衢温“5+1”联盟 2021 学年第一学期高二年级期中
联考
高二年级数学学科 参考答案
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B C D D B A C B
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分）
9 10 11 12
ABD AC ACD ABD
三、填空题（本大题共 4 小题，多空题每题 5 分，共 20 分)
13．2 14． 1 15． (1,0) 16．2
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)
17（I）．解：由正弦定理可得： 2 + = 2 + 2,
又∵ 2 = 2 + 2 2
3 分
1
∴ =
2
∴ = 5 分
3
2
(II)由 + + = 得 = ，
3
2
且 ∈ (0， )， +
3
2
= + sin ( )
3
3 √3
= +
2 2
=√3sin ( + ) 8 分
6
5
∵ + ∈ ( , )
6 6 6
√3
∴√3sin ( + ) ∈ ( , √3]. 10分
6 2
18.(I)解：由题意得 = | | = √(2 + 1)2 + (1 + 3)2 = 5 2 分
∴圆 的标准方程为( 2)2 + ( 1)2 = 25.
5 分
(II) | | = 2√ 2 2, 7 分
若| | ≥ 6. ∴ = 4, 9 分
| 1|
而圆心到直线的距离 = ,
√1+ 2 10分
当 = 0时， 取到最大，
此时 = | 1| = 4
∴ = 5或 = 3. 12分
19.（1）有频率分布直方图知(0.002 + 0.004 + 0.014 + 0.035 + ) × 10 = 1
即10 × (0.075 + ) = 1，解得 = 0.025 3 分
2200
设总共调查了 人，则 = (0.020 + 0.035) × 10,
解得 = 4000,即调查的总人数为4000人； 6 分
（2）最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为85， 8 分
中位数位于区间[80,90]，设中位数为 ，
则0.025 + (90 ) × 0.035 = 0.5，
10
解得： = 82.9，所以中位数为82.9,
所以估计本次考试成绩的中位数为82.9.
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02、0.04、0.14、0.20、0.35、0.25，
所以，设平均数为 ，
则 = 45 × 0.02 + 55 × 0.04 + 65 × 0.14 + 75 × 0.2 + 85 × 0.35 + 95 × 0.25 = 80.7 12 分
20.解：（1）以 为坐标原点，射线 为 轴的正半轴，以 长为单位长，建立如图所
示的空间直角坐标系 。由题设可知 1 与 轴平行， 轴在平面 1 1 内.
则 (0,0,0), (2,0,0), 1(1,0, √3), 1( 1,0,√3), (0,1,0),
, 1( 1,1,√3), (1,0,0)
由 1 = ( 3,0, √3), 1 = ( 1,0, √3), = (0,1,0)
∴ 1 1 = 3 × 1 + 0 × 0 + √3 × √3 = 0，即 ⊥ 1 1
∴ 1 = 3 × 0 + 0 × 1 + √3 × 0 = 0，即 1 ⊥
又∵ ∩ 1 = , 1 平面 1 , 平面 1
∴ 1 ⊥平面 5 分 1
（2）设平面 1 1的法向量 = ( , , ),则 ⊥ , ⊥ 1，
即则 = 0, 1 = 0.∵ = (0,1,0), 1 = ( 1,0,√3)
= = 0
∴{ 令 = 1,则 = 0, = √3,即 = (√3, 0,1) 8 分
1 = + √3 = 0
又∵ 1 = (2, 1, √3)
设直线 1 与平面 1 1所成角为
则 = | 1
|
| || 1 |
10 分
√3 √6
= =
2×2 2 8 12 分 √
√6
即直线 1 与平面 1 1所成角的正弦值为 8
21.解：（I） 2 = 4 3 分
(II)解：设直线 的方程为 = + ,
2
与抛物线 2 = 2 联立得： 2 4 2 = 0,由韦达定理得 21 + 2 = 2 , 1 2 = ,
∴ = 1 2 + 1 2
2 3 2
= 2 = = 3 7 分 4 4
（III）：设 ( 2, 2 ), ( 2, 2 ), ( 2, 2 ), ( 2, 2 ),且 (1,0),
4
直线 ⊥直线 ，∴ = = 1,∴( + )( + ) = 4① ( + )( + )
又∵ , , 三点共线，∴ = 1②
同理： , , 三点共线，∴ = 1③
2 2 2 2
直线 的方程为 = + , 直线 的方程为 = + ,
+ + + +
∴ = 1, 9 分
由①②③式得 2 2 2 2 + 1 + 4 = 0
2 2 2 + 1 = 2 + 2 + 2 ( 1)2 = ( + )2 | 1| = | + |
1
= ④ 10分
+1
| | | | 2+1
∵ 1 = = = = | | 11 分
2 | | |
2
|
2
2
= | 1 + 2 | (0,1) 12 分 2 +1
2 2 4 4 4 4
法二：设, ( 1 , 1) , (
2 , 2) , ( 2 , ), ( 2 , ), 4 4 1 1 2 2
4 4
直线 AC的方程为 = + 1 2 ，直线 BD的方程为 = 1 2
1+ 2 1+ 2 1+ 2 1+ 2
∴ = 1, 9 分
设直线 AC的方程为 = + , , ( 1, 1), ( 2, 2)
2 = 4
联立{ 2 4 4 = 0,∵ > 0,∴ 2 + > 0
= +
由韦达定理知 1 + 2 = 4 , 1 2 = 4 ,
∵ ⊥ ，∴ = 0 4 2 = 2 6 + 1, 10分
+1
1 | | | | 2+∴ = = = =| |
2 | | | | 1 2 11 分
2 +12 2√ + + 2
2 + +1 1 1 8=| |= = (√1 + 2 1) ∈ (0,1) 12 分 4√ 2+ 4 √ 2+ 2 2 6 +1
22.解（1） ( )的值域为[0,+∞)
单调增区间为( ∞, 0), (1,+∞),单调减区间为(0, 1]. 3 分
1 1
(2)∵ ≠ 且 ( ) = ( ),即|1 | = |1 |
1 1 1 1
∴ 1 = 1 ,即 + =2
1 1 1 1 2 1 2 3+2√2
∴2 + = ( + ) (2 + ) = (3 + + ) ≥ (3 + 2√ ) =
2 2 2 2
3+2√2
∴2 + ∈ [ ,+∞)
2 7 分
1
( ) 1 1 2 , ( ) ≥ ( ) | 2 +1|
2 , | 2 + 1| ≥ | + 1|(3) ( ) = { 1 即) ( ) = {
( ) 1 1 | +1| , ( ) < ( ) , | 2 + 1| < | + 1|
2 2
∵ = | 2 + 1|与 = | + 1|的图像分别是以(2 1,0)和( 1,0)为顶点的开口向
上的 型线，且两条射线的斜率为±1.
① 当 ≤ 0时，此时2 1 ≤ 1, ( ) = | 2 +1| ≥ |2 2 | = 2 2 9 分
② 当 > 0时，此时2 1 > 1, ( ) = | +1|
4 3
1） 若0 < < ，此时 1 < 1， ( ) = | +1| = +1 ≥ 2
3 2
4 14 3
2） 若 ≤ < ，此时1 ≤ 1 ≤ 6， ( ) ≥ 2
3 3 2
14 3
3） 若 > ，此时 1 > 6， ( ) = | 2 +1| ≥ 2 7
3 2
2 2 , ≤ 0
4
2 , 0 < <
3
综上所述： ( ) = 4 14 .
2 , ≤ < 12 分 3 3
2 7 14
{ , > 3绝密★考试结束前
衢温“5+1”联盟2021学年第一学期高二年级期中联考
数 学 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
选择题部分
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，若，则= （ ）
A. B. C. D.
3.若经过，两点的直线的倾斜角为，则等于（ ）
A. B. C. D.
4.已知是两条不同的直线，为两个不同平面，则下面四个命题中，正确的命题是（ ）
A.若则 B.若则
C.若则 D.若则
5.“直线与直线垂直”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知函数，为了得到函数的图像只需将的图像（ ）
A.向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C.向左平移个单位 D. 向右平移个单位
7.已知在正四棱锥中， ，，侧棱与底面所成角为，侧面与底面所成角为，二面角的平面角为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．=0 D．
8.在坐标平面上有一运动着的梯形，, ，，，
该梯形在运动过程中始终满足，则原点到直线的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量,,下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量
10.甲袋中有5个红球15个白球，乙袋中有5个红球5个白球，从两袋中各摸出一个球.下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为 B．2个球不都是红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为 D．2个球中恰有1个红球的概率为
11.下列四个选项中的多边形均为正多边形，为椭圆的两个焦点，椭圆与正多边形的交点为正多边形各边中点.则离心率大于的椭圆有（ ）
A. B. C. D.
12.如图，在菱形中，，,为的中点，将沿翻折成，
接和，为的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是 （ ）
与的夹角为定值
三棱锥体积最大值为
线段的轨迹是圆锥的侧面
非选择题部分
三、填空题:本大题共4小题，每题5分，共20分.
13.已知双曲线:,则双曲线的离心率为 .
14.已知函数为偶函数，则的值为 .
15.已知抛物线C：,为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆始终与直线相切，则圆过定点 .
16.已知椭圆的方程为，椭圆上存在一点P使得，则实数的最大值为 .
四、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步诹.
17.（本题满分10分）在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小;
（2）求的取值范围.
18.（本题满分12分）已知圆的圆心坐标为，且点在圆上.
（1）求圆的标准方程;
（2）若直线与圆相交于两点，当变化时，线段的最小值为6，求的值.
19.（本题满分12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取若干居民进行评分（满分为分），根据调查数据制成如下频率分布直方图，已知评分在的居民有人.
（1）求频率分布直方图中的值及所调查的总人数;
（2）从频率分布直方图中，估计本次评测分数的众数、中位数和平均数（精确到）.
20.（本题满分12分）如图，在三棱柱中，点在平面内的射影为线段的中点，，,.
（1）证明：平面;
（2）求直线与平面的所成角的正弦值.
21.（本题满分12分）已知点是抛物线C：的焦点, 为坐标原点，过点 的直线交抛物线与 两点.
（1）求抛物线的方程;
（2）求的值;
（3）如图，过点的直线交抛物线于两点(点在轴的同侧，)，且， 直线与直线的交点为， ，，求的取值范围.
22.（本题满分12分）已知函数
（1）求函数的值域与单调区间（不需要证明）;
（2）存在正实数满足且，求的取值范围；
（3）若，函数，求的最小值.
