2021-2022学年度高二年级第一学期教学质量调研（一）
数学答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.A 7.C 8.C
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分.
全部选对得 5分，部分选对得 2分，有项选错得 0分.
9.ABC 10.AB 11.AD 12.AB
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
x 5 13.6 14. 15. 16. 2 218（2分）； x 9 y 1 82（3分）
4 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分 10分）
（1）抛物线的方程为 y2 4x .
（2） AB 13 .
18.（本小题满分 12分）
（1）直线BC的方程为 x y 2 0 .
（2）面积最大时圆心到湖中心的距离为4 2 1 千米.
19.（本小题满分 12分）
x2 y2
（1）椭圆的方程为 1.
4 3
（2） = 21 .
6
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20.（本小题满分 12分）
1 x
2 y2
（ ）轨迹方程为 1.
4 3
（2）∠F1PF2最大值为 ，此时P3 0, 3 .
21.（本小题满分 12分）
y2
（1）轨迹方程为 x2 1.
3
（2）△C2MN 的周长为10 .
22.（本小题满分 12分）
x2 y2
（1）椭圆C方程为 1.
8 4
（2）点Q在定直线2x y 4 0上.
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数 学 试 题
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 抛物线 y 2x2的准线方程是（ ▲ ）.
1 1 1
A. x 1 B. x C. y D. y
2 2 8
2 2
2. x y已知方程 1表示双曲线，则实数 m的取值范围是（ ▲ ）.
m 2 m
A.（-∞，2） B.（0，2） C.（-∞，0） D.（-∞，0）∪（0，2）
3. 已知直线 l : ax by r 2 ，圆C : x2 y2 r 2 ，其中 r 0 .若点P a,b 在圆 C上，则直线 l与圆 C的
位置关系是（ ▲ ）.
A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切
4. 2 2 2已知F1 3,0 ，F2 3,0 ，若圆C : x y r r 0 上存在点 P，使得 PF1 PF2 0，则实数 r
的取值范围是（ ▲ ）.
A.[3,5] B.（0,5] C.[4,5] D.[16,25]
5. 已知圆锥的底面半径为 4，母线长为 8，过底面圆周上一点作与圆锥底面成 30°角的平面，截这个圆
锥得到一个椭圆，则该椭圆的长轴长是（ ▲ ）.
A.4 3 B.8 C.16 D.8 3
6. 已知F1( 3,0)，F2 3,0 ，动点M满足 MF1 2 MF2 ，P为直线3x 4t 6 0上一点，则|PM|的最
小值是（ ▲ ）.
1 21 41
A. B. C. D.4
5 5 5
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7. 在矩形 ABB A 中， A A 8， AB 6，把边 AB分成 n等份，
在B B的延长线上，以B B的 n分之一为单位长度连续取点.过
边 AB上各分点和点 A 作直线，过B B延长线上的对应分点和
点 A作直线，这两条直线的交点为 P，如图建立平面直角坐标
系，则点 P满足的方程可能是（ ▲ ）.
x2 y2 2 2A. 1 x 4, y 0 B. x y 1 x 8, y 0
16 9 64 36
C. x
2 y2 2 2
1 x 4, y 0 D. x y 1 x 8, y 0
16 9 64 36
PM 2
8. 2已知点M（0，4），点 P在曲线 x2 8y上运动，点 Q在圆 x2 y 2 1上运动，则 的最小
PQ
值是（ ▲ ）.
A. 3 B. 5 C.4 D.6
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对得 5分，部分选对得 2分，有项选错得 0分.
9. 2 2方程 x my 1 m R 所表示的曲线可能是（ ▲ ）.
A.圆 B.两条直线 C.椭圆 D.抛物线
2
10. x y
2
已知双曲线 1上一点 P到左焦点的距离为 10，则点 P到右焦点的距离可能是（ ▲ ）.
16 9
A.2 B.18 C.20 D.42
2
11. 已知 P y为椭圆C : x2 1上一点， F1，F4 2
为椭圆 C的上焦点和下焦点，若△PF1F2 为直角三角
形，则 P点坐标可能是（ ▲ ）.
1 , 3 1 , 4 2
2 2 , 2
3 2 6
A. B. C.2 3 3
D. ,
3 3 3 3
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12. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐.一块斯里兰
卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平
面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右
焦点 F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线 y t t 0
与半圆交于点 A，与半椭圆交于点 B，则下列结论正确的是（ ▲ ）.
A. 2椭圆的离心率是 B.线段 AB长度的取值范围是 0,3 3 2
2
9
C.△ABF 面积的最大值是 2 1 D.△OAB的周长存在最大值4
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上.
13. C : x2 2 2圆 1 y 10y 0与圆C2 : x y
2 10的公共弦长为 ▲ .
14. 以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线.已知双曲线 C的焦距
为 10，一个顶点坐标为（3，0），则其共轭双曲线的离心率为 ▲ .
15. 过抛物线C : y2 4x焦点 F的直线交抛物线于 A，B两点，若点 A在第一象限，且 AF 3 FB ，则
直线 AB的倾斜角为 ▲ .
9
16. 已知以点T t, t R,t 0 为圆心的圆交 x轴于 O，A两点，交 y轴于 O，B两点，其中 O为坐标
t
原点，则△OAB的面积为 ▲ ；若直线 l : 9x y 1 0与圆 T交于M，N两点，且 OM ON ，
则圆 T的标准方程为 ▲ . (本小题第一空 2分，第二空 3分）
四、解答题：本题共 6 小题，共 70分.请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证 明
过程或演算步骤.
17. （本小题满分 10分）
2
已知抛物线 y 2px p 0 上一点M 1,m 到其焦点 F的距离为 2.
（1）求拋物线方程；
（2）直线2x 3y 4 0与拋物线相交于 A,B两点，求 AB 的长.
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18. （本小题满分 12分）
滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为 2千米.一“直角型”
公路 A-B-C（即 AB BC）关于 OB对称且与滴水湖圆 O相切，如图建立平面直角坐标系.
（1）求直线 BC的方程；
（2）现欲在湖边和“直角型”公路 A-B-C围成的封闭区域内修建圆
形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心面积最
大？求出此时圆心O1到湖中心 O的距离.
19. （本小题满分 12分）
x2 y2
已知椭圆 2 2 1 a b 0 的长轴长为 4，右焦点到右准线的距离为 3.a b
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 y x 3与椭圆交于M，N两点，椭圆上存在点 P，使得OP OM ON 0 ，
求实数λ的值.
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20. （本小题满分 12分）
换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.
例如，已知a 0，b 0， a b 4，求a3 b3的最小值.其求解过程可以是：
设a 2 t，b 2 t， 2 t 2 ，
a3 b3则 2 t 3 2 t 3 8 12t 6t 2 t3 8 12t 6t 2 t3 16 12t 2 16 ，
所以当 t 0时a3 b3取得最小值 16，这种换元方法称为“对称换元”.
已知平面内两定点F1 1,0 ，F2 1,0 ，一动点 P到两个定点的距离之和为 4.
（1）请利用上述求解方法，求出 P点的轨迹方程；
（2）求 F1PF2 的最大值，并写出此时 P点坐标.
21. （本小题满分 12分）
设圆 C与两圆C 21 : x 2 y 2 1 C : x 2
2
， 22 y 1中的一个内切，另一个外切.
（1）求圆心 C的轨迹 E的方程；
3
（2）过曲线 E上一点M（2，3）作斜率为 的直线 l与曲线 E交于另一点 N.试求△C2MN 的周长.4
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22. （本小题满分 12分）
2 2
已知椭圆C : x y2 2 1 a b 0
2
的离心率为 ，椭圆 C的一个顶点是抛物线 x2 8y的焦点.
a b 2
（1）求椭圆 C的方程；
（2）过点 P（4，1）的动直线 l与椭圆 C交于 A，B两点，在线段 AB上一点存在点 Q，满足
AP QB AQ PB ，证明：点 Q在一定直线上.
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