3.1 椭圆 尖子生培优练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 3.1 椭圆 尖子生培优练 -2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 738.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 13:02:15 | ||
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文档简介
3.1椭圆尖子生培优练--2021--2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段
2．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
6．焦点为，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．．
C． D．
7．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为
10．已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．椭圆的长轴长为
C．椭圆的短轴长为1
D．椭圆的离心率为
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用和分别表示椭圆.轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
三、填空题
13．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.
14．已知点是椭圆上的动点，作轴．垂足为．点在线段上，且，当点运动时，点的轨迹方程______________．
15．点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.
16．在一节探究课上，同学们发现（并证明）当篮球放在地面上时，球的斜上方的一盏灯照过来的光线使得球在地面上留下了影子是椭圆，地面和球的接触点（切点）是椭圆影子的焦点.如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率___________.
评卷人得分
四、解答题
17．分别求解以下两个小题：
（1）设椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的标准方程；
（2）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
18．已知椭圆长轴为，焦点坐标分别为，．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线，当直线与椭圆相交时，证明直线被椭圆截得的弦的中点在一条直线上．
19．已知椭圆：的离心率，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.
20．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
21．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
22．已知①如图，长为，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆左 右顶点，若是椭圆上的动点，判断是否为定值，并说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解】
因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆；
故选：B
2．C
解：由题意可知：
又
，即
椭圆的离心率
故选：C.
3．D
解：由椭圆方程知：，又，，
∴.
故选：D
4．A
解：因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3
所以，即，
所以，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
5．D
解：由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率
；
将化简为标准方程 为，可知该椭圆的长轴长是
，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等．
故选：D．
6．B
【解】
设椭圆的方程为，
由题得，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
7．B
【解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
8．A
解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
9．AB
【解】
设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：，
可得，所以，
由椭圆的定义可知：，
，
当且仅当三点依次共线，
当且仅当三点依次共线，
故选：AB
10．AB
【解】
由题意，
，即
或
当时，不成立
故，A正确；
此时
故长轴长，B正确；
短轴长，C错误；
离心率，D错误
故选：AB
11．CD
【解】
由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
12．BC
解：由图象可知，所以，所以A不正确；
因为，所以，所以B正确；
由，可得，可得，
整理得，即，
因为，所以，所以，则，所以C正确，D不正确.
故选：BC.
13．
【解】
∵PF1⊥PF2，
∴为直角三角形，
又知的面积为9，
∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，
∴a2－c2＝9，即b2＝9，
又知b>0，
∴b＝3，
∵的周长为18，
∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，
∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，
∴所求的椭圆方程为.
故答案为：
14．
【解】设，，；
轴，在上且，，，
，即点的轨迹方程为.
故答案为：.
15．
解：点在椭圆上，
椭圆左焦点，右焦点，如图：
由圆，得，半径为1，
由椭圆得定义可得：，则，
则，
当四点共线时，取得最小值，
则.
故答案为：0.
16．【解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知
由题意可知，则，
设，则到直线的距离为，
解得(正值舍去)，则，
设，由，得，
所以，所以，
又，所以，
因此，解得，所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
17．（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为．或.
（2）由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为．
18．（1）由题意可设椭圆方程为：，，解得：，
椭圆方程为；
（2）
方法一：由得：，
设直线与椭圆交于点，，，
，中点坐标为，
由得：，直线被椭圆截得的弦的中点在直线上.
方法二：设弦中点坐标为，直线与椭圆交于点，，
由得：，即，
，即，，
直线被椭圆截得的弦的中点在直线上.
19．【解】
（1）因为椭圆的离心率，所以，即，
因为经过点，所以有，即，所以，
因此椭圆的标准方程为：；
（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：
，设
所以有，
因为，
所以
或（舍去），即.
20．（1）设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
21．【解】
（1）因为椭圆经过点，离心率为，
所以，，
因为，所以得，
所以椭圆方程为，
（2）设直线l为，设，
由，得，
由，得，
由根与系数的关系得，
因为
所以
，
解得，
所以直线的方程为或
22．【解】
（1）若选①，因为矩形的长为，宽为，所以
所以，
所以
所以椭圆的标准方程为
若选②，因为，所以，因为，所以
所以，所以
所以
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆（挖去左右顶点），其中
所以，所以其方程为
（2）因为，分别是椭圆左 右顶点，是椭圆上的动点，
所以，，设，则
所以
所以是定值.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．平面上到两定点，的距离之和为的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．线段
2．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆 上一点A到焦点的距离为2，则点A到焦点的距离为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
5．曲线与曲线的（ ）
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
6．焦点为，离心率为的椭圆的标准方程为（ ）
A． B．．
C． D．
7．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家,他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
二、多选题
9．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（ ）
A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为
10．已知椭圆的一个焦点坐标为（0，1），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．椭圆的长轴长为
C．椭圆的短轴长为1
D．椭圆的离心率为
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（ ）
A． B． C． D．
12．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行.若用和分别表示椭圆.轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
评卷人得分
三、填空题
13．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.
14．已知点是椭圆上的动点，作轴．垂足为．点在线段上，且，当点运动时，点的轨迹方程______________．
15．点在椭圆上，的左焦点为，点在圆上，则的最小值为___________.
16．在一节探究课上，同学们发现（并证明）当篮球放在地面上时，球的斜上方的一盏灯照过来的光线使得球在地面上留下了影子是椭圆，地面和球的接触点（切点）是椭圆影子的焦点.如图，地平面上有一个球，其中球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡（当成质点），灯泡与地面的距离为3个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A，椭圆的顶点中到A点的距离最短时为1个单位长度，则这个椭圆的离心率___________.
评卷人得分
四、解答题
17．分别求解以下两个小题：
（1）设椭圆的离心率为，短轴长为，求椭圆的标准方程；
（2）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．
18．已知椭圆长轴为，焦点坐标分别为，．
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线，当直线与椭圆相交时，证明直线被椭圆截得的弦的中点在一条直线上．
19．已知椭圆：的离心率，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于另一点，若，求直线的斜率.
20．某海面上有A，B两个观测点，点B在点A正东方向4 n mile处．经多年观察研究，发现某种鱼群（将鱼群视为点P）洄游的路线是以A，B为焦点的椭圆C．现有渔船发现该鱼群在与点A，点B距离之和为8 n mile处．在点A，B，P所在的平面内，以A，B所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求椭圆C的方程；
（2）某日，研究人员在A，B两点同时用声呐探测仪发出信号探测该鱼群（探测过程中，信号传播速度相同且鱼群移动的路程忽略不计），A，B两点收到鱼群的反射信号所用的时间之比为，试确定此时鱼群P的位置（即点P的坐标）．
21．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为
（1）求椭圆的方程
（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程
22．已知①如图，长为，宽为的矩形，以 为焦点的椭圆恰好过两点
②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，记，分别是椭圆左 右顶点，若是椭圆上的动点，判断是否为定值，并说明理由.
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【解】
因为平面上两定点，，所以，动点到两定点，的距离之和为，因为，所以动点是以，为焦点的椭圆；
故选：B
2．C
解：由题意可知：
又
，即
椭圆的离心率
故选：C.
3．D
解：由椭圆方程知：，又，，
∴.
故选：D
4．A
解：因为椭圆的右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3
所以，即，
所以，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程是.
故选：A
5．D
解：由方程形式可知，曲线的长轴长是8，短轴长是6，焦距是，离心率
；
将化简为标准方程 为，可知该椭圆的长轴长是
，短轴长是，焦距是，离心率，所以离心率相等．
故选：D．
6．B
【解】
设椭圆的方程为，
由题得，
所以.
所以椭圆的标准方程为.
故选：B
7．B
【解】
由于方程表示椭圆，
所以.
故选：B
8．A
解：由题意，设椭圆C的方程为，
因为椭圆的离心率为，面积为，
所以，解得，
所以椭圆C的方程为，
故选：A.
9．AB
【解】
设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：，
可得，所以，
由椭圆的定义可知：，
，
当且仅当三点依次共线，
当且仅当三点依次共线，
故选：AB
10．AB
【解】
由题意，
，即
或
当时，不成立
故，A正确；
此时
故长轴长，B正确；
短轴长，C错误；
离心率，D错误
故选：AB
11．CD
【解】
由椭圆的定义，可得．
又，所以，．
①当点与，不共线时，在中，，
即，所以．
②当点与，共线时，分析知，，
所以，即，所以．
综上，椭圆的离心率的取值范围是，
故选：CD．
12．BC
解：由图象可知，所以，所以A不正确；
因为，所以，所以B正确；
由，可得，可得，
整理得，即，
因为，所以，所以，则，所以C正确，D不正确.
故选：BC.
13．
【解】
∵PF1⊥PF2，
∴为直角三角形，
又知的面积为9，
∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，
∴a2－c2＝9，即b2＝9，
又知b>0，
∴b＝3，
∵的周长为18，
∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，
∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，
∴所求的椭圆方程为.
故答案为：
14．
【解】设，，；
轴，在上且，，，
，即点的轨迹方程为.
故答案为：.
15．
解：点在椭圆上，
椭圆左焦点，右焦点，如图：
由圆，得，半径为1，
由椭圆得定义可得：，则，
则，
当四点共线时，取得最小值，
则.
故答案为：0.
16．【解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知
由题意可知，则，
设，则到直线的距离为，
解得(正值舍去)，则，
设，由，得，
所以，所以，
又，所以，
因此，解得，所以椭圆的离心率为，
故答案为：.
17．（1）由题意可知，，又，所以，
所以椭圆的标准方程为．或.
（2）由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3．
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R．因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞2
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，则a＝2，c＝1，故b2＝a2－c2＝4－1＝3，故所求C的方程为．
18．（1）由题意可设椭圆方程为：，，解得：，
椭圆方程为；
（2）
方法一：由得：，
设直线与椭圆交于点，，，
，中点坐标为，
由得：，直线被椭圆截得的弦的中点在直线上.
方法二：设弦中点坐标为，直线与椭圆交于点，，
由得：，即，
，即，，
直线被椭圆截得的弦的中点在直线上.
19．【解】
（1）因为椭圆的离心率，所以，即，
因为经过点，所以有，即，所以，
因此椭圆的标准方程为：；
（2）因为是椭圆的左顶点，所以由过点的直线交于另一点可知，该直线存在斜率，设为，即直线的方程为：，与椭圆方程联立为：
，设
所以有，
因为，
所以
或（舍去），即.
20．（1）设椭圆的标准方程为，
因为，，
所以，，，
于是椭圆的方程为．
（2）
易知，．
因为，，
所以，．
设，则，解得
所以点的坐标为或．
21．【解】
（1）因为椭圆经过点，离心率为，
所以，，
因为，所以得，
所以椭圆方程为，
（2）设直线l为，设，
由，得，
由，得，
由根与系数的关系得，
因为
所以
，
解得，
所以直线的方程为或
22．【解】
（1）若选①，因为矩形的长为，宽为，所以
所以，
所以
所以椭圆的标准方程为
若选②，因为，所以，因为，所以
所以，所以
所以
所以点的轨迹是以为焦点的椭圆（挖去左右顶点），其中
所以，所以其方程为
（2）因为，分别是椭圆左 右顶点，是椭圆上的动点，
所以，，设，则
所以
所以是定值.