1.3三角函数的诱导公式课件（2）--2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修4（35张PPT）

1.3 诱导公式(2)
1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题．
2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力．
本节目标
课前预习
预习课本，思考并完成以下问题
(1) ?????????－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2) 诱导公式五、六有哪些结构特征？
?
课前小测
1．下列与sin θ的值相等的是(　　)
A．sin(π＋θ) B．sin ?????????????
C．cos ????????????? D．cos ????????+????
?
C
sin(π＋θ)＝－sin θ；sin ??????????????＝cos θ；
cos ??????????????＝sin θ；cos ????????+?????＝－sin θ.
?
2．已知sin 19°55′＝m，则cos(－70°5′)＝________.
cos(－70°5′)＝cos 70°5′
＝cos(90°－19°55′)
＝sin 19°55′
＝m.
m
3．计算：sin211°＋sin279°＝________.
原式＝sin211°＋cos211°＝1
11°＋79°＝90°
sin 79°＝cos 11°
1
4．化简sin(???????????? +α)＝________.
?
sin(???????????? +α) = sin(????+???????? +α)
?
= －sin(???????? +α)
?
= －cos α
－cos α
新知探究
1．公式五
(1)角????????－α与角α的终边关于_________对称，如图所示．
?
直线y＝x
sin(????????－α)＝_______，
cos (????????－α) ＝_______.
?
cosα
sinα
(2)公式
2．公式六
(1)公式五与公式六中角的联系????????＋α＝___________.
?
π－(???????? － α)
?
(2)公式
sin(????????＋α)＝__________，
cos( ????????＋α)＝__________.
?
cosα
－sinα
思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
提示：
sin (????????＋α) ＝sin[π－(???????? － α)]
＝sin (???????? － α)＝cos α.
cos (????????＋α) ＝cos[π－(???????? － α)]
＝－cos (???????? － α) ＝－sin α.
?
题型突破
典例深度剖析 重点多维探究
题型一　利用诱导公式化简求值
[例1]　(1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是(　　)
A. ?????????????????? B. ?????????????
C．－????????????????? D．－?????????????
?
sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)＝－cos 31°·(－tan 31°)＝sin 31°
＝ ???????????????????????????????＝ ?????????????
?
B
(2)已知sin(????3－α)＝12?，则cos (????6+α)的值为________．
?
cos (????6+α)
＝cos [???????? －(????3－α)]
＝sin (????3－α)
＝ 12
?
12
?
多维探究
变式1 已知sin(????3+α)＝12?，则cos (5????6+α)的值为______．
?
cos (5????6+α)
?
＝cos (????2 + ????3+α)
?
＝ －sin (????3+α)
?
＝ －12
?
－12
?
变式2 已知sin(????3－α)＝12?，α是第二象限角，求sin (7????6+α)的值．
?
因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，
又sin (????3－α)＝ 12?，所以????3?－α是第二象限角，
所以cos (????3－α) ＝－ ?????????，
所以sin (7????6+α) ＝sin (????+????6+α) ＝－sin(????6+????)＝－cos (????3－α) ＝ ?????????
?
注意
?1?首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.
常见的互余关系有： ????3?－α与????6?+α， ????4?－α与????4?+α等.
常见的互补关系有： ????3?+????与2????3－????, ????4?+????与3????4－????等.
?
解决化简求值问题的策略
解题策略
?2?可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.
题型二 利用诱导公式证明恒等式
[例2]　(1)求证： ????????????????+?????????????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????+??????????????????????????????????????????+????.
(2)求证： ????????????????????+???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????????????????+????=?????????????????.
?
[例2]　(1)求证： ????????????????+?????????????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????+??????????????????????????????????????????+????.
?
右边= ??????????????????????????????????(?sin????)??????????????????????????????????
?
= ????????????????[????+(????2－????)]sin??????????????????????????????????????
?
= ?????????????????(????2－????)sin??????????????????????????????????????
?
= ?????????????????????sin?????????????????????????????+cos2??????????????????????????????
?
= ????????????????+????????????????2?????????????????????cos2????
?
= ????????????????+?????????????????????????????????????????????????
?
=左边
[例2]　 (2)求证： ????????????????????+???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????????????????+????=?????????????????.
?
左边= ??????????????????????????????????????????????????????????????????????+????????????????????????+????
?
= ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
?
=?????????????????
?
=右边
?1?遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则.
?2?常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法.
三角恒等式的证明的策略
解题策略
跟踪训练
1．求证： ????????????????????????+???????????????????????????????????????????????????????????＝－1.
?
左边= ????????????2????+????????+??????????????????????????????2?????????????????????
?
= ????????????????????+??????????????????????????????????????????????
?
= ?????in????????????????????????????????????
?
＝－1
=右边
题型三　诱导公式的综合应用
1．公式一～四和公式五～六的主要区别是什么？
[探究问题]
提示：
公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变．
题型三　诱导公式的综合应用
2．如何用一个口诀描述应用诱导公式化简三角函数式的过程？
[探究问题]
提示：
“奇变偶不变、符号看象限”
[例3]　已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+?????·tan2(π－α)的值．
?
方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35?，x2＝2，
因为－1≤sin α≤1，所以sin α＝－35.
又α是第三象限角，所以cos α＝－45?，tan α＝ sin?????cos??????＝ 34?，
所以????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????+?????·tan2(π－α) = ?????????????????????????????????????????????+????sin??????cos???????·tan2α
?
= cos?????(?sin?????)sin?????cos??????·tan2α
?
= ?tan2α
?
= ?916
?
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系.
诱导公式综合应用要“三看”
二看函数名称：一般是弦切互化.
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形.
技法点拨
跟踪训练
2．已知sin ???????????????·cos ?5??????????????＝ 60169?，且????4＜α＜?????????，求sin α与cos α的值．
?
sin ??????????????=?cos?????
?
cos ?5?????????????=cos 2????+????????+????=?sin?????
?
sin?????·cos?????＝ 60169
?
2sin?????·cos?????＝ 120169
?
①＋②得(sin α＋cos α)2＝ 289169?，
?
①
又∵sin2α＋cos2α＝1，②
又∵α∈(????4,????????)，∴sin α＞cos α＞0，
?
②－①得(sin α－cos α)2＝ 49169.
?
跟踪训练
2．已知sin ???????????????·cos ?5??????????????＝ 60169?，且????4＜α＜?????????，求sin α与cos α的值．
?
即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0，
∴sin α＋cos α＝ 1713?，③
sin α－cos α＝ 713?，④
(③＋④)÷2得sin α＝ 1213?，(③－④)÷2得cos α＝ 513.
?
随堂检测
(1)公式五和公式六中的角α一定是锐角．(　　)
(2)在△ABC中，sin ????+?????????＝cos ????2.(　　)
(3)sin????????+????＝sin?????????(?????)＝cos(－α)＝cos α.(　　)
?
1．思考辨析
×
√
√
任意角
????+????????+ ????2 = ????2
?
2．若sin ????????+?????<0，且cos ??????????????>0，则θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三角限角 D．第四象限角
?
sin????????+?????＝cos θ<0，cos ??????????????＝sin θ>0
所以角θ的终边落在第二象限
?
B
3．已知cos α＝15?，且α为第四象限角，那么cos ????+?????????＝________.
?
所以cos ????+?????????＝－sin α＝ ????????????.
?
????????????
?
因为cos α＝ 15?，且α为第四象限角，
?
所以sin α＝－ ??????????????????????????＝－ ?????????????，
?
4．化简： ?????????????????????????????????????????????+????????????????????+????????????????????????????????????????????????????????????????????????????.
?
原式＝ cos?????(－sin?????)－cos??????－ sin(?????)sin?????sin?????
＝sin α－(－sin α)
＝2sin α
?
本课小结
1．公式五反映了终边关于直线y＝x对称的角的正、余弦函数值之间的关系，其中角????????－α的正弦(余弦)函数值，等于角α的余弦(正弦)函数值．
?
2．由于?????????＋α＝π－(????????－α)，因此由公式四及公式五可以得到公式六．
?
3．利用诱导公式可在三角函数的变形过程中进行角的转化．在求任意角的过程中，一般先把负角转化为正角，正角转化为0～2π的范围内的角，再将这个范围内的角转化为锐角．也就是“负化正，大化小，化到锐角再查表(特殊角的三角函数值表)”．
本课小结