得 ， ，利用两边对应成比例且夹角相等即证△ABC∽△A'B'C'．
18.【答案】 设△ABC的三条边上的对应高分别为ha ， hb ， hc ， 一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa ， xb ， xc ，
易得：△APN~△ABC，
∴ ，
∴xa＝ ，
同理xb＝ ，xc＝ ，
又设三角形ABC面积为s
∴xa﹣xb＝
=
=
= (
= )
∵a＞b，ha＜b，
∴（b﹣a）（1﹣ ）＜0，
即xa﹣xb＜0，
∴xa＜xb ，
同理：xb＜xc ，
∴xa＜xb＜xc.
∴乙同学说的正确.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设△ABC的三条边上的对应高分别为ha ， hb ， hc ， 一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa ， xb ， xc ， 利用相似三角形性质可得 ，进而表示出xa＝ ，同理xb＝ ，xc＝ ，然后将它们作差，与0比较，进而得出xa ， xb ， xc ， 的大小关系.
19.【答案】 证明：连结BF、BG.
∵在△AEO和△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE＝BF.
又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，
∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴∠FBD＝90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE2＝FG FD.
【考点】全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.
相似
一、单选题
1.（2019九上·太原期中）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2020九上·永定期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A. 5：7 B. 10：4 C. 25：4 D. 25：49
3.（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.（2020九上·浦东期中）已知△ABC中，D ， E分别是边BC ， AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（ ）
A. B. C. D.
5.（2020九上·襄汾期中）如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
6.（2019·十堰）如图，平面直角坐标系中， ，反比例函数 的图象分别与线段 交于点 ，连接 .若点 关于 的对称点恰好在 上，则 （ ）
A. B. C. D.
7.（2021·扬州）如图，点P是函数 的图像上一点，过点P分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为点A、B，交函数 的图像于点C、D，连接 、 、 、 ，其中 ，下列结论：① ；② ；③ ，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①
二、填空题
8.（2019·宝山模拟）如果两个相似三角形的周长的比等于1：4，那么它们的面积的比等于________．
9.（2020·孝感模拟）如图，已知点A，点C在反比例函数y＝ （k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为________.
10.（2020九上·上海月考）如图，在 中， 边上的高 和中线 及 的平分线 将 四等分， ________
11.（2019·高港模拟）在如图所示的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都是格点，AB与CD相交于M，则AM：BM= .
12.（2020九上·丽水期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，点M是BC边上的动点（不与B，C重合），点N是AM的中点，过点N作EF⊥AM，分别交AB，BD，CD于点E，K，F，设BM＝x.
（ 1 ）AE的长为________（用含x的代数式表示）；
（ 2 ）设EK＝2KF，则 的值为________.
13.（2019九下·温州竞赛）如图，在△ABC中，AB=AC，在∠ABC的内部作∠ABE=45°，EC⊥BC点D在AB上，DE、AC相交点F，若以DE为直径的⊙O与AB、BC都相切，切点分别为点D和G，则 的值是________.
14.（2021·安丘模拟）如图，矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，A'B'与AD相交于点G ， 若点F ， B'，D在同一条直线上，△A'EG的面积为4，△CDF的面积为36，则△GB'D的面积等于 ．
三、解答题
15.（2019·松桃模拟）如图， 与 相交于点 ，已知 ， ， ， .求证： .
16.（2019九上·龙湖期末）如图，已知AB是 的直径，过点O作弦BC的平行线，交过点A的切线AP于点P，连结AC．
求证：△ABC∽△POA.
17.（2020九上·南山期中）如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且 ．判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．
18.（2019九上·西安月考）用一个大小形状固定的不等边锐角三角形纸，剪出一个最大的正方形纸备用.甲同学说：“当正方形的一边在最长边时，剪出的内接正方形最大”；乙同学说：“当正方形的一边在最短边上时，剪出的内接正方形最大”；丙同学说：“不确定，剪不出这样的正方形纸.”你认为谁说的有道理，请证明.（假设图中△ABC的三边a，b，c，且a＞b＞c，三边上的高分别记为ha ， hb ， hc）
19.（2020九下·黄石月考）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，连接AC、CB，过O作EO∥CB并延长EO到F，使EO＝FO，连接AF并延长，AF与CB的延长线交于D.求证：AE2＝FG FD.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 B
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、 ，故A符合标准；
B、 ，故B不符合标准；
C、 ，故C符合标准；
D、 ，故D符合标准；
故答案为：B.
【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
2.【答案】 D
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得到答案。
3.【答案】 D
【考点】勾股定理，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出 ， 据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于 ， 可证△ABC∽△CBD，可得 ， 据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
4.【答案】 D
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：如图，
若使线段DE∥AB ， 则其对应边必成比例，
即 ＝ ， ＝ ，A、B可判定DE∥AB；
＝ ，即 ＝ ，C可判定DE∥AB；
而由 ＝ 不能判断DE∥AB ， 故D选项答案符合题意．
故答案为：D．
【分析】作图，结合图像，根据线段之比逐项判断平行即可。
5.【答案】 C
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
6.【答案】 C
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点 作 ，垂足为 ，设点 关于 的对称点为 ，连接 ，如图所示：
则 ，
易证
，
，
，
在反比例函数 的图象上，
，
在 中，由勾股定理：
即：
解得： 。
故答案为：C。
【分析】过点 作 ，垂足为 ，设点 关于 的对称点为 ，连接 ，如图所示：根据A,B,C三点的坐标特点得出 ， 根据点的坐标与图形的性质分别用含k的式子表示出点D,E的坐标，根据轴对称的性质很容易得到 ， 根据全等三角形的性质得出 ， 很容易证出 ， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 利用比例式建立方程求解算出AF的长，在 中，由勾股定理建立方程，求解即可。
7.【答案】 B
【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵PB⊥y轴，PA⊥x轴，点P在 上，点C，D在 上，
设P（m， ），
则C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，
则 ，即D（ ， ），
∴PC= = ，PD= = ，
∵ ， ，即 ，
又∠DPC=∠BPA，
∴△PDC∽△PBA，
∴∠PDC=∠PBC，
∴CD∥AB，故①正确；
△PDC的面积= = = ，故③正确；
=
=
=
=
= ，故②错误；
故答案为：B.
【分析】设P（m， ），则C（m， ），A（m，0），B（0， ），令 ，可求出D（ ， ），从而求出PD、PC，继而求出 ，由∠DPC=∠BPA可证△PDC∽△PBA，可得∠PDC=∠PBC，可证CD∥AB，据此判断①；由△PDC的面积= 求出结论，据此判断③；由 ， 可求出结果，据此判断②即可.
二、填空题
8.【答案】 1:16
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比是 ，
∴其相似比等于1：4，
∴它们的面积比是 ： =1：16，
故答案为1：16．
【分析】根据相似三角形的性质即可得出结论．
9.【答案】 3
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例
【解析】【解答】作CE⊥x轴于E，如图，
∵DB∥CE，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设D（m，n），则C（2m，2n），
∵C（2m，2n）在反比例函数图象上，
∴k＝2m×2n＝4mn，
∴A（m，4n），
∵S△AOD＝ ×（4n﹣n）×m＝ mn，S△BCD＝ ×（2m﹣m）×n＝ mn
∴△AOD与△BCD的面积比＝ mn： mn＝3.
故答案为3.
【分析】作CE⊥x轴于E，如图，利用平行线分线段成比例得到 ＝ ＝ ＝ ，设D（m，n），则C（2m，2n），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝4mn，则A（m，4n），然后根据三角形面积公式用m、n表示S△AOD和S△BCD ， 从而得到它们的比.
10.【答案】 45
【考点】三角形的角平分线、中线和高，比例线段
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADF=90°，又∠FAD=∠CAD，AD=AD，
∴△ADC≌△ADF，
∴AF=AC，FD=DC，
∵∠BAE=∠FAE，
∴ ，
∵AF平分∠BAC，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵BF=BE+EF，FC=CE-EF，BE=CE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又FC=2FD，
∴ ，即
∵∠EAF=∠DAF，
∴ ，
∴ ，
在Rt△AFD中， ，
∴DE=AD，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠EAD=45°，
故答案为：45°．
【分析】由题意可证得△ADC≌△ADF，则有AF=AC，FD=DC，再根据三角形内角平分线性质可证得 ， ，根据比例的合比性质可证得 ，进而有 ， ，由勾股定理可证得AD=DE，则△DAF为等腰直角三角形，即可求得∠EDA的度数．
11.【答案】 5：12
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AE∥BC交DC于点E，交DF于点F，
设每个小正方形的边长为a，
则△DEF∽△DCN，
∴ ＝ ＝ ，
∴EF= a，
∵AF=2a，
∴AE= a，
∵△AME∽△BMC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
故答案为：5：12.
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据三角形相似即可解答本题
12.【答案】 ；x
【考点】三角形全等及其性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为1，BM＝x，
∴AM＝ ，
∵点N是AM的中点，
∴AN＝ ，
∵EF⊥AM，
∴∠ANE＝90°，
∴∠ANE＝∠ABM＝90°，
∵∠EAN＝∠MAB，
∴△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE＝ ，
故答案为： ；
（ 2 ）解：如图，连接AK、MG、CK，
由正方形的轴对称性△ABK≌△CBK，
∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，
∵EF⊥AM，N为AM中点，
∴AK＝MK，
∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，
∴∠KAB＝∠KMC，
∵∠KMB+∠KMC＝180°，
∴∠KMB+∠KAB＝180°，
又∵四边形ABMK的内角和为360°，∠ABM＝90°，
∴∠AKM＝90°，
在Rt△AKM中，AM为斜边，N为AM的中点，
∴KN＝ AM＝AN，
∴ ＝ ，
∵△AEN∽△AMB，
∴ ＝ ＝x，
∴ ＝x，
故答案为：x.
【分析】（1）根据勾股定理求得AM，进而得出AN，证得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性质即可求得AE的长；
（2）连接AK、MG、CK，构建全等三角形和直角三角形，证明AK＝MK＝CK，再根据四边形的内角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK＝ AM＝AN，然后根据相似三角形的性质求得 ＝ ＝x，即可得出 ＝x.
13.【答案】
【考点】平行线分线段成比例，相似三角形的性质，切线长定理
【解析】【解答】设圆的半径为1，EC=x，GC=y，连接EG、DG，
Rt△ECG∽Rt△EGD，则 ， ， 在Rt△BCE中， ， 解得 得
设CE交圆于M点，CG为切线，有 ， 从而
,过F作AH的垂线，交AH、DP分别为J、K，AH交DE于I.,
∴
【分析】要求AF:FC的值，直接求不好处理，考虑间接求法。作AH垂直于BC，交DE于一点P，这样AF：FC就转化为AI:EC。作出有关平行线和垂线，利用平行线所截线段成比例和三角形相似等求得AI的长度，进而求出的值。
14.【答案】 16
【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD沿EF折叠，点A的对称点为点A'，点B的对称点为点B'，
∴∠A′=∠A=∠A′B′F=∠B=∠C=90°，A′B′=AB ，
∵∠A′+∠A′B′F=180°，
∴A′E∥DF ，
∴∠A′EG=∠GDB′ ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD ， AD∥BC ，
∴∠GDB′=∠DFC=∠A′EG ，
∴△A′EG∽△CFD ，
∴ ，
∴ 即 ，
∴ ，
∵∠A′=∠A′B′F=90°，∠A′EG=∠GDB′ ，
∴△A′EG∽△B′DG ，
，
∵S△A'EG=4，
∴ ．
故答案为：16．
【分析】由矩形ABCD沿EF折叠， 可得∠A′=∠A =90°，A′B′=AB ， 可证A′E∥DF ， 可得∠A′EG=∠GDB′ ， 可证△A′EG∽△CFD ， 可得 ，可证△A′EG∽△B′DG ， 即可．
三、解答题
15.【答案】 证明：∵ ，
∴ .
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据对应边成比例，夹角相等，即可判定 ，然后得到 ，根据内错角相等，判定平行.
16.【答案】 证明：∵BC∥OP
∴∠AOP=∠B
∵AB是直径
∴∠C=90°
∵PA是⊙O的切线，切点为A
∴∠OAP=90°
∴∠C=∠OAP
∴△ABC∽△POA.
【考点】圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定
【解析】【分析】由两直线平行，同位角相等，可得∠AOP=∠B，再根据在圆中，直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，切线垂直于经过切点的半径可得∠OAP=90° ，从而可得到∠C=∠OAP，由两组角对应相等的两个三角形相似即可证明。
17.【答案】 解：△ABC∽△A'B'C'，
理由：∵
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠B＝∠B'，
∵AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线
∴ ， ，
∴ ，
在△ABC和△A'B'C'中
∵ ，且∠B＝∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 △ABC∽△A'B'C'，理由：根据三边对应成比例可证△ABD∽△A'B'D'，可得∠B＝∠B'，利用三角形的中线可得 ， ，利用两边对应成比例且夹角相等即证△ABC∽△A'B'C'．
18.【答案】 设△ABC的三条边上的对应高分别为ha ， hb ， hc ， 一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa ， xb ， xc ，
易得：△APN~△ABC，
∴ ，
∴xa＝ ，
同理xb＝ ，xc＝ ，
又设三角形ABC面积为s
∴xa﹣xb＝
=
=
= (
= )
∵a＞b，ha＜b，
∴（b﹣a）（1﹣ ）＜0，
即xa﹣xb＜0，
∴xa＜xb ，
同理：xb＜xc ，
∴xa＜xb＜xc.
∴乙同学说的正确.
【考点】相似三角形的应用
【解析】【分析】设△ABC的三条边上的对应高分别为ha ， hb ， hc ， 一边分别落在a，b，c上的内接正方形边长分别记为xa ， xb ， xc ， 利用相似三角形性质可得 ，进而表示出xa＝ ，同理xb＝ ，xc＝ ，然后将它们作差，与0比较，进而得出xa ， xb ， xc ， 的大小关系.
19.【答案】 证明：连结BF、BG.
∵在△AEO和△BFO中，
，
∴△AEO≌△BFO（SAS），
∴AE＝BF.
又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，
∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，
∴∠FBD＝90°，
又∵BG⊥FD，
∴△FGB∽△FBD，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴AE2＝FG FD.
【考点】全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】如图，连结BF、BG.由△AEO≌△BFO的对应边相等得到AE=BF，然后由圆周角定理和平行线的性质易证△FGB∽△FBD，则根据该相似三角形的对应边成比例证得结论.