任意角三角函数基本概念问题的类型与解法 教案

任意角三角函数基本概念问题的类型与解法
任意角三角函数是在初中锐角三角函数基础上，对三角函数知识的提升与扩充。任意角三角函数基本概念问题也是近几年高考的热点内容之一，从题型上看，一般是选择题（或填空题），难度为低档。纵观近几年的各种考试试卷，归结起来任意角三角函数基本概念问题主要包括：
①任意角概念及运用；②象限角概念及运用；③终边相同角的集合及运用；④弧度的定义及角度与弧度的互化；⑤弧长公式，扇形面积公式及运用；⑥任意角三角函数的定义及基本求法；⑦任意角三角函数在各个象限的符号及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答也有一定的规律可寻。那么在实际解答任意角三角函数基本概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、手表的时针走了2小时，时针转过的度数为（ ）
A B - C D -
【解析】
【知识点】①任意角定义与性质；②确定任意角大小的基本方法。
【解题思路】根据任意角的性质和确定任意角大小的基本方法，运用手表的时针走了2小时，确定时针转过的度数就可得出选项。
【详细解答】手表的时针走一圈是12小时，手表的时针走1小时为= ，手表的时针走2小时为2=，手表的时针是顺时针方向旋转，手表的时针走2小时为-，B正确，选B。
2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于的角}，下列四个命题：①A=B=C；②AC；③CA；④AC=B。其中正确命题的个数为（ ）
A 0 B 2 C 3 D 1
【解析
【知识点】①任意角的定义与性质；②象限角的定义与性质；③锐角的定义与性质；④集合与集合的关系及运用；⑤交集的定义及基本求法。
【解题思路】根据任意角，象限角和锐角的性质，运用集合与集合的关系和求两个集合交集的基本求法对各个命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】A={第一象限角}是指角的终边落在第一象限的角，B={锐角}是指大于，小于的角，C={小于的角}是指比的角小的所有角，①错，②错，③错，④错，A正确，选A。
3、在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是；④小于的角都是锐角。其中说法错误的序号为 。
【解析】
【知识点】①任意角定义与性质；②钝角定义与性质；③锐角定义与性质。
【解题思路】根据任意角，钝角和锐角的性质，对各个命题的真假进行判断就可得出说法错误的序号。
【详细解答】时钟经过两个小时，时针转过的角是-，①错；钝角一定比锐角大， ②正确；射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是，③错；所有负角都小于，④错，即其中说法错误的序号为①③④。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与任意角概念相关的问题，解答这类问题需要理解任意角的定义，注意角的概念推广之后的实际意义；
（2）角的概念推广之后，按照旋转方向不同角分为正角，负角和零度角三类；按角的终边所在的位置不同角分为象限角和轴线角两类。
〔练习1〕解答下列问题：
1、手表的时针走了3小时，时针转过的度数为（ ）（答案B）
A B - C D -
2、已知集合A={第二象限角}，B={钝角}，C={大于小于的角}，下列四个命题：①A=B=C；②AC；③CA；④AC=B。其中正确命题的个数为（ ）（答案B）
A 0 B 2 C 3 D 1
3、在下列说法中：①时钟经过三个小时，时针转过的角是；②锐角一定小于钝角；③射线OA绕端点O按顺时针旋转一周所成的角是；④大于小于的角都是钝角。其中说法错误的序号为 。（答案①，③）
【典例2】解答下列问题：
1、若是第四象限的角，则-是（ ）
A 第一象限角 B第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
【解析】
【知识点】①象限角定义与性质；②确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】根据象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法，确定出角-的所在象限，就可得出选项。
【详细解答】是第四象限的角，k. +＜＜（k+1）（kZ），-（k+1）＜-＜-k.-（kZ），-k.-＜-＜-k. -（kZ），即角-是第三象限角，C正确，选C。
2、=+k. ，kZ的终边落在（ ）
A第一或第三象限角B第一或第二象限角C 第二或第四象限角 D 第三或第四象限角
【解析】
【知识点】①象限角定义与性质；②确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】根据象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法，运用k为奇数（或偶数）分别确定出角=+k. ，kZ的所在象限，就可得出选项。
【详细解答】=+k. （kZ），①当k为奇数时，角属于三象限，即角的终边落在第三象限；②当k为偶数时，角属于一象限，即角的终边落在第一象限， 综上所述，角的终边落在第一（或第三）象限，A正确，选A。
3、- 角在第 象限；
【解析】
【知识点】①象限角定义与性质；②确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】根据象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法，就可确定出角-所在象限。
【详细解答】- =-3+，角-在第一象限。
4、如果是第三象限的角，那么-，2，的角的终边落在哪个象限？
【解析】
【知识点】①象限角的定义与性质；②确定角所在象限的基本方法。
【解题思路】运用象限角的性质和确定角所在象限的基本方法，根据角是第三象限的角，分别确定角-，2，所在象限就可得出结果。
【详细解答】角是第三象限的角，k+＜＜k+（kZ），-k
-＜-＜-k-（kZ），角-是第二象限的角；（2k+1）＜2＜（2k+1）+（kZ），角2是第一（或第二）象限的角；k+＜＜k+（kZ），①当k为奇数时，角属于四象限；②当k为偶数时，角属于二象限， 综上所述，角是第二（或第四）象限的角。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与象限角概念相关的问题，解答这类问题需要理解象限角的定义，注意角属于某一个象限是根据角的终边所在的位置来确定的；
（2）象限角是把角的顶点与直角坐标系的原点重合，角的始边与直角坐标系的X轴的正半轴重合而得到的角；在判断角所在的象限时，应该注意：①角的单位必须统一，不能角度制与弧度制混用；②是2的整数倍与相加与角的终边相同，若问题中涉及到k+（kZ），则需要对k的奇偶性进行讨论。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若是第二象限的角，则-是（ ）（答案A）
A 第一象限角 B第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
2、=+k. ，kZ的终边落在（ ）（答案A）
A第一或第三象限角B第一或第二象限角C 第二或第四象限角 D 第三或第四象限角
3、- 角在第 象限；（答案：第一象限角）
4、如果是第一象限的角，那么的角的终边落在哪个象限？（答案：第一象限或第三象限）
5、如果是第二象限的角，那么-，-，+分别是第几象限角？（答案：-为第三象限角，-为第一象限角，+为第四象限角）
【典例3】解答下列各题：
1、在（-，）内与角终边相同的角是（ ）
A 1 B 1 C -1 D -1
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法。
【解题思路】根据终边相同角集合的性质写出与已知角终边相同角的集合，在给定范围内确定k的值，从而求出所求的角就可得出选项。
【详细解答】与角终边相同的角可以表示为A={|=k. +1，kZ}，（-，）, k=-1，即=-+1=-1，C正确，选C。
2、与角终边相同的角可以表示为（ ）
A k.. + （kZ） B k.. + （kZ，
C k.. + （kZ） D k.. + 1（kZ）
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②表示与已知角终边相同角集合的基本方法。
【解题思路】根据终边相同角集合的性质和表示与已知角终边相同角集合的基本方法，写出与角终边相同角的集合就可得出选项。
【详细解答】=+，与角终边相同的角可以表示为A={|=k. +，kZ}，B正确，选B。
3、已知角的终边与角的终边相同，在［0,2］内，哪些角的终边与角的终边相同？
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法。
【解题思路】根据终边相同角集合的性质写出与已知角终边相同角的集合，在给定范围内确定k的值，就可求出所求的角。
【详细解答】角的终边与角的终边相同，角可以表示为A={|=2k+，kZ}，［0,2］，k=0，即在［0,2］内，角的终边与角的终边相同。
4、在到范围内，找出与下列角的终边相同的角，并判断它是第几象限的角；
（1）- ； （2）。
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法；③象限角定义与性质；④确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】根据终边相同角集合的性质写出与已知角终边相同角的集合，在给定范围内确定k的值，从而求出所求的角，运用象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法就可所求角所在的象限。
【详细解答】（1）-=-+，与-角终边相同角的集合可以表示为A={|
=k. +， kZ}，［0,］，k=0，即在到范围内，与角-终边相同的角是，属于第三象限的角；（2）=+，与角终边相同角的集合可以表示为A={|=k. +， kZ}，［0,］，k=0，即在到范围内，与角终边相同的角是，属于第四象限的角。
5、写出终边在y轴上的角的集合；
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②确定与已知角终边相同角集合的基本方法。
【解题思路】根据终边相同角集合的性质和确定与已知角终边相同角集合的基本方法，就可得到终边在Y轴上的角的集合。
【详细解答】①当角的终边在Y轴的正半轴上时，角的集合可以表示为A={|=k. +， kZ}={|=2k. +， kZ}；②当角的终边在Y轴的负半轴上时，角的集合可以表示为A={|=k. +， kZ}={|=（2k+1）. +， kZ}，综上所述，角的终边在Y轴上时，角的集合可以表示为A={|=k. +， kZ}。
6、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合-≤＜的元素写出来；
（1）- ； （2） 。
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合定义与性质；②在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法。
【解题思路】运用终边相同角集合的性质写出与已知角终边相同角的集合，在给定范围内确定k的值，从而求出所求的角。
【详细解答】（1）-=-+，与-角终边相同角的集合可以表示为A={|
=k. +， kZ}，［-，），k=-1或k=0或k=1，即在到范围内，与角-终边相同的角有=-或=或= ；（2）=-，与角终边相同角的集合可以表示为A={|=k. -， kZ}，［-，），k=0或k=1或k=2，即在到范围内，与角终边相同的角有=-或=或= 。
7、如图所示，若角的终边落在y=x y=-x（x 0）y y=x（x0）
（x0）与y=-x（x 0）所夹的阴影 0 x
区域内，则角的集合（包括边界）为 。
【解析】
【知识点】①终边相同角的集合的定义与性质；②确定在某区域内角的集合的基本方法。
【解题思路】运用终边相同角集合的性质和某区域内角的特征就可写出角的终边落在y=x（x0）与y=-x（x 0）所夹的阴影区域内角的集合（包括边界）。
【详细解答】角的终边落在y=x（x0）与y=-x（x 0）所夹的阴影区域内（包括边界）， k. - k. +（kZ），即若角的终边落在y=x（x0）与y=-x（x 0）所夹的阴影区域内（包括边界），则角的集合为A={|
k. - k. +， kZ}。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与終边相同角集合相关的问题，解答这类问题应该深刻理解終边相同角集合的定义，掌握终边相同角集合表示的基本方法；
（2）【典例3】中4题是给定的角都不在某范围内的角，求在该范围内与已知角终边相同的角的问题，解答时需要先在某范围内找到与给定角終边相同的角，从而写出与已知角终边相同角的集合，然后在给定范围内求出与已知角终边相同的角；
（3）【典例3】中5题，是要求写出終边在Y轴上角的集合，解答时应注意終边可能在Y轴的正半轴上，也可能在Y轴的负半轴上；
（4）【典例3】中6与4两题，既有相同的地方，也有不同的地方，解答时应注意问题的条件和要求；
（5）【典例3】中6是已知角的度数，确定它与在某一范围内终边相同的角，解答时应先将已知角写成+k. （（-，0），kZ）的形式，根据得到的确定问题的结果；
（6）【典例3】中7是区域角的集合表示方法问题，解答时需要理解区域角的定义（介于两条终边之间的角的集合，称为区域角），掌握区域角的集合的表示方法：①在某一周角范围内（如—，-—，-----）依逆时针方向由小到大找到满足条件的一个区间角；②在两端加上k..（kZ）（当角的终边在两个阴影区域内，且互为对顶角时，对顶角的集合可化简成k..+ ＜＜k..+ （kZ）的形式）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、下列表示中不正确的是（ ）（答案B）
A终边在X轴上的角的集合是{|=k，kZ } B终边在X轴上的角的集合是{|=+k，kZ }C终边在坐标轴上的角的集合是{|=k，kZ }D终边在直线y=x上的角的集合是{|=+2k，kZ }
2、终边落在直线y=-x上的角的集合是（ ）（答案D）
A {|=k. +，kZ } B {|=k. -，kZ }
C {|=k. +，kZ } D {|=k. -，kZ }
3、把下列各角化成到范围内的角加上k（k∈z）的形式，并指出它们各自所在的象限；（答案：（1）{|=k. +，kZ } ，是第三象限角； （2）{|=k. +，kZ } ，是第一象限角。）
（1）- （2）
4、写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合-≤＜的元素写出来；（答案：（1）S={|=k. -，kZ } ，=-或=或=；（2）S={|=k. + ，kZ } ，=- 或= 或= 。）
（1）- （2）
【典例4】解答下列问题：
1、下列说法中，不正确的是（ ）
A“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B的角是周角的，1弧度的角是周角的C1弧度的角比的角要大D用角度制或弧度制度量角，都与圆的半径有关
【解析】
【知识点】①弧度定义与性质；②弧度制定义与性质；③角度与弧度之间互化的基本方法。
【解题思路】根据弧度，弧度制的性质和角度与弧度之间互化的基本方法，对各选项分别进行判断就可得出选项。
【详细解答】“角度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，A正确；的角是周角的，1弧度的角是周角的，B正确；1弧度的角约为，显然大于的角，C正确；用角度制或弧度制度量角，都与圆的半径无关， D错误，选D。
2、已知角=4md，则角的终边在（ ）
A 第一象限角 B第二象限角 C 第三象限角 D 第四象限角
【解析】
【知识点】①弧度定义与性质；②弧度制定义与性质；③角度与弧度之间互化的基本方法。
【解题思路】根据弧度，弧度制的性质和角度与弧度之间互化的基本方法，把角换成度，从而确定出角所在的象限就可得出选项。
【详细解答】角=4md 4 ，角是第三象限的角，C正确，选C。
3、把时间拨慢40分钟，分针转过的角度的弧度数为 。
【解析】
【知识点】①弧度定义与性质；②弧度制定义与性质；③角度与弧度之间互化的基本方法。
【解题思路】根据弧度，弧度制的性质和角度与弧度之间互化的基本方法，把角化弧度，就可求出角的弧度数。
【详细解答】分针从一个数字走到另一个数字时间是5分钟，转过的角度是，把时间拨慢40分钟，分针应该向后走8个数字，转过的角度为8= ，，分针转过的角度的弧度数为=，把时间拨慢40分钟，分针转过的角度的弧度数为。
4、设=-，=。
（1）指出，各自所在的象限；
（2）把，换算成弧度。
【解析】
【知识点】①弧度定义与性质；②弧度制定义与性质；③角度与弧度之间互化的基本方法；④象限角的定义与性质；⑤确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】（1）根据象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法就可得出角，各自所在的象限；（2）根据弧度，弧度制的性质和角度与弧度之间互化的基本方法，就可把角，化成弧度。
【详细解答】（1）=-=-- ，==2+，角是第二象限的角，角是第一象限的角；（2）=（-）=-，==，
，换算成弧度分别为-，。
5、设=弧度，=-弧度。
（1）把，换算成角度；
（2）在-到之间找出与它们终边相同的所有角。
【解析】
【知识点】①弧度定义与性质；②弧度制定义与性质；③角度与弧度之间互化的基本方法；④终边相同角的集合定义与性质；⑤在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法。
【解题思路】（1）根据弧度，弧度制的性质和角度与弧度之间互化的基本方法，就可把角，化成角度；（2）根据终边相同角集合的性质和在给定范围内确定与已知角终边相同角的基本方法，就可在-到之间找出与它们终边相同的所有角。
【详细解答】（1）==，=（-）=-，，换算成角度分别为。-；（2）==-，与角终边相同的角的集合可以表示为A={|=k. -， kZ}，［-，），k=-1或k=0，即在-到之间与角终边相同的角为-或-；=-=--，与角终边相同的角的集合可以表示为B={|=k. -， kZ}，［-，），k=-1或k=0，即在-到之间与角终边相同的角为-或-。
『思考问题4』
（1）【典例4】是弧度，弧度制和角度与弧度之间互化的问题，解答这类问题应该理解弧度，弧度制的定义，注意一度角和一弧度角的意义，掌握角度与弧度之间互化的基本方法；
（2）角度换弧度可以直接运用换算公式：=弧度进行换算；
（3）弧度换度可以直接运用换算公式：1弧度=≈进行换算。
〔练习4〕解答下列问题：
1、把时间拨慢40分钟，分针转过的角的弧度数为 ；（答案：）
2、设=-，=。（答案：（1）是第三象限角，是第一象限角；（2）=，=。）
（1）指出，各自所在的象限；
（2）把，换算成弧度。
3、设= 弧度，=- 弧度。（答案：（1）=，=-；（2）在-到之间与终边相同的角为：-或-，与终边相同的角为：-或-。）
（1）把，换算成角度；
（2）在-到之间找出与它们终边相同的所有角。
【典例5】解答下列问题：
1、半径为1cm的圆内，的圆心角所对的弧长为（ ）
A cm B cm C cm D cm
【解析】
【知识点】①扇形弧长公式及运用；②角度与弧度之间互化的基本方法。
【解题思路】（1）根据角度与弧度之间互化的基本方法，运用扇形弧长公式，结合问题条件通过运算求出弧长l的值就可得出选项。
【详细解答】扇形的中心角为==，L=R=1=（cm），D正确，选D。
2、已知一扇形的中心角为=，所在圆的半径是R=10cm。
求：（1）弧长l； （2）扇形的面积S。
【解析】
【知识点】①扇形弧长公式及运用；②角度与弧度互化的基本方法；③扇形面积公式及运用。
【解题思路】（1）根据角度与弧度之间互化的基本方法，运用扇形弧长公式，结合问题条件通过运算就可求出弧长l的值；（2）运用扇形面积公式，结合问题条件通过运算就可求出扇形的面积S的值。
【详细解答】（1）扇形的中心角为==，L=R=10=（cm）;
(2) 扇形的面积S=LR=10=，扇形的面积S为（cm)。
3、若扇形的周长C为一定值（C＞0）,圆的半径为R,当为多少弧度时，该扇形的面积最大？并求出最大面积。
【解析】
【知识点】①扇形周长定义与性质；②扇形面积公式及运用；③基本不等式及运用。
【解题思路】（1）根据扇形周长的性质和扇形面积公式，结合问题条件把扇形面积表示成关于参数的函数，利用基本不等式就可确定当为多少弧度时，该扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值。
【详细解答】扇形的周长C=R+2R=（+2）R为一定值（C＞0），R=，扇形的面积S=LR=R==，当且仅当2=，即=2弧度时，等号成立，当=2弧度时，该扇形面积取得最大值为。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与扇形弧长和面积相关的问题，解答时应该掌握扇形弧长和面积的计算公式；
（2）在运用弧长l=||R计算扇形的弧长时，应该注意公式中的中心角是用弧度表示的，如果不是弧度必须先通过换算公式进行换算，才能代入公式进行计算；
（3）在运用扇形面积S=lR=||公式时，应注意根据条件正确选用其中的一个公式计算结果。
〔练习5〕按要求解答下列各题：
已知扇形的中心角为，所在圆的半径是R。（答案：（1）扇形弧长l=cm，扇形面积S= cm ；（2）当且仅当R=时，扇形面积取得最大值为。）
（1）当=，R=5cm时，求扇形的弧长与面积；
（2）若扇形的周长c为一定值，中心角为，当扇形所在圆的半径为何值时，扇形的面积最大？并求出这个最大面积。
【典例6】解答下列问题：
1、角终边过点p(-1,2)，则sin=（ ）
A B C - D -
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求任意角三角函数值的基本方法，结合问题条件求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】角终边过点p(-1，2)， |OP|==， sin= = ，B正确，选B。
2、角终边与直线y=3x重合，且sin＜0，又P（m，n）是终边上一点，且|OP|=，
则m-n=（ ）
A 2 B -2 C 4 D - 4
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求任意角三角函数值的基本方法，结合问题条件得到关于m，n的方程组，求解方程组求出m，n的值，从而求出m-n的值就可得出选项。
【详细解答】角终边与直线y=3x重合，且sin＜0，P（m，n）是终边上一点，且|OP|=，n=3m①，+=10②，n＜0③，联立①②③解得：m=-1，n=-3，即m-n
=-1-（-3）=2，A正确，选A。
3、在平面直角坐标系中，点O（0，0），P（6，8），将向量绕O点按逆时针方向旋转后所得向量，则点Q的坐标是（ ）
A （-7，-） B （-7，） C （-4，-2） D （-4，2）
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法；③平面向量定义与性质；④求向量绕某点旋转后所在位置终点坐标的基本方法。
【解题思路】运用平面向量的性质，结合问题条件求出向量的坐标表示式，根据任意角三角函数的性质和求任意角三角函数值的基本方法，结合问题条件求出点Q的坐标，从而得出选项。
【详细解答】如图，设点Q（x，y）， O（0，0）， Q（x，y） y P(6，8)
P（6，8），=（6，8），|| =
=10，向量是向量绕O点按逆时针方向旋转 0 x
后所得，sin= = ，cos ==，||=||=10, x=||cos(
+)=10 (cos cos- sin sin)=-5 (+)=-7，y=||sin(+)
=10 (sin cos+cos sin)=5 (-)=- ，点Q的坐标是（-7,- ）, A正确，选A。
4、已知sin=-，tan=，则所在的象限为（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②确定任意角三角函数在各个象限的符号的基本方法； ③象限角定义与性质； ④确定已知角所在象限的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质和确定任意角三角函数在各个象限符号的基本方法，结合问题条件得到角所在象限，根据象限角的性质和确定已知角所在象限的基本方法得到角所在的象限，就可得出选项。
【详细解答】 sin=-＜0，tan=＞0，角是第三象限的角，2k+＜
＜2k+，4k+＜＜4k+，是第一象限的角，A正确，选A。
5、已知角的終边在直线y=x上，则sin= ；
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求任意角三角函数值的基本方法，结合问题条件就可求出sin的值。
【详细解答】角的終边在直线y=x上，当x=1时，y=，点P（1，）在角的終边上，|OP|==2， sin= 。
6、求下列各角正弦，余弦，正切的函数值：
（1） ； （2） （3）
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用求任意角三角函数值的基本方法，结合问题条件就可分别求出，，角正弦，余弦，正切的三角函数值。
【详细解答】角的终边与X轴的正半轴重合，取点P（1，0）为角的终边上一点，
|OP|==1， sin==0，cos==1，tan==0；角的终边与X轴的负半轴重合，取点P（-1，0）为角的终边上一点，|OP|==1， sin==0，cos==-1，tan==0；角的终边与Y轴的负半轴重合，取点P（0，-1）为角的终边上一点，|OP|==1， sin==-1，cos==-0，tan不存在。
7、确定下列三角函数值的符号：
（2） cos （2） sin(-) （3） tan(-) （4） tan
（5）sin.cos（6）sin4.tan（-）（7）（其中||=-，且tan＜0）
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②确定任意角三角函数在各个象限符号的基本方法。
【解题思路】运用任意角三角函数的性质和任意角三角函数在各个象限的符号，结合问题条件就可分别确定各三角函数值的符号。
【详细解答】①是第三象限的角， cos＜0；②-是第四象限的角， sin(-) ＜0；③-是第一象限的角， tan(-)＞0；④是第四象限的角， tan＜0；⑤是第四象限的角，是第三象限的角， sin＜0，cos＜0，sin.cos＞0；⑥4是第三象限的角，-是第一象限的角， sin4＜0，tan（-）＞0，sin4.tan（-）＜0；⑦||=-，且tan＜0，是第二象限的角，-1＜＜0，0＜sin＜1， sin（）＜0，cos（sin）＞0，＜0。
『思考问题6』
（1）【典例6】是已知任意角终边上一点P的坐标或终边所在的直线方程，求任意角三角函数值或判断任意角三角函数值符号的问题，解决这类问题的基本思路是：求任意角三角函数值的基本方法是：①在角的终边上取一点P并求出点P到原点的距离；②运用求任意角三角函数值的基本方法求出所求三角函数值；判断任意角三角函数值符号的基本方法是：①确定角所在的象限；②根据正弦，余弦，正切所在象限的符号确定该三角函数值的符号；
（2）若已知角为特殊角，则可直接运用特殊角的三角函数值求出角的三角函数值；当角的终边上的点的坐标含有参数时，需根据问题的实际情况对参数进行分类讨论。
〔练习6〕解答下列问题：
1、已知＜1，则所在的象限为（ ）（答案D）
A 第一或第二象限 B 第二或第四象限 C 第二或第三象限 D 第一或第三象限
2、有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数值相等；②终边不同的角的同名三角函数值不相等；③若sin＞0，则是第一象限或第二象限的角；④若是第二象限的角，且P（x，y）是其终边上一点（不是端点），则cos= 。其中正确的命题的个数是（）
A 1 B 2 C 3 D 4 （答案B）
3、cos =（ ）（答案C）
A - B - C D
4、点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动到达Q点，则Q点的坐标为（ ）
A （-，） B （-，-） C （，） D （-，） （答案A）
5、若角的终边经过点P（-，m）（m0）且sin=m，则cos的值为 ；（答案：cos=-）
6、已知角的顶点与原点重合，始边与X轴的正半轴重合，終边在直线y=2x上，则cos=
；（答案：cos= ）
7、设角是第二象限的角，且|cos|=-cos，则的角的终边落在哪个象限？（答案：的角的终边落在第三象限）
8、若角的终边为OP，点P是直线x+y-1=0与直线2x-y-4=0的交点。（答案：（1）sin=- ；（2） cos=；（3）tan=-。）
求： （1）sin ； （2） cos ； （3）tan。
9、已知是第二象限的角，试确定sin(cos)cos(sin)的符号。（答案：sin(cos)cos(sin)的符号为负）
10、若是第四象限的角，试判断sin(cos )cos(sin )的符号；（答案：sin(cos )cos(sin )的符号正）
11、若tan(cos )tan (sin )＞0,试确定角所在的象限。（答案：所在的象限为第一象限或第三象限）
【典例7】解答下列问题：
1、cos1，sin1，tan1的大小关系是（ ）
A sin1＜cos1＜tan1 B tan1＜sin1＜cos1 C cos1＜tan1＜sin1 D cos1＜sin1＜tan1
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②比较同角三角函数值大小的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用比较同角三角函数直大小的基本方法，结合问题条件得到cos1，sin1，tan1的大小关系就可得出选项。
【详细解答】＜1＜， cos1＜sin1＜tan1，D正确，选D。
2、在（0，）内，使sin＞cos成立的角的取值范围是（ ）
A （0，） B （，） C （0，） D （，）
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②比较同角三角函数值大小的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用比较同角三角函数值大小的基本方法，结合问题条件求出使sin＞cos成立的角的取值范围就可得出选项。
【详细解答】在（0，）内，sin单调递增，cos单调递减，sin=cos=，使sin＞cos成立的角的取值范围是（，），B正确，选B。
3、在（0，2）内 ，满足sinx的x的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②在某一范围内，已知某一三角函数值的取值范围，确定角的取值范围的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用在某一范围内，已知某一三角函数值的取值范围，确定角的取值范围的基本方法，结合问题条件就可求出满足sinx的x的取值范围。
【详细解答】在（0，2）内 ，sinx，x，即满足sinx的x的取值范围是［，］。
4、设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出以下不等式：①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜M0；④MP＜0＜OM其中正确的是 ；
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②正弦线，余弦线定义与性质。 y
【解题思路】根据任意角三角函数和正弦线，余弦线的性质，
结合问题条件作出角的正弦线，余弦线，运用图像对各 x
结论进行判断就可得出结果。 P
【详细解答】如图，作出角的正弦线，余弦线如图所示， 由图知有向线段|PM|＜|0M|，①错误，②错误，③错误，④正确，即其中正确的是④。
5、在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并由此写出角的集合。
（1）sin； （2）cos-。
【解析】
【知识点】①任意角三角函数定义与性质；②正弦线，余弦线定义与性质。
【解题思路】(1)根据任意角三角函数和正弦线的性质，结合问题条件就可作出角终边的范围，从而求出角的集合；（2）运用任意角三角函数和余弦线的性质，结合问题条件就可作出角终边的范围，从而求出角的集合。 y
【详细解答】（1） sin，角终边的 x
范围如图所示，角的集合为A={|2k +
2k +， kZ}；(2) cos-,角终 y
边的范围如图所示，角的集合为A={|2k + x
2k +， kZ}。
『思考问题7』
（1）【典例7】是与三角函数线相关的问题，解答这类问题需要理解正弦函数线，余弦函数线，正切函数线的定义，明确三角函数线的实质；
（2）比较三角函数值的大小的基本方法是：①确定任意角的位置；②比较三角函数线的有向线段的长短；③确定有向线段的正负；④得出三角函数值的大小关系；
（3）解形如f()m（或f()m）（|m|1）的三角不等式的基本方法是：①在直角坐标系及单位圆中，标出满足f()=m的两个角的终边（f()=sin则角的终边是直线y=m与单位圆的两个交点与原点的连线）；②根据三角函数值的大小，找出在（0,2）内的取值；③把②中得到的在（0,2）内的取值加上2k(kZ)求出结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、若角的终边经过点（3a-9，a+2），且cos0，sin＞0，则实数a的取值范围是（ ）
A （-2，3］ B （-2，3） C ［-2，3） D ［-2，3］ （答案A）
2、满足cos-的角的集合为 ；（答案：{|2k +2k +， kZ}）
3、函数lg(2sinx-1)+ 的定义域为 ；（答案：2k +<2k +， kZ）
4、已知（0，），求证：sin＜＜tan；（提示：运用正弦函数线，正切函数线。）
【考题演练】
【典例8】解答下列问题：
1、已知角的顶点与之间坐标系的原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，且cos=-，
若角的终边上有一点P（x，3），则x的值为（ ）（成都市2020—2021高一上期期末调研考试）
A -4 B 4 C -3 D 3
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②求任意角三角函数值的基本方法；③任意角三角函数在各个象限的符号及运用。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质和求任意角三角函数值的基本方法，运用确定任意
角三角函数在各个象限符号的基本方法求出x的值就可得出选项。
【详细解答】 cos=-<0，角可能是二象限或三象限的角，角的终边上有一点P（x，3），角可能是二象限的角，即x=-4，A正确，选A。
2、已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形的半径为（ ）（成都市2020—2021高一上期期末调研考试）
A 3 B 3 C 6 D 6
【解析】
【考点】①扇形定义与性质；②角度制与弧度制互化的基本方法；③扇形面积公式及运用。
【解题思路】根据扇形的性质和角度制与弧度制互化的基本方法，运用扇形面积公式得到关于扇形半径的方程，求解方程求出扇形的半径就可得出选项。
【详细解答】设扇形的半径为R，===，==
==3，R=6，D正确，选D。
3、已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，-4），则sin的值是（ ）（成都市2019—2020高一上期期末调研考试）
A - B - C D
【解析】
【考点】①任意角三角函数定义与性质；②已知任意角终边上一点的坐标求该角某一三角函数值的基本方法。
【解题思路】根据任意角三角函数的性质，运用已知任意角终边上一点的坐标求该角某一三角函数值的基本方法，求出sin的值就可得出选项。
【详细解答】角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，终边经过点P（3，-4）， sin= = =-，A正确，选A。
4、半径为3，弧长为的扇形的面积为（ ）（成都市2019—2020高一上期期末调研考试）
A B C 3 D 9
【解析】
【考点】①扇形定义与性质；②扇形面积公式及运用。
【解题思路】根据扇形的性质，运用扇形面积公式通过运算求出扇形面积的值就可得出选项。
【详细解答】扇形半径为3，弧长为，=3=，B正确，选B。
5、半径为3，圆心角为的扇形的弧长为（ ）（成都市2018—2019高一上期期末调研考试）
A B C D
【解析】
【考点】①弧度定义与性质；②扇形弧长公式及运用。
【解题思路】根据弧度的性质，运用扇形弧长公式通过运算求出扇形的弧长就可得出选项。
【详细解答】r=3，=，l=r||=3=，C正确，选C。
『思考问题8』
（1）【典例8】是近几年期末考试中的问题，归结起来任意角三角函数概念问题中主要考查任意角三角函数值的求法和扇形弧长与面积的计算两个基本知识点；
（2）求任意角三角函数值问题主要包括：①已知任意角终边上一点P的坐标或终边所在的直线方程，求任意角三角函数值，解决这类问题的基本方法是：1>在角的终边上取一点P并求出点P到原点的距离；2>运用求任意角三角函数值的基本方法求出所求三角函数值；②判断任意角三角函数值符号,解答这类问题的基本方法是：1>确定角所在的象限；2>根据正弦，余弦，正切所在象限的符号确定该三角函数值的符号；
（3）运用弧长公式：l=||R计算扇形的弧长时，应该注意公式中的中心角是用弧度表示的，如果不是弧度必须先通过换算公式进行换算，才能代入公式进行计算；
（4）运用扇形面积公式：S=lR=||公式时，应注意根据条件正确选用其中一个公式进行计算。
〔练习8〕解答下列问题：
1、设角的顶点与坐标原点重合，始边与X轴的非负半轴重合，若角的终边上一点P的坐标为（1，-），则cos的值为 。（成都市2017—2018高一上期期末调研考试）（答案：cos=）
2、若-<<0，则点Q（cos，sin）位于（ ）（成都市2016—2017高一上期期末调研考试）（答案D）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、已知角的终边在第二象限，且与单位圆相交于点P（m，）。
（1）求实数m的值；
（2）求的值。（成都市2016—2017高一上期期末调研考试）
（答案：（1）m=-；（2）=-。）
0 M
0
0