4.4.2对数函数的图像和性质 同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（Word含答案）

2021~2022新教材人教A版高一数学必修一
4.4.2对数函数的图像和性质基础练习
一.选择题(每小题5分，共40分)
1.若，则(　　)
A． B． C．或 D．
2.函数的图象大致为(　　)
3.已知，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
4.已知函数若，则的取值范围是(　　)
A． B．或 C． D．或
5.若函数为偶函数，则(　　)
A． B． C． D．
6.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是(　　)
A． B． C． D．
7.已知函数且的图象如图所示，则，满足的关系是(　　)
A． B． C． D．
8.已知函数若函数的图像与轴恰有个交点，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
选择题（多选）
9.关于函数，正确的结论是(　　)
A．函数的定义域是
B．函数是奇函数
C．函数的最小值为
D．当时，函数是增函数；当时，函数是减函数
10.已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
11.已知函数，给出下列论述，其中正确的是(　　)
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
12.已知函数，若方程有三个实数根，
且，则下列结论正确的为（　　）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．不等式的解集为
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知函数，则＋f＝________.
14.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是________．
15.若函数对任意，都有则实数的取值范围是________．
16.已知函数在区间上的值域是(，＋∞)，则实数的值为________．
三、解答题(共65分)
17.已知不等式．
(1)求不等式的解集；
(2)若当时，不等式－＋≥恒成立，求实数的取值范围．
18.已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(本小题满分12分)已知函数函数的最大值
为 最小值为，求的值.
20.已知且，.
(1)求；
(2)判断的单调性和奇偶性；
(3)对于，当,时，有，求的取值范围．
21.定义在区间上的函数满足：若对任意，都有≥，则称是上的上凸函数．
(1)若函数在(0，＋∞)上是上凸函数，求的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
22.已知函数，其中且，且.
(1)若为偶函数，试确定满足的等量关系；
(2)已知试比较和的大小关系，并证明你的结论．
2021~2022新教材人教A版高一数学必修一
4.4.2对数函数的图像和性质基础练习参考答案
一.选择题(每小题5分，共40分)
1.若，则(　　)
A． B． C．或 D．
解：由，得,选D.
2.函数的图象大致为(　　)
解：选A　
由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x>0时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x<0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位长度即得f(x)的图象，故选A.
3.已知，，，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
4.已知函数若，则的取值范围是(　　)
A． B．或 C． D．或
解:选A.
依题意得或
即或,解得.
5.若函数为偶函数，则(　　)
A． B． C． D．
解：选A　
法一：依据偶函数的定义列方程求解．
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，
∴xln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.
法二：由于f(x)＝xln(x＋)为偶函数，又y＝x为奇函数，∴g(x)＝ln(x＋)为奇函数，
∴g(－x)＝－g(x)，即ln(－x＋)＝－ln(x＋)，
∴ln a＝0，即a＝1.
6.已知函数，若，则此函数的单调递增区间是(　　)
A． B． C． D．
解：选D　
∵f(2)＝loga30＝loga1，∴0a1.
由－x2＋2x+3>0得函数f(x)的定义域为(－1，3)．
设u＝－x2＋2x+3，则此函数在(1，3)上为减函数．
又∵y＝logau(0a1)在(1，3)上为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间是(1，3)，故选D.
7.已知函数且的图象如图所示，则，满足的关系是(　　)
A． B． C． D．
解：令，则g(x)为增函数，又由题中f(x)的图象可知函数y＝logag(x)是增函数，所以必有a>1.由题中f(x)的图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于－1和0之间，即－18.已知函数若函数的图像与轴恰有个交点，则的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解：注意到，所以要使的图像与轴恰有个交点，
只需方程＝恰有个实根即可．
令＝，即与＝的图象有个不同交点．
因为＝＝
当时，，如图，与＝的图象有1个交点，不满足题意；
当时，如图，此时与＝的图象恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图，当与的图象相切时，联立方程得，
令，得，(负值舍去)，所以.
综上，的取值范围为，故选D.
选择题（多选）
9.关于函数，正确的结论是(　　)
A．函数的定义域是
B．函数是奇函数
C．函数的最小值为
D．当时，函数是增函数；当时，函数是减函数
解：选AD　
由>0知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，则函数f(x)是非奇非偶函数，所以A正确，B错误；
f(x)＝lg ＝－lg≤－lg 2，即函数f(x)的最大值为－lg 2，所以C错误；令y＝x＋，
当01时，该函数是增函数．
而函数y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以D正确．
10.已知实数满足，则下列关系式中可能成立的是（　　）
A． B． C． D．
解：设，,则，c＝,
在同一坐标系中分别画出函数的图象，如图,
当t＝x3时，;
当t＝x2时，;
当t＝x1时，.
故选ABC.
11.已知函数，给出下列论述，其中正确的是(　　)
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
解：选AC　
对于A，当a＝0时，解x2－1>0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；
对于B，当a＝0时，f(x)＝lg(x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，
此时f(x)＝lg(x2－1)的值域为R，故B错误，C正确；
对于D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1对称轴x＝－≤2.解得a≥－4.但当a＝－4时f(x)＝lg(x2－4x＋3)在x＝2处无意义，故D错误．
12.已知函数，若方程有三个实数根，
且，则下列结论正确的为（　　）
A． B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．不等式的解集为
解：画出函数f(x)的图象，如图所示：
有个不等的实根 和有个不同的交点，
∴a∈(0，2]，∵x1＜x2＜x3，.
∴, 故，故
结合图象不等式的解集为，故选ACD.
二、填空题(每小题5分，共20分)
13.已知函数，则＋f＝________.
解：∵，
∴，∴＋f＝.
14.已知函数，若实数满足，且，则的取值范围是________．
解：由f(x)的图象可知，0又f(a)＝f(b)，因此|lg a|＝|lg b|，于是lg a＝－lg b，则b＝，所以a＋2b＝a＋，
设g(a)＝a＋(0g(1)＝3，即a＋>3，
所以a＋2b的取值范围是(3，＋∞)．
15.若函数对任意，都有则实数的取值范围是________．
解：由条件知，分段函数f(x)在R上单调递减，
则
16.已知函数在区间上的值域是(，＋∞)，则实数的值为________．
解：由题意，y＝loga在区间(a，1)上是增函数．
∵函数在区间(a，1)上的值域是(1，＋∞)，
∴loga＝1，∴＝a，∴a2＋2a－1＝0.
∵0三、解答题(共65分)
17.已知不等式．
(1)求不等式的解集；
(2)若当时，不等式－＋≥恒成立，求实数的取值范围．
解：(1)由已知可得解得－1(2)令f(x)＝－4＋2，x∈(－1，2]，则原问题等价于f(x)min≥m.
∵f(x)＝－4·＋2，令t＝∈，
则y＝4t2－4t＋2＝4＋1，
当t＝，即x＝1时，函数f(x)取得最小值，
即f(x)min＝1，∴m≤1. 因此，实数m的取值范围是(－∞，1]．
18.已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵f(1)＝1，∴log4(a＋5)＝1，∴a＋5＝4，得a＝－1，
∴f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3>0，得－1即函数f(x)的定义域为(－1，3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3，
则g(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减．
又y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是(1，3)．
(2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，
令h(x)＝ax2＋2x＋3，则h(x)min＝1，
∴解得a＝，
∴存在实数a＝，使f(x)的最小值为0.
(本小题满分12分)已知函数函数的最大值
为 最小值为，求的值.
解：
时，即时，..
函数的最大值为 或，
或.或，.
20.已知且，.
(1)求；
(2)判断的单调性和奇偶性；
(3)对于，当,时，有，求的取值范围．
解：(1)令t＝logax(t∈R)，
则x＝at，且f(t)＝，
所以＝(ax－a－x)(x∈R).
(2)因为f(－x)＝＝－f(x)，
且x∈R，所以为奇函数．
当a＞1时，为增函数，
并且注意到＞0，
所以这时为增函数；
当0＜a＜1时，类似可证为增函数．
所以f(x)在R上为增函数．
(3)因为f(1－m)＋f(1－2m)＜0，且为奇函数，
所以f(1－m)＜f(2m－1).
因为在(－1，1)上为增函数，
所以
解之，得＜m＜1. 即m的取值范围是.
21.定义在区间上的函数满足：若对任意，都有≥，则称是上的上凸函数．
(1)若函数在(0，＋∞)上是上凸函数，求的取值范围；
(2)在(1)的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：(1)由函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是上凸函数，
可得对任意x1，x2∈(0，＋∞)，loga ≥(logax1＋logax2)＝loga.
又x1＋x2≥2，所以a>1.
(2)当x∈(0，1]时，不等式f(mx2＋x)≤0恒成立，即loga(mx2＋x)≤0，即0可得－因为x∈(0，1]，所以≥1，－∈(－∞,－1]，所以m>－1.
由＝－，及≥1，可得≥0，所以m≤0. 故－122.已知函数，其中且，且.
(1)若为偶函数，试确定满足的等量关系；
(2)已知试比较和的大小关系，并证明你的结论．
解：(1)因为是定义在上的偶函数，所以，
所以＝，所以，
此时，
因为函数是定义域为，关于坐标原点对称，
又,所以是偶函数．故当时，满足题意．
(2)＝＝，
因为，
所以－＝，
即，所以.
即.