江苏省新高考基地学校 2022届高三第一学期期中质量监测
(第一次大联考)
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 A＝{x|x(x－2)≤0}，B＝{x|－1≤x≤1}，则 A∪B＝
A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，2] D．[1，2]
2．已知复数 z满足(z－3)(1＋i)＝1－i，|z|＝
A． 2 B． 3 C． 5 D． 10
3．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＝－7”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
1
4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体
是一个刍童，其中上下底面为正方形边长分别为 6和 2，侧面是全等的等
腰梯形梯形的高为2 2，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水
的体积为
A 14 2 B 28． ． C 28 2 D 52． ．
3 3 3 3
2
6＋2
再水面的正方形的长为 ＝4，
2
5．关于函数 y＝sin(2x＋φ)(φ∈R)有如下四个命题：
π π
甲：该函数在(－ ， )上单调递增；
3 6
π
乙：该函数图象向右平移 个单位长度得到一个奇函数；
12
5π
丙：该函数图象的一条对称轴方程为x＝－ ；
6
π
丁：该函数图像的一个对称中心为( ，0)．
12
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6 1－x．已知函数f(x)＝ln ＋2，则关于 x的不等式 f(2x－1)＋f(2x)＞4的解集为
1＋x
A．(0 1) B 1 1 1 1， ．( ， ) C．(－ ， ) D．( ，＋ )
4 4 2 4 4
3
7．若 3sinα＋cosα 2 2π＝ ，则cos( －2α)＝
3 3
A 8 B 8．－ ． C 17 D 17．－ ．
9 9 18 18
8．设 k＞0，若不等式klog3(kx)
x
－3 ≤0 在 x＞0时恒成立，则 k的最大值为
A．e B．eln3 C．log3e D．3
4
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知 x，y∈R 1 1，且 ＜ ＜0，则
x y
A x y 0 B sinx siny 0 C 2x 2y 0 D y x． － ＞ ． － ＞ ． － ＞ ． ＋ ＞2
x y
10．设数列{an}的前 n项和为Sn，若an与Sn的等差中项为常数 t，则
A．数列{an}是等比数列 B．an＋2an≥0
C 1．数列{ }是递增数列 D．当且仅当 t＜0时，数列{(n＋1)an}是递增数列an
5
11 y 1．若直线 ＝ x＋b(b∈R)是曲线 y＝f(x)的切线，则曲线 y＝f(x)可以是
2
A．f(x) x3＝ ＋2x2＋8 B．f(x)＝tanx C．f(x)＝xex D．f(x)＝ln 1
2x＋1
6
12．设 m∈R，直线 mx－y－3m＋1＝0 与直线 x＋my－3m－1＝0 相交于点 P(x，y)，线段
AB是圆 C：(x＋2)2 2＋(y＋1) ＝4的一条动弦，Q为弦 AB的中点，|AB|＝2 3，下列说法正确
的是
A．点 P在定圆(x 22 2－ ＋(y－2) ＝8 B．点 P在圆 C外
→ →
C．线段 PQ长的最大值为6＋ 2 D．PA·PB的最小值为15－8 2
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13．已知向量 a，b 满足|a|＝2，b＝(1，2 2)，|a＋b|＝ 19，则 a，b 的夹角为 ．
7
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数 f(x)＝ ．
①f(x)＝－f(1＋x)；②f′(x)是偶函数．
15．某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排
放，己知过滤过程中废气的剩余污染物数量 P(单位：mg/L)与过滤时间 t(单位：小时)之间的
P P e－kt关系式为 ＝ 0 其中P0为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过 3个小时废
气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的 50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过 5%，
过滤开始后需要经过 n小时，则 k＝ ，正整数 n的最小值为 ．
(参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)
16．如图，在矩形 ABCD中，AB＝2，AD＝x，AC与 BD交于点 O，将△ACD沿直线 AC翻
折，形成三棱锥 D－ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得 OB⊥AD，则 x的取值范围
是 ．
8
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知等差数列{an}满足an＋an＋1＝4n，n∈N*．
(1)求{an}的通项公式；
an，n为奇数，
(2)设b1＝1，bn＋1＝ n 求数列{b }的前 2n项和S ．－bn＋2 ，n为偶数， n 2n
【解析】
9
10
18．(12分)
在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c．且满足(a＋2b)cosC＋ccosA＝0．
(1)求角 C的大小；
(2)设 AB边上的角平分线 CD长为 2，求△ABC的面积的最小值．
【解析】
19．(12分)
a
已知函数f(x)＝1－ x 为奇函数．5 ＋1
(1)求实数 a的值；
(2) 2 2若存在 m∈[－1，1]，使得不等式f(x )＋f(mx－2)≤2－x －mx成立，求 x的取值范围．
【解析】
11
12
20．(12分)
如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，D，E分别是 AC，BB1的中点．
(1)证明：BD//平面 A1CE；
(2)求二面角 A－EA1－C的余弦值．
【解析】
(2)
13
21．(12分)
在平面直角坐标系 xOy |MA| 1中，已知 A(1，0)，B(4，0)，点 M满足 ＝ ．记 M的轨迹为 C．
|MB| 2
(1)求 C的方程；
(2) 2 2设圆 C2：x ＋y －8x＋15＝0，若直线 l交曲线 C于 P，Q两点，l交圆 C1于 R，S两点，
且PQ|＝2|RS|，证明：直线 l过定点．
【解析】
14
22．(12分)
x －x
已知函数f(x)＝e －e －ax，a∈R．
(1)讨论 f(x)的单调性；
(2)若 f(x)存在两个极值点 x1，x2(x1＜x2) x x，求证：f(x1)－f(x2)＜(2－a)(e 1－e 2)．
【解析】
15
16江苏省新高考基地学校2022届高三第一学期期中质量监测
数 学 试 卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x|x(x－2)≤0}，B＝{x|－1≤x≤1}，则A∪B＝
A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，2] D．[1，2]
2．已知复数z满足(z－3)(1＋i)＝1－i，|z|＝
A． B． C． D．
3．已知直线：，则“”是“m＝－7”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图池盆几何体是一个刍童，其中上下底面为正方形边长分别为6和2，侧面是全等的等腰梯形梯形的高为，若盆中积水深为池盆高度的一半，则该盆中积水的体积为
A． B． C． D．
5．关于函数y＝sin(2x＋φ)(φ∈R)有如下四个命题：
甲：该函数在()上单调递增；
乙：该函数图象向右平移个单位长度得到一个奇函数；
丙：该函数图象的一条对称轴方程为；
丁：该函数图像的一个对称中心为．
如果只有一个假命题，则该命题是
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知函数，则关于x的不等式f(2x－1)＋f(2x)＞4的解集为
A． B． C． D．(，＋)
7．若，则
A． B． C． D．
8．设k＞0，若不等式≤0 在x＞0时恒成立，则k的最大值为
A．e B．eln3 C．log3e D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知x，y∈R，且＜0，则
A．x－y＞0 B．sinx－siny＞0 C．＞0 D．＞2
10．设数列的前n项和为，若与的等差中项为常数t，则
A．数列是等比数列 B．≥0
C．数列是递增数列 D．当且仅当t＜0时，数列{(n＋1)}是递增数列
11．若直线是曲线y＝f(x)的切线，则曲线y＝f(x)可以是
A． B．f(x)＝tanx C． D．
12．设m∈R，直线mx－y－3m＋1＝0与直线x＋my－3m－1＝0相交于点P(x，y)，线段AB是圆C：的一条动弦，Q为弦AB的中点，，下列说法正确的是
A．点P在定圆 B．点P在圆C外
C．线段PQ长的最大值为 D．的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a，b满足|a|＝，则a，b的夹角为 ．
14．写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)＝ ．
①f(x)＝－f(1＋x)；②f′(x)是偶函数．
15．某火电厂对其使用的燃煤进行精细化碳排放污染物控制，产生的废气经过严格过滤后排放，己知过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)之间的关系式为其中为废气中原污染物总量，k为常数．若过滤开始后经过3个小时废气中的污染物被过滤掉了原污染物总量的50%，那么要使废气中剩余污染物含量不超过5%，过滤开始后需要经过n小时，则k＝ ，正整数n的最小值为 ．
(参考数据：ln2≈0.693，ln5≈1.609)
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D－ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知等差数列满足，n∈N*．
(1)求的通项公式；
(2)设求数列的前2n项和．
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且满足(a＋2b)cosC＋ccosA＝0．
(1)求角C的大小；
(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值．
19．(12分)
已知函数为奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)若存在m∈[－1，1]，使得不等式成立，求x的取值范围．
20．(12分)
如图，在正三棱柱ABC中，AA1＝3，AB＝2，D，E分别是AC，BB1的中点．
(1)证明：BD//平面A1CE；
(2)求二面角A－EA1－C的余弦值．
21．(12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(4，0)，点M满足．记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设圆C2：，若直线l交曲线C于P，Q两点，l交圆C1于R，S两点，且，证明：直线l过定点．
22．(12分)
已知函数，a∈R．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2(x1＜x2)，求证：f(x1)－f(x2)＜．
