1.3三角函数的诱导公式课件（1）-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（38张PPT）

1.3三角函数的诱导公式(1)
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2.理解诱导公式的推导过程．
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
本节目标
课前预习
(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式的内容是什么？
(3)诱导公式一～四有哪些结构特征？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　)
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；
④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.
A．1 B．2 C．3 D．4
C
√
×
√
×
√
2．tan ?????????????等于(　　)
A．－ ???????? B. ????????
C．－????? D. ????
?
tan ??????????????＝tan ?2????+2?????????＝tan 2????????
＝tan ??????????????＝－tan ?????????＝－????
?
C
3．已知tan α＝3，则tan(π＋α)＝________.
tan(π＋α)＝tan α＝3
3
4．求值：
(1)sin 2?????????＝________.
(2)cos ?7????6?＝________.
?
sin 2???????? =sin?????????3
?
= sin????3
?
= 32
?
32
?
cos ?7????6?＝ cos7????6
?
=cos????+????6
?
=?cos????6
?
= ?32
?
?32
?
新知探究
1．公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于______对称．如图所示．
原点
sin(π＋α)＝________，
cos(π＋α)＝________，
tan(π＋α)＝________.
－sinα
－cosα
tanα
(2)公式
2．公式三
(1)角－α与角α的终边关于____轴对称．如图所示．
x
sin(－α)＝________，
cos(－α)＝________，
tan(－α)＝_________.
(2)公式
－sinα
cosα
－tanα
3．公式四
(1)角π－α与角α的终边关于____轴对称．如图所示．
y
sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝________，
tan(π－α)＝_________.
(2)公式
sinα
－cosα
－tanα
(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？
(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？
提示
(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋?????????，k∈Z.
(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．
?
思考
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　给角求值问题
[例1]　求下列各三角函数值
(1)sin 1320°； (2)cos ??????????????????； (3)tan(－945°)．
?
[例1]　求下列各三角函数值
(1) sin 1320°
法一：sin 1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.
?
法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32.
?
[例1]　求下列各三角函数值
(2) cos ?????????????????
?
cos ??????????????????＝cos ????????????????＝cos ????????+7????6?＝cos ????+????6?＝－cos ????6?＝－ 32
?
法一
cos ??????????????????＝cos?6????+5????6＝cos ?????????6?＝－cos ????6?＝－ 32
?
法二
[例1]　求下列各三角函数值
(3) tan(－945°)
tan(－945°)＝－tan945°
＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°
＝－tan(180°＋45°)
＝－tan 45°＝－1.
?1?“负化正”——用公式一或三来转化；
?2?“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；
?3?“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；
?4?“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.
利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
方法总结
跟踪训练
1．计算：(1) cos????5?＋cos2????5?＋cos 3????5?＋cos4????5?；
?
原式＝ (cos????5＋cos4????5)＋(cos2????5＋cos3????5)
＝ [cos????5＋cos(?????????5)] ＋ [cos2????5＋cos(?????2????5)]
＝ (cos????5?cos????5)＋ (cos2????5?cos2????5)
＝0
?
跟踪训练
1．计算： (2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．
原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°
＝0
题型二　给值(式)求值问题
[例2]　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于(　　)
A. ?????????????????? B. ????????+????????
C. ????????????????? D．－ ????????+????????
?
sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sin αcos α＝ ????????????????+??????????????????????????????＝ ?????????????????
?
sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sin α＋cos α＝m
A
(2)已知cos(α－75°)＝－13?，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
?
∵cos(α－75°)＝－13?＜0，且α为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－???????????????????????????????????＝－?????(?13)?????＝－?????????????，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝ ????????????.
?
多维探究
变式1 已知cos(α－75°)＝－13?，且α为第四象限角，求cos(255°－α)的值．
?
cos(255°－α) ＝ cos[180° －(α－75°)]
＝ －cos (α－75°)
＝13?
?
变式2 已知tan(α－75°)＝－5，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．
?
由
因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，
所以α－75°是第四象限角．
??????????????????????????????+??????????????????????????????=????
?
????????????????????????????????????????????????????=?????
?
??????????????????????????=?????????????????????
?
??????????????????????????= ????????????????
?
解得
??????????????????????????=????????????????????
?
??????????????????????????=? ????????????????
?
或
(舍)
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝ ????????????????????.
?
?2?转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.
解决条件求值问题的两技巧
?1?寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.
方法总结
题型三　利用诱导公式化简问题
1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
[探究问题]
提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．
当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；
当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？
提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tan α可知tan(kπ＋α)＝tan α.(其中k∈Z)
[探究问题]
[例3]　设k为整数，化简： ???????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????+????????????????????????+????.
?
当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则
原式＝ ????????????2?????????????????????????2??????????????????????????????2????+????????+????????????????2????????+?????＝ ?????????????????????????????(????+????)????????????(????+????)?????????????????
＝ (?????????????????)(?????????????????)??????????????????????????????????＝－1；
?
法一：(分类讨论)
当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.
[例3]　设k为整数，化简： ???????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????+????????????????????????+????.
?
由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，
sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．
所以原式＝ ?????????????????????+????[?????????????????????+????]?????????????????????+????????????????????????+?????＝－1.
?
法二：(配角法)
?1?合理转化：
①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
三角函数式化简的常用方法
?2?切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
提醒：注意分类讨论思想的应用.
方法总结
跟踪训练
2．化简：(1)???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????；
?
原式＝ ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
＝ ????????????????·????????????????·?????????????????????????????????·?????????????????
＝－tan α
?
跟踪训练
2．化简：(2) ?????????????????????????????+??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.
?
原式＝ ????????????????×36?????+?????????????????3×36???????????????????????????????????+?????[?????????????????+?????????????]
?
＝ ????????????????·?????????????????(?????????????????)?????????????????
?
＝ co?????????????????????????
?
＝ ?1
?
随堂检测
1．思考辨析
(1)公式二～四对任意角α都成立．(　　)
(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．(　　)
(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．(　　)
×
×
√
2．已知sin(π＋α)＝ ?????????，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　)
A. 4????? B．－4????? C．± 4????? D. 3?????
?
cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－4????
?
B
sin(π＋α)＝－sin α＝ ?????????
?
sin α＝－ ????????
?
α是第四象限角
cos α＝ 4?????
?
3. ???????????????????????????????????????????????????+??????????????????????????的值等于________．
?
原式＝ cos360?+225?sin(360?+135?)?sin360?+210?
?
＝ cos180?+45?sin(180??45?)?sin180?+30?
?
＝ ?cos45?sin45??(?sin30?)
?
＝ ?????????????????+????????
?
＝?????????
?
?????????
?
4．化简
(2) ????????????????????+??????????????????????+?????????????????????????????????????.
?
(1) ?????????????????????????+?????????????????????????????????????????????????????；
?
原式＝ sin180?+?????cos????tan????
＝ ?sin?????cos????tan?????
＝－cos2α
?
原式＝????????????????(?????????????????)????????????????????????????????
＝?????????????????
?
诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
本课小结
利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
0-2π角的三角函数
锐角的三角函数
用公式三或一
用公式一
用公式二或四