1.2.2同角三角函数的基本关系课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（43张PPT）

1.2.2同角三角函数的基本关系
1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式．
2.理解同角三角函数的基本关系式．
3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
本节目标
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种？
(2)已知sin α，cos α和tan α其中的一个值，如何求其余两个值？
课前小测
1．化简?????????????????????????????????的结果是(　　)
A．cos ????????????? B．sin ????????????
C．－cos ???????????? D．－sin ????????????
?
因为????????????是第二象限角，所以cos ?????????????＜0，
所以??????????????????????????????????＝ ?????????????????????????????＝| cos ?????????????|＝－cos ????????????.
?
C
2．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是(　　)
A．tan α＝－????????????????????????????????
B．cos α＝－ ?????????????????????????
C．sin α＝－ ?????cos????????
D．tan α＝ cos????sin????
?
B
当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0
3．若cos α＝35?，且α为第四象限角，则tan α＝_____.
?
所以sin α＝－ ?????cos?????????＝－ ?????(35)?????＝－45?，
?
因为α为第四象限角，且cos α＝ 35?，
?
所以tan α＝ ?????????????????????????????????＝－43.
?
－43
?
新知探究
sin2α＋cos2α＝_______.
1．平方关系
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于______.
1
公式
语言叙述
1
2．商数关系
公式
????????????????????????????????＝________
?
语言叙述
同一个角α的正弦、余弦的商等于__________．
角α的正切
tan α
思考：对任意的角α，sin22α＋cos22α＝1是否成立？
提示：成立．平方关系中强调的同一个角且是任意的，与角的表达形式无关．
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　直接应用同角三角函数关系求值
[例1]　(1)已知α∈ ????,?????????????，tan α＝2，则cos α＝________.
?
????????????????????????????????＝2
?
sin2α＋cos2α＝1
cos α＝－ ????????
?
4cos2α＋cos2α＝1
cos2α＝ 15
?
α∈????,????????????
?
cos α＜0
－ ????????
?
[例1]　(2)已知cos α＝－817?，求sin α，tan α的值．
?
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－ ?????cos?????????＝－ 1517?，tan α＝158.
?
∵cos α＝－817?＜0，
?
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝ ?????cos?????????＝ ?????(－817)?????＝ 1517?，
?
tan α＝ ?????????????????????????????????＝ 1517－817?＝－158.
?
?2?若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法
?1? 已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.
易错提醒：应用平方关系求三角函数值时，要注意有关角终边位置的判断，确定所求值的符号.
方法总结
跟踪训练
1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，即10cos2α＝1，∴cos α＝±1010.
?
又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010?，sin α＝31010?；
当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010?，sin α＝－31010.
?
题型二　灵活应用同角三角函数关系式求值
[例2]　(1)已知sin α＋cos α＝713?，α∈(0，π)，则tan α＝________.
?
思路点拨
求sinαcosα
求sinα-cosα
求sinα和cosα
求tanα
法一：
法二：
求sinαcosα
弦化切构造关于tanα的方程
求tanα
题型二　灵活应用同角三角函数关系式求值
[例2]　(1)已知sin α＋cos α＝713?，α∈(0，π)，则tan α＝________.
?
因为sin α＋cos α＝ 713?，①
所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝ 49169?，即2sin αcos α＝－ 120169.
因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.
所以sin α－cos α＝?????????????????????????????????????＝ ??????????????????????????????????????????＝ 1713.②
?
由①②解得sin α＝ 1213?，cos α＝－ 513?，
所以tan α＝ ?????????????????????????????????＝－125.
?
法一构建方程组
－125
?
题型二　灵活应用同角三角函数关系式求值
[例2]　(1)已知sin α＋cos α＝713?，α∈(0，π)，则tan α＝________.
?
法二弦化切
－125
?
同法一求出sin αcos α＝－ 60169?， ????????????????????????????????sin2????＋cos2?????＝－ 60169?，
????????????????tan2????＋1?＝－ 60169?，整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，
解得tan α＝－512或tan α＝－ 125.
?
由sin α＋cos α＝713?＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－ 125.
?
[例2]　(2)已知????????????????+???????????????????????????????????????????????????＝2，计算下列各式的值．
?
① 3?????????????????????????????????2????????????????+3cos??????；
?
由????????????????+???????????????????????????????????????????????????＝2化简，得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.
?
法二(弦化切) 原式＝ 3?????????????????12????????????????+3?＝ 3×3?12×3+3?＝ 89.
?
法一(换元) 原式＝ 3×3?????????????????????????????????2×3????????????????+3cos??????＝ 8????????????????9?????????????????＝ 89.
?
[例2]　(2)已知????????????????+???????????????????????????????????????????????????＝2，计算下列各式的值．
?
②sin2α－2sin αcos α＋1.
原式＝ ????????????????????－2????????????????cos????????????????????????+?????????????????????＋1
＝ ta????2????－2tan????????????????2????+1?＋1
＝ 32－2×332+1?＋1
＝ 1310
?
多维探究
变式1 已知sin α＋cos α＝713?，α∈(-π，0)，则tan α＝________.
?
由例2(1)求出2sin αcos α＝－120169?，
因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，
所以sin α－cos α＝－?????????????????????????????????????＝－ ??????????????????????????????????????????＝－1713.
?
与sin α＋cos α＝713联立解得sin α＝－513?，cos α＝ 1213?，
所以tan α＝ ?????????????????????????????????＝－512.
?
－512
?
变式2 已知sin αcos α＝－18?，α∈(0，π)，则cosα－sinα＝_____.
?
因为sin αcos α＝－18?＜0，所以α∈ (π2，π) ，所以cos α－sin α＜0，
?
cos α－sin α＝－??????????????????????????????????????????＝－?????????×(－18)?＝－ ????????.
?
－ ????????
?
1．sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，
它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
技法点拨
解决这类问题需注意以下两点：
(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；
(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
2．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
技法点拨
解决这类问题需注意以下两点：
(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；
(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．
已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值
提醒：求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意根据角的终边位置，利用三角函数线判断它们的符号．
技法点拨
题型三　应用同角三角函数关系式化简
[例3]　(1)化简???????????????????????????????????????????????????????????＝________.
?
原式＝ 2sin2?????11?2(1?sin2????)?
＝ 2sin2?????12sin2?????1?
＝1
?
1
[例3]　 (2)化简???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????. (其中α是第三象限角)
?
原式＝ ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????
?
＝ ????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????
?
＝ ????????????????????????????????????????????????????????????2?????????????????2????
?
＝ ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
＝ ?1
?
?3?对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
三角函数式化简的常用方法
?1?化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
?2?对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
易错提醒：在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象.
技法点拨
跟踪训练
2．化简tan α ??????????????????????????????，其中α是第二象限角．
?
因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0.
故tan α ??????????????????????????????＝tan α ??????????????????????????????????????????????＝tan α cos?????????????????????????????
＝ sin????cos????·|cos????sin????|＝ sin????cos?????· ?cos????sin?????＝－1.
?
题型四　应用同角三角函数关系式证明
1．证明三角恒等式常用哪些方法？
[探究问题]
提示：
(1)从右证到左．
(2)从左证到右．
(3)证明左右归一．
(4)变更命题法．如：欲证明????????=?????????，则可证MQ＝NP，或证????????=????????等．
?
2．在证明????+????????????????+????????????????+????????????????????????????????????????+????????????????+?????????????????＝sin α＋cos α时如何巧用“1”的代换．
?
提示：在求证????+????????????????+????????????????+????????????????????????????????????????+????????????????+?????????????????＝sin α＋cos α时，观察等式左边有2sin αcos α，它和1相加应该想到“1”的代换，即1＝sin2α＋cos2α，
?
所以等式左边＝ (????????????2????+????????????2????+????????????????????????????????????)+????????????????+????????????????????+????????????????+????????????????
＝ ????????????????+????????????????2+????????????????+????????????????????+????????????????+????????????????＝ ????????????????+????????????????(1+????????????????+????????????????)????+????????????????+????????????????
＝sin α＋cos α＝右边．
?
[例4]　求证： tan????sin????tan?????sin?????＝ tan????+sin????tan????sin????.
?
左边＝ sin2????sin?????sin????cos??????＝ sin????1?cos?????，
右边＝ sin????+sin????cos????sin2?????＝ 1+cos????sin????.
因为sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)，
所以sin????1?cos?????＝ 1+cos????sin?????，所以左边＝右边．
所以原等式成立．
?
法一：(切化弦)
[例4]　求证： tan????sin????tan?????sin?????＝ tan????+sin????tan????sin????.
?
法二：(由右至左)
因为右边＝ tan2?????sin2????(tan?????sin????)tan????sin????
＝ tan2?????tan2????cos2????(tan?????sin????)tan????sin????
＝ tan2????(1?cos2????)(tan?????sin????)tan????sin????
＝ tan2????sin2????(tan?????sin????)tan????sin?????＝ tan????sin????tan?????sin????＝左边，
所以原等式成立．
?
朝目标奔．常用的技巧有：
(1)巧用“1”的代换；
(2)化切为弦；
(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．
1．证明恒等式常用的思路
(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；
(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；
(3)比较法(作差，作比法)．
2．技巧感悟
提醒：解决此类问题要有整体代换思想．
方法技巧
跟踪训练
3．求证：(1) sin?????cos????+1sin????+cos?????1?＝ 1+sin????cos?????；
?
左边＝ (sin?????cos????+1)(sin????+cos????+1)(sin????+cos?????1)(sin????+cos????+1)
＝ sin????+12?cos2????(sin????+cos????)2?1
?
＝ sin2????+2sin????+1?(1?sin2????)sin2????+cos2????+2sin????cos?????1
?
＝ 2sin2????+2sin????1+2sin????cos?????1
?
＝ 2sin????(sin????+1)2sin????cos????
?
＝ sin????+1cos????
?
所以原等式成立．
＝右边
3．求证：(2) 2(sin6 θ＋cos6 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1＝0.
左边＝2[(sin2 θ)3＋(cos2 θ)3]－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝2(sin2 θ＋cos2 θ)(sin4 θ－sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)－3(sin4 θ＋cos4 θ)＋1
＝(2sin4 θ－2sin2 θcos2 θ＋2cos4 θ)－(3sin4 θ＋3cos4 θ)＋1
＝－(sin4 θ＋2sin2 θcos2 θ＋cos4 θ)＋1
＝－(sin2 θ＋cos2 θ)2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立．
随堂检测
(2)因为sin294π＋cos2 π4 ＝1，所以sin2α＋cos2β＝1成立，其中α，β为任意角．(　　)
?
1．思考辨析
(1)对任意角α， ????????????????????????????????????????=????????????????????都成立．(　　)
?
(3)对任意角α，sin α＝cos α·tan α都成立．(　　)
×
×
×
2．已知tan α＝－1?????，则2sin????cos????sin2?????cos2?????的值是(　　)
A. 43? B．3 C．－43? D．－3
?
2sin????cos????sin2?????cos2????? = 2tan????tan2?????1
?
= 2×(?1????)?1????2?1
?
= 43
?
A
3．已知α是第二象限角，tan α＝－1?????，则cos α＝________.
?
因为sin????cos?????＝－1?????，且sin2α＋cos2α＝1，
又因为α是第二象限角，
所以cos α＜0，
所以cos α＝－????????????.
?
?????????????
?
4．(1)化简??????????????????????????????????????????，其中α是第二象限角．
?
因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，
所以sin αcos α＜0，
所以??????????????????????????????????????????＝ ????????????????????(1?sin2????)
＝ ????????????????????cos2????)
＝－sin αcos α.
?
4． (2)求证：1＋tan2α＝ ????????????????????????.
?
1＋tan2α＝1＋????in?????????????????????????????
＝ ????????????????????+????in??????????????????????????????
＝ ????????????????????????
?
本课小结