5.7三角函数的应用能力提升
一、单选题(共15题)
1.从高出海平面h米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°,看正南方向一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为( )
A.2h米 B.h米
C.h米 D.2h米
2.在中,若,则一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
3.如图所示,“伦敦眼(TheLondonEye)”坐落在英国伦敦泰晤士河畔,是世界上首座观景摩天轮,同时也是伦敦的地标.“伦敦眼”为庆祝新千年2000年而建造,因此又称“千禧摩天轮”.乘客可以乘坐“伦敦眼”升上半空,鸟瞰伦敦.“伦敦眼”共有32个乘坐舱,按旋转顺序依次为1~33号(因宗教忌讳,没有13号),并且每相邻两个乘坐舱与旋转中心所成的圆心角均相等.已知乘客在乘坐舱距离地面最近时进入,后距离地面的高度,“伦敦眼”的旋转半径为,最高点距地面,旋转一周大约,现有甲乘客乘坐号乘坐舱,当甲乘坐“伦敦眼”时,乙距离地面的高度为,则乙所乘坐的舱号为( )
A.或 B.或
C.或 D.或
4.将函数图象上的点向左平移() 个单位长度得到点,若位于函数的图象上,则( )
A.,的最小值为 B.,的最小值为
C.,的最小值为 D.,的最小值为
5.地面上有两座相距120 m的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为α,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为( )
A.50 m,100 m B.40 m,90 m
C.40 m,50 m D.30 m,40 m
6.已知函数与有两个公共点,则在下列函数中满足条件的周期最大的函数( )
A. B. C. D.
7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0,<φ<)的图象关于直线对称,它的最小正周期为π,则( )
A.f(x)的图象过点(0,) B.f(x)在上是减函数
C.f(x)的一个对称中心是 D.f(x)的一个对称中心是
8.已知命题p: x∈[-1,2],函数f(x)=x2-x的值大于0,若p∨q是真命题,则命题q可以是( )
A. x0∈(-1,1),cos x0<
B.“-3<m<0”是“函数f(x)=x+log2x+m在区间上有零点”的必要不充分条件
C.x=是曲线f(x)=sin 2x+cos 2x的一条对称轴
D.若x∈(0,2),则在曲线f(x)=ex(x-2)上任意一点处的切线的斜率不小于
9.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深值(单位:)记录表
时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00
水深值
已知港口的水的深度随时间变化符合函数,现有一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为,安全条例规定至少要有的安全间隙(船底与海底的距离),该船计划在中午点之后按规定驶入港口,并开始卸货,卸货时,其吃水深度以每小时的速度减小,小时卸完,则其在港口最多能停放( )
A.小时 B.小时 C.小时 D.小时
10.将函数的图象先向右平移()个单位长度,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的2倍,所得函数图象经过点,则的值为
A. B.
C. D.
11.水车在古代是进行灌溉引水的工具,亦称“水转筒车”,是一种以水流作动力,取水灌田的工具.据史料记载,水车发明于随而盛于唐,距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车,一个水斗从点出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时120秒.经过秒后,水斗旋转到点,设点的坐标为,其纵坐标满足,则下列叙述正确的是( )
A.
B.当时,函数单调递增
C.当,的最大值为
D.当时,
12.如图,在平面直角坐标系中,质点间隔3分钟先后从点,绕原点按逆时针方向作角速度为弧度/分钟的匀速圆周运动,则与的纵坐标之差第4次达到最大值时,运动的时间为
A.37.5分钟 B.40.5分钟 C.49.5分钟 D.52.5分钟
13.对于函数,在使成立的所有常数中,我们把的最大值称为函数的“下确界”.若函数,的“下确界”为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
14.如图所示,秒针尖的位置为,若初始位置为,当秒针从(此时)正常开始走时,那么点M的横坐标与时间t的函数关系为( )
A. B.
C. D.
15.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,既经济又环保,明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下,筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形(圆),筒车的半径为2m,筒车的轴心O到水面的距离为1m,筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定:盛水筒M对应的点P从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间,设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t(单位:s),且此时点P距离水面的高度为h(单位:m).若以筒车的轴心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系(如图2),则h与t的函数关系式为( )
A., B.,
C., D.,
二、填空题(共6题)
16.如果音叉发出的声波可以用函数描述,那么音叉声波的频率是___________.
17.已知某海浴场的海浪高度是时间(其中,单位:时)的函数,记作,下表是某日各时的浪高数据:
0 3 6 9 12 15 18 21 24
1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5
经长期观测,曲线可近似地看成是函数的图象,根据以上数据,函数的解析式为________.
18.振动量y=sin(ωx+φ)(ω>0)的初相和频率分别是-π和,则它的相位是________.
19.如图,在笔直的海岸线上有两个观测点和,点在点的正西方向,.若从点测得船在北偏东60°的方向,从点测得船在北偏东45°的方向,则船离海岸线的距离为______.(结果保留根号)
20.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为,秒针均匀地绕点O旋转,当时间时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离表示成的函数,则________,其中.
21.如图,摩天轮上一点在时刻距离地面高度满足,,已知某摩天轮的半径为米,点距地面的高度为米,摩天轮做匀速转动,每分钟转一圈,点的起始位置在摩天轮的最低点处.则(米)关于(分钟)的解析式为______
三、解答题(共4题)
22.如图为函数的一段图象.
(1)请写出这个函数的一个解析式;
(2)求与(1)中函数图象关于直线对称的函数图象的解析式,并作出它一个周期内的简图.
23.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下,过水湿周越小,其流量越大,现有以下两种设计如图,图(1)的过水断面为等腰,,过水湿周.图(2)的过水断面为等腰梯形ABCD,AB=CD,,,过水湿周.若与梯形ABCD的面积都为S,分别求和的最小值.
24.如图,某观测站C在城A的南偏西的方向,从城A出发有一条走向为南偏东的公路,在C处观测到距离C处km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了6km后到达D处,测得C,D两处的距离为2km,这时此车距离A城_______km.
25.从秦朝统一全国币制到清朝末年,圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千多年的货币.如图1,这是一枚清朝同治年间的铜钱,其边框是由大小不等的两同心圆围成的,内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合,正方形外部,圆框内部刻有四个字“同治重宝”.某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品,其小圆内部图纸设计如图2所示,小圆直径1厘米,内嵌一个大正方形孔,四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小),每个正方形有两个顶点在圆周上,另两个顶点在孔边上,四个小正方形内用于刻铜钱上的字.设,五个正方形的面积和为.
(1)求面积关于的函数表达式,并求的范围;
(2)求面积最小值.
参考答案
1.A2.D3.C4.A5.B6.A7.C8.C9.B10.B11.D12.A13.A14.C15.A
16.210
17.
18.3πx-π
19.
20..
21.;
22.(I);(II)略
23.最小值:,的最小值:.
24.车距离A城15千米.
25.(1),的取值范围为,,(2)