天津市部分区 2021～2022 学年度第一学期期中练习
高三数学参考答案
一、选择题：本大题共 9小题，每小题 5 分，共 45分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D B B D A B C A C
二、填空题：本大题共 6小题，每小题 5 分，共 30分．
1
p : x R, x3 1 x2, 11. ( , )
10. e 12.2 13. 2
3 7
4 2 ( ,3) (3, )
14. 15. 2 2
三、解答题：
16 解：（Ⅰ）
f (x) sin x 3(1 cos x) 3
．...............................................................4 分
sin x 3cos x 2sin(x )
3
f (x)的最小正周期T 2 ． ...............................................................6 分
当sin(x ) 1时， f (x)取得最大值 2． .................................................8 分
3
x
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 f (x) 2sin(x ) ．又 g(x) f ( )．
3 2 6
x x
g(x) 2sin( ) 2cos ． .................................................10 分
2 6 3 2
x
2k 2k ，解得4k 2 x 4k (k Z)
2
函数 g(x)的单调增区间为 (4k 2 ,4k ) (k Z)．................................12 分
x
2k 2k 4k x 4k 2 (k Z)
2 ，解得
函数 g(x)的单调减区间为 (4k ,4k 2 ) (k Z)．...............................14 分
17 解：（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为d ，由已知得
a1 2d 5
，解得a1 1,d 2， ..................................................4 分
2a1 10d 22
所以an 1 2(n 1) 2n 1； ..................................................6 分
n(n 1)
Sn n 2 n
2 ..................................................8 分
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an 1 2n 1，所以
1 1 1 1 1
bn ( ) .................................................12 分
(2n 1)2 1 4n(n 1) 4 n n 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n
所以T = (1- + + + - ) = (1- )=n ，
4 2 2 3 n n+1 4 n+1 4(n+1)
n
即数列 bn 的前n 项和Tn = .................................................14 分
4(n+1) .
k e f (x) ex ex f (x) ex18 解：解：（Ⅰ）由 得 ，所以 e ．
由 f (x) 0得 x 1，故 f (x)的单调递增区间是 (1， )，…………………3 分
由 f (x) 0得 x 1，故 f (x)的单调递减区间是 ( ，1)． ……………………5 分
x
（Ⅱ） 由 f (x) e k 0得 x ln k ． ……………………7 分
x
①当 k (0，1]时， f (x) e k 1 k≥0(x 0) ． ……………………9 分
此时 f (x)在[0， )上单调递增．
故 f (x)≥ f (0) 1 0，符合题意． ……………………10 分
②当 k (1， )时， ln k 0．
当 x 变化时 f (x)，f (x)的变化情况如下表：
x (0，ln k) ln k (ln k， )
f (x) 0
f (x) 单调递减 极小值 单调递增
由此可得，在[0， )上， f (x)≥ f (ln k) k k ln k ． ……………………13 分
依题意， k k ln k 0，又k 1， 1 k e．
综合①，②得，实数 k 的取值范围是0 k e．
……………………15 分
19 解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q(q 1) ，
a1 a2 a3 7，
由已知，得 (a1 3) (a3 4)
， ……………………………………2 分
3a2
2
a1 a2 a3 7 a1(1 q q
2 ) 7
即 ， 也即
a1 6a2 a3 7 a1(1 6q q
2 ) 7
a1 1
解得 ………………………………………………………………………5 分
q 2
故数列{a }的通项为a 2n 1n ． ………………………………………………7 分 n
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a3n 1 2
3n ， ∴b 3nn log2 a3n 1 log2 2 3n ，
又，anbn 3n 2
n 1
Tn 3 3 2 2 3 3 2
2 3n 2n 1 ①
2Tn 3 2 3 2 2
2 3 3 23 3n 2n ②
①-②得： Tn 3 3 2 3 2
2 3 2n 1 3n 2n
3 (1 2 22 2n 1 n n ) 3n 2 3 2 3 3n 2n
Tn 3(n 1) 2
n 3 ……………………………………………12 分
3n
(Ⅲ) c (c c c ) (c c c ) (c c c )…13 分i 1 4 3n 2 2 5 3n 1 3 6 3n
i 1
(1 2 n) (21 22 2n )
n(n 1） （2 2n 1) n2 n
2n 1 2….......................16 分
2 2 1 2 2
20 解：解：(Ⅰ) f (x)定义域为 (0, )
1 1
∵ f (x) 0，
x x2
∴ f (x)的单调增区间为 (0, ) ......................2 分
1
(Ⅱ)h(x) f (x) g(x) ln x ax b ,
x
1 1
则h (x) a， …..................…4分
x x2
∵h(x) f (x) g(x)在 (0, )上单调递增，
1 1
∴对 x 0，都有h (x) a 0 ， .................……6分
x x2
1 1 1 1
即对 x 0，都有a ，∵ 0，∴a 0，
x x2 x x2
故实数a 的取值范围是 ( ,0]． .................……8分
1
(Ⅲ)设切点 (x0 , ln x0 )，
x0
1 1 1
则切线方程为 y (ln x0 ) ( )(x x2 0) ，...................……10分 x0 x0 x0
1 1 1 1 1
即 y ( )x ( )x0 (ln x )
x 2 2
0 ，
0 x0 x0 x0 x0
1 1 2
亦即 y ( )x (ln x0 1)2 ，...............................……12分 x0 x0 x0
1
令 t 0 ，由题意得
x0
1 1 2 2a t t ,b ln x0 1 ln t 2t 12 ， x0 x0 x0
令a b (t) ln t t2 t 1， ..................……14分
1 (2t 1)(t 1)
则 (t) 2t 1 ，
t t
当 t (0,1)时 ， (t) 0， (t)在 (0,1) 上单调递减；
当 t (1, ) 时， (t) 0， (t)在 (1, )上单调递增，
∴a b (t) (1) 1，故a b 的最小值为 1．...............……16分天津市部分区 2021-2022 学年度第一学期期中练习
高三数学
第I卷(共 45分)
一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填写在下表中，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案
1.已知集合（ ）
A． B．
C. D．
2.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和为，若，，则=（ ）
10 B.8 C.6 D.4
4曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
5.函数是（ ）
最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数
6.设，集合，那么是的（ ）
充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知，则（ ）
B.
C. D.
8.函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
9.设函数，则使得不等式成立的取值范围是（ ）
B. C. D.
第II卷(共 105分)
填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分
10.若命题，则的否定
11.函数的单调递增区间为
12.已知，则
13.已知函数，将的图像上所有的点向左平行移动个单位长度，所得图像对应的函数为，若的图像过原点，且，则
14.已知，则的最小值是
15.已知函数是上的奇函数，且当时，，若关于的方程恰有四个互不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分14分）已知函数，
（Ⅰ）求的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）设，求函数的单调区间。
17.（本小题满分14分）
设是等差数列，已知，，的前项和为
（Ⅰ）求的通项公式及；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
18.（本小题满分15分）
设函数，其中
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若，且，恒成立，求的取值范围
19.（本小题满分16分）
设是公比大于1的等比数列，的前项和为，已知，且构成等差数列
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的的前项和；
（III）对任意的正整数，设，，求
20.（本小题满分16分）
已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
（III）若直线是曲线的切线，求的最小值。
1
