1.2.1任意角的三角函数课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（39张PPT）
文档属性
| 名称 | 1.2.1任意角的三角函数课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（39张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 12:48:35 | ||
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文档简介
1.2.1任意角的三角函数
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用．
本节目标
课前预习
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(4)诱导公式一是什么？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．sin(－315°)的值是( )
A．－????????? B．－ 1????? C. ????????? D. 1????
?
C
sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝ ?????????
?
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B
3．sin 253?π＝________.
?
sin 253?π＝sin(8π+ π3?)＝sin π3?＝ 3?????
?
3?????
?
4．角α终边与单位圆相交于点M ????????,?????????，则cos α＋sin α的值为________．
?
故cos α＋sin α＝ ????+1?????
?
cos α＝x＝ ????????
?
sin α＝y＝ ????????
?
????+1?????
?
新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以________为半径的圆为单位圆．
单位长度
x
y
O
1
2．任意角的三角函数的定义
条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与_________交于点P(x，y)，
单位圆
2．任意角的三角函数的定义
结论
①y叫做α的______函数，记作_______，即sin α＝y；
②x叫做α的______函数，记作_______，即cos α＝x；
③ ????????叫做α的______，记作_______，即tan α＝ ????????(x≠0)．
?
正弦
sin α
余弦
cos α
正切
tan α
2．任意角的三角函数的定义
总结
?????????＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
?
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
????∈????|????≠????????+????????,????∈????
?
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝ ?????????，cos α＝ ?????????，tan α＝ ????????(x≠0)．
?
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
[例1] (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ 1010?x，则sin θ＋tan θ的值为_____________．
?
因为r＝ ????????+?????，cos θ＝?????????，所以1010?x＝ ????????????+????.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝10.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝ 31010?，tan θ＝3，
则sin θ＋tan θ＝ 310+3010.
?
当θ为第二象限角时，sin θ＝ 31010?，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝ 310?3010.
?
310+3010或310?3010
?
(2)已知角α的终边落在直线3?x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
?
直线3x＋y＝0，即y＝－3?x，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点(－1，????)，则r＝?????????+?????????＝2，所以sin α＝32?，cos α＝－12?，tan α＝－3?；
?
在第四象限取直线上的点(1，－????)，则r＝ 1????+－?????????＝2，
所以sin α＝－32?，cos α＝12?，tan α＝－3.
?
多维探究
变式1 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
由r＝|OP|＝ 1????+2?????＝5?，
得sin α＝ ?????????＝ 255?，cos α＝ ?????????＝ 55?，tan α＝ 21?＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝ (?1)????+(?2)?????＝ 5?，得：
sin α＝ ??????????＝－ 255?，cos α＝ ??????????＝－ 55?，tan α＝ ?2?1?＝2.
?
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求2sin α+cos α的值．
因为r＝ ?????????????+?????????????＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝ ?????????＝ 4????5?????＝ 45?，cos α＝ ?????????＝ ?3????5?????＝－35?，
所以2sin α＋cos α＝ 85?－ 35?＝1.
?
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝ 4?????5?????＝－45?，cos α＝ ?3?????5?????＝ 35?，
所以2sin α＋cos α＝－85?＋35?＝－1.
?
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝?????????，cos α＝ ????????.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
?
归纳总结
题型二 三角函数值符号的运用
[例2] (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
tan α>0
cos α<0
①sin 145°cos(－210°)
∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
∵ ?????????＜3＜π，π＜4＜ ?????????????，
?????????????＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
?
(2)判断下列各式的符号
②sin 3·cos 4·tan 5
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
解题策略
跟踪训练
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上
3a－9≤0
a＋2>0
－2＜a≤3
－2＜a≤3
2．设角α是第三象限角，且?????????????????????＝－sin?????????，则角????????是第________象限角．
?
角α是第三象限角
角????????是第二、四象限角
?
?????????????????????＝－sin?????????
?
角????????是第四象限角
?
四
题型三 诱导公式一的应用
[例3] 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋ ?????????
＝ ????????
?
题型三 诱导公式一的应用
[例3] 求值：(2)sin?????????????cos(－23????6)＋tan (－15????4) cos 13????????.
?
原式＝sin????????+?????????cos?4????+????6?＋tan?4????+????4?·cos4????+????3
＝sin ?????????cos ????6?＋tan ????4?cos ????3
＝????????×?????????＋1×12
＝ 54
?
?3?求值
若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
?1?定形
将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π?，k∈Z.
?2?转化
根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
归纳总结
跟踪训练
3．化简下列各式：
(1) a2sin(－1350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1080°)；
原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab
＝(a－b)2
跟踪训练
3．化简下列各式
(2)sin ?11????6?＋cos125?π·tan 4π.
?
sin?11????6?＋cos125?π·tan 4π
＝sin ?2????+????6?＋cos 25?π·tan 0
＝sin ????6?＋0
＝ 12
?
随堂检测
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝?????????，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0 ．( )
?
×
×
y变化时，sin α为定值
√
×
不存在
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C. ???????? D．－????????
?
tan α＝?11 ＝－1
?
B
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝?????????，则sin β＝________.
?
设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝ ?????????，所以sin β＝－y＝－????????.
?
－????????
?
4．求值：(1) sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2) cos ?????????????????＋tan(?15????4).
?
(2)cos ?????????????????＋tan (?15????4)
＝cos (8????+????3) ＋tan (?4????+????4)
＝cos????3＋tan????4?＝ 12?＋1＝ 32
?
(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
本课小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用．
本节目标
课前预习
(1)任意角的三角函数的定义是什么？
(2)三角函数值的大小与其终边上的点P的位置是否有关？
(3)如何判断三角函数值在各象限内的符号？
(4)诱导公式一是什么？
预习课本，思考并完成以下问题
课前小测
1．sin(－315°)的值是( )
A．－????????? B．－ 1????? C. ????????? D. 1????
?
C
sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝ ?????????
?
2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
B
3．sin 253?π＝________.
?
sin 253?π＝sin(8π+ π3?)＝sin π3?＝ 3?????
?
3?????
?
4．角α终边与单位圆相交于点M ????????,?????????，则cos α＋sin α的值为________．
?
故cos α＋sin α＝ ????+1?????
?
cos α＝x＝ ????????
?
sin α＝y＝ ????????
?
????+1?????
?
新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以________为半径的圆为单位圆．
单位长度
x
y
O
1
2．任意角的三角函数的定义
条件
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R，它的终边与_________交于点P(x，y)，
单位圆
2．任意角的三角函数的定义
结论
①y叫做α的______函数，记作_______，即sin α＝y；
②x叫做α的______函数，记作_______，即cos α＝x；
③ ????????叫做α的______，记作_______，即tan α＝ ????????(x≠0)．
?
正弦
sin α
余弦
cos α
正切
tan α
2．任意角的三角函数的定义
总结
?????????＝tan α(x≠0)是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
?
正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数．
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
R
R
????∈????|????≠????????+????????,????∈????
?
4. 正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
图示
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
5．公式一
sin α
cos α
tan α
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？
提示：sin α＝ ?????????，cos α＝ ?????????，tan α＝ ????????(x≠0)．
?
题型一 三角函数的定义及应用
[探究问题]
2．sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P点在终边上的位置的改变而改变．
[例1] (1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ 1010?x，则sin θ＋tan θ的值为_____________．
?
因为r＝ ????????+?????，cos θ＝?????????，所以1010?x＝ ????????????+????.
又x≠0，所以x＝±1，所以r＝10.
又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．
当θ为第一象限角时，sin θ＝ 31010?，tan θ＝3，
则sin θ＋tan θ＝ 310+3010.
?
当θ为第二象限角时，sin θ＝ 31010?，tan θ＝－3，
则sin θ＋tan θ＝ 310?3010.
?
310+3010或310?3010
?
(2)已知角α的终边落在直线3?x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．
?
直线3x＋y＝0，即y＝－3?x，经过第二、四象限，
在第二象限取直线上的点(－1，????)，则r＝?????????+?????????＝2，所以sin α＝32?，cos α＝－12?，tan α＝－3?；
?
在第四象限取直线上的点(1，－????)，则r＝ 1????+－?????????＝2，
所以sin α＝－32?，cos α＝12?，tan α＝－3.
?
多维探究
变式1 已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P(1,2)，
由r＝|OP|＝ 1????+2?????＝5?，
得sin α＝ ?????????＝ 255?，cos α＝ ?????????＝ 55?，tan α＝ 21?＝2.
当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q(－1，－2)，
由r＝|OQ|＝ (?1)????+(?2)?????＝ 5?，得：
sin α＝ ??????????＝－ 255?，cos α＝ ??????????＝－ 55?，tan α＝ ?2?1?＝2.
?
(2)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0) ，求2sin α+cos α的值．
因为r＝ ?????????????+?????????????＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝ ?????????＝ 4????5?????＝ 45?，cos α＝ ?????????＝ ?3????5?????＝－35?，
所以2sin α＋cos α＝ 85?－ 35?＝1.
?
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝ 4?????5?????＝－45?，cos α＝ ?3?????5?????＝ 35?，
所以2sin α＋cos α＝－85?＋35?＝－1.
?
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤
(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝?????????，cos α＝ ????????.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．
?
归纳总结
题型二 三角函数值符号的运用
[例2] (1)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
C
tan α>0
cos α<0
①sin 145°cos(－210°)
∵145°是第二象限角，
∴sin 145°＞0，
∵－210°＝－360°＋150°，
∴－210°是第二象限角，
∴cos(－210°)＜0，
∴sin 145°cos(－210°)＜0.
∵ ?????????＜3＜π，π＜4＜ ?????????????，
?????????????＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
?
(2)判断下列各式的符号
②sin 3·cos 4·tan 5
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号.
判断三角函数值在各象限符号的攻略
?1?基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
?2?关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
?3?注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.
解题策略
跟踪训练
1．已知角α的终边过点(3a－9，a＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是________．
角α的终边在第二象限或y轴非负半轴上
3a－9≤0
a＋2>0
－2＜a≤3
－2＜a≤3
2．设角α是第三象限角，且?????????????????????＝－sin?????????，则角????????是第________象限角．
?
角α是第三象限角
角????????是第二、四象限角
?
?????????????????????＝－sin?????????
?
角????????是第四象限角
?
四
题型三 诱导公式一的应用
[例3] 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°
＝1－1＋ ?????????
＝ ????????
?
题型三 诱导公式一的应用
[例3] 求值：(2)sin?????????????cos(－23????6)＋tan (－15????4) cos 13????????.
?
原式＝sin????????+?????????cos?4????+????6?＋tan?4????+????4?·cos4????+????3
＝sin ?????????cos ????6?＋tan ????4?cos ????3
＝????????×?????????＋1×12
＝ 54
?
?3?求值
若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.
利用诱导公式一进行化简求值的步骤
?1?定形
将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π?，k∈Z.
?2?转化
根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.
归纳总结
跟踪训练
3．化简下列各式：
(1) a2sin(－1350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1080°)；
原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab
＝(a－b)2
跟踪训练
3．化简下列各式
(2)sin ?11????6?＋cos125?π·tan 4π.
?
sin?11????6?＋cos125?π·tan 4π
＝sin ?2????+????6?＋cos 25?π·tan 0
＝sin ????6?＋0
＝ 12
?
随堂检测
1．思考辨析
(1)sin α表示sin与α的乘积．( )
(2)设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝?????????，且y越大，sin α的值越大．( )
(3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( )
(4)终边落在y轴上的角的正切函数值为0 ．( )
?
×
×
y变化时，sin α为定值
√
×
不存在
2．已知角α终边过点P(1，－1)，则tan α的值为( )
A．1 B．－1
C. ???????? D．－????????
?
tan α＝?11 ＝－1
?
B
3．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称，若sin α＝?????????，则sin β＝________.
?
设角α的终边与单位圆相交于点P(x，y)，
则角β的终边与单位圆相交于点Q(x，－y)，
由题意知y＝sin α＝ ?????????，所以sin β＝－y＝－????????.
?
－????????
?
4．求值：(1) sin 180°＋cos 90°＋tan 0°.
(2) cos ?????????????????＋tan(?15????4).
?
(2)cos ?????????????????＋tan (?15????4)
＝cos (8????+????3) ＋tan (?4????+????4)
＝cos????3＋tan????4?＝ 12?＋1＝ 32
?
(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0
2．诱导公式一指的是终边相同角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，记忆时可结合三角函数定义进行记忆．
本课小结
1．三角函数的定义的学习是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点无关这一关键点．
3．三角函数值在各象限的符号主要涉及开方，去绝对值计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上正弦、余弦的符号问题．