如东县2021-2022学年高三上学期期中学情检测
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含[选择题(1~12))填空题(第13题~第16题，共80分)、解答题(第17~22题，共70分)]。本次考试时间120分钟，满分150分。请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合M，N，P均为R的非空真子集，且M∪N＝R，M∩N＝P，则( )
A．M B．N C． D．
2．已知复数z满足，则|z|＝( )
A． B． C． D．
3．“”是“”的( )条件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”(如图)，则异面直线AB与CD所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
5．已知函数在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足的x的取值范围是( )
A． B． C． D．
6．已知椭圆(a＞b＞0)与圆在第二象限的交点是P点，是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线PF1的距离是，则椭圆的离心率是( )
A． B． C． D．
7．已知函数的最小正周期T，且是函数f(x)的一条对称轴，是函数f(x)的一个对称中心，则函数f(x)在上的取值范围是( )
A． B．(－1，2] C． D．[－1，2]
8．定义在R上的奇函数f(x)的图象光滑连续不断，其导函数为f′(x)，对任意正实数x恒有xf′(x)＞2f(－x)，若g(x)＝x2f(x)，则不等式的解集是( )
A．(0，2) B．(－2，2) C． D．(－2，－1)∪(1，2)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若，则( )
A． B．
C． D．
10．已知曲线，F1，F2分别为曲线C的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
A．若m＝－3，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为
B．若曲线C的离心率e＝2，则m＝－27
C．若m＝3，则曲线C上不存在点P，使得
D．若m＝3，P为C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为
11．正方体的棱长为1，点E为的中点，下列判断正确的是( )
A．AB//平面 B．直线与直线AD是异面直线
C．在直线上存在点F，使EF⊥平面 D．直线BA1与平面A1CD所成角是
12．若存在，则称为二元函数z＝f(x，y)在点处对x的偏导数，记为fx′(x0，y0)；若存在，则称为二元函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数，记为fy′(x0，y0)，已知二元函数f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x＞0，y＞0)，则( )
A．fx′(1，2)＝－2 B． fy′(1，2)＝10
C．fx′(m，n)＋fy′(m，n)的最小值为－1 D．f(x，y)的最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为2，双曲线的实轴长为
▲ ．
14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是 ▲ ．
15．已知a＞0，b＞0，c＞0，，当最小时，恒成立，则x的取值集合是 ▲ ．
16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数a2，对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为，则a1的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，抛物线C上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：
①|FM|＋|FM|＝|MN|；②；③直线MN的方程为y＝6p．
请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件 并求抛物线C的标准方程；
18．(本小题满分12分)
在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．
(1)求B：
(2)若b＝1，求c－2a的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为．
(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
20．(本小题满分12分)
如图所示，矩形ABCD所在平面与直角梯形ABEF所在平面垂直，点G是边AB上一点，AB＝AF＝4，AD＝2，AG＝BE＝1，AF⊥AB，BE⊥AB．
(1)求证：平面DFG⊥平面ACF；
(2)求平面DFG与平面CEF所成锐二面角的余弦值．
21．(本小题满分12分)
如图，抛物线的焦点为椭圆的右焦点，A为椭圆的右顶点，O为坐标原点．过A的直线l交抛物线于C，D两点，射线OC，OD分别交椭圆于E，F两点．
(1)求抛物线的方程，并证明O点在以EF为直径的圆的内部；
(2)记△OEF，△OCD的面积分别为，若，求直线l的方程．
22．(本小题满分12分)
已知，a∈R．
(1)当时，证明：f(x)＋lnx－x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．2021~2022 学年度第一学期期中学情检测
高 三 数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 4页，包含[选择题(1~12))填空题(第 13题~第 16题，共 80分)、解答题(第 17~22
题，共 70分)]。本次考试时间 120分钟，满分 150分。请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用 0.5毫米的黑色
签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用 2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用 0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律
无效。
4．如有作图需要，可用 2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共 8小题，每题 5分，共 40分．在每小题提供的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设集合 M，N，P均为 R的非空真子集，且 M∪N＝R，M∩N＝P，则M∩( RP)＝( )
A．M B．N C． RM D． RN
2 1．已知复数 z满足z(2＋i)＝ －i，则|z|＝( )
2
A 1 B 2． ． C 1 3． D．
4 2 2 2
3．“θ 2π＝ ”是“tanθ＝2cos(π＋θ)”的( )条件
3 2
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
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4．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形
为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一顶点的三条
棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，
六个面为正方形的“阿基米德多面体”(如图)，则异面直线 AB与 CD所成
角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
1
5 1．已知函数f(x)＝ln(1＋|x|)－ 2在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f( )的 x的1＋x 3
取值范围是( )
A (1 2． ， ) B．[1 2 1 2 1 2， ) C．( ， ) D．[ ， )
3 3 3 3 2 3 2 3
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x2 y2
6 2 2 2．已知椭圆 2＋ 2＝1(a＞b＞0)与圆x ＋y ＝c 在第二象限的交点是 P点，F1(－c，0)是椭圆a b
的左焦点，O为坐标原点，O到直线 PF 31的距离是 c，则椭圆的离心率是( )
2
A． 2－1 B 5－1 6－1． 3－1 C． D．
2 2
7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ| π 3π 7π＜ )的最小正周期 T ，且x＝ 是函数 f(x)的一条
2 4 12
对称轴，(π，0) π π是函数 f(x)的一个对称中心，则函数 f(x)在(－ ， )上的取值范围是( )
3 4 6
A．(－1， 3] B 1．(－1，2] C．(－ ，1] D．[－1，2]
2
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8．定义在 R 上的奇函数 f(x)的图象光滑连续不断，其导函数为 f′(x)，对任意正实数 x恒有
xf′(x)＞2f(－x)，若 g(x)＝x2f(x)，则不等式g(log3(x
2
－1))＋g(－1)＜0的解集是( )
A．(0，2) B．(－2，2) C．(－ 3，2) D．(－2，－1)∪(1，2)
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．若sinα＋ 3cosα 1＝ ，则( )
2
A cos(α 5π) 1 B 3tan2． ＋ ＝ ． α＋8 3tanα＝－11
6 4
C．sin(α 4π) 1 2＋ ＝－ D．3tan α＋8 3tanα＝－12
3 4
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x2 210．已知曲线C y： ＋ ＝1，F1，F2分别为曲线 C的左、右焦点，则下列说法正确的是( )
9 m
A．若 m＝－3 π，则曲线 C的两条渐近线所成的锐角为
3
B．若曲线 C的离心率 e＝2，则 m＝－27
C．若 m 3 C π＝ ，则曲线 上不存在点 P，使得∠F1PF2＝2
D．若 m＝3，P为 C上一个动点，则△PF1F2面积的最大值为3 2
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11．正方体ABCD＝A1B1C1D1的棱长为 1，点 E为BA1的中点，下列判断正确的是( )
A．AB//平面A1CD B．直线EC1与直线 AD是异面直线
C．在直线A1C1上存在点 F，使 EF⊥平面A1CD D．直线 BA A CD
π
1与平面 1 所成角是
6
f(x ＋Δx，y )－f(x ，y ) f(x ＋Δx，y )－f(x ，y )
12．若 lim 0 0 0 0 存在，则称 lim 0 0 0 0 为二元函数 z＝f(x，
Δx→0 Δx Δx→0 Δx
f(x ，y ＋Δy)－f(x ，y )
y)在点(x0，y0)处对 x的偏导数，记为 fx′(x0，y0)；若 lim
0 0 0 0 存在，则称
y→0 Δy
f(x ，y ＋Δy)－f(x ，y )
lim 0 0 0 0 为二元函数 z＝f(x，y)在点(x0，y0)处对 y的偏导数，记为 fy′(x0，
Δy→0 Δy
y0)，已知二元函数 f(x，y)＝x2－2xy＋y3(x＞0，y＞0)，则( )
A．fx′(1，2)＝－2 B． fy′(1，2)＝10
C．fx′(m，n)＋fy′(m，n)的最小值为－1 D．f(x
4
，y)的最小值为－
27
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三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置上．
x2 2
13 y．双曲线 2－ ＝1的一条渐近线被圆(x－2)
2 2
＋y ＝4截得的弦长为 2，双曲线的实轴长为
a 3
▲ ．
14．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图
所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4 3的正方体的六个面
所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周
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长为 4π，则该球的半径是 ▲ ．
15．已知 a＞0，b＞0，c＞0 2 2 c 2 1，a －ab＋9b －5c＝0，当 最小时，x －3x≥a＋b－ c恒成立，
ab 3
则 x的取值集合是 ▲ ．
16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：
由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 a1乘以 2
后再减去 6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a1除以 2后再加上 6，这样就可
得到一个新的实数 a2，对实数 a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数 a3，当
a 33＞a1时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为 ，则 a1的取值范围是 ▲ ．
4
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四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
2
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 C：x ＝2py(p＞0)的焦点为 F，抛物线 C上不
同两点 M，N同时满足下列三个条件中的两个：
①|FM|＋|FM|＝|MN|；②OM|＝|ON|＝|MN|＝8 6；③直线 MN的方程为 y＝6p．
请分析说明两点 M，N满足的是哪两个条件 并求抛物线 C的标准方程；
【解析】
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18．(本小题满分 12 分)
在锐角△ABC 2 2 2中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，(a ＋c －b )sinB＝ 3accosB．
(1)求 B：
(2)若 b＝1，求 c－2a的取值范围．
【解析】
19．(本小题满分 12 分)
2 2 m 1
已知(x ＋ ) 的展开式中，第 4项的系数与倒数第 4项的系数之比为 ．
x 2
(1)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．
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【解析】
r 14
5r
＝C ·2r 27 · x
20．(本小题满分 12 分)
如图所示，矩形 ABCD所在平面与直角梯形 ABEF所在平面垂直，点 G是边 AB上一点，
AB＝AF＝4，AD＝2，AG＝BE＝1，AF⊥AB，BE⊥AB．
(1)求证：平面 DFG⊥平面 ACF；
(2)求平面 DFG与平面 CEF所成锐二面角的余弦值．
【解析】
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C(2，4，0)，E(0，4，1)，
21．(本小题满分 12 分)
x22 y2
如图，抛物线C1：y ＝2px(p＞0)的焦点为椭圆C2： ＋ ＝1的右焦点，A为椭圆的右顶点，4 3
O为坐标原点．过 A的直线 l交抛物线C1于 C，D两点，射线 OC，OD分别交椭圆C2于 E，
F两点．
(1)求抛物线C1的方程，并证明 O点在以 EF为直径的圆的内部；
高三数学 第 12 页，共 15 页
(2)记△OEF，△OCD的面积分别为S1，S2，若S
13
2＝ S1，求直线 l的方程．3
【解析】
22．(本小题满分 12 分)
x
已知f(x)＝x－ae ，a∈R．
高三数学 第 13 页，共 15 页
(1)当a 1＝ 时，证明：f(x)＋lnx－x＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立；
e
(2)讨论函数 f(x)的零点个数．
【解析】
的零点 x＝1，
高三数学 第 14 页，共 15 页
f(x)在 R上无零点．
高三数学 第 15 页，共 15 页
