杭州重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试
数学学科参考答案
一、二：选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C D A C C B D BD ACD ABC ABD
三、填空题
13． 14． 15． 16．
四、解答题
17．解：
（1）…………………………………………………………（占2分）
…………………………………………………………（占1分）
所以………………………………………………………（占2分）
（第(1)问共占5分，答案若正确不用看过程直接拿5分）
（2）选①等价于……………………………………………………………… （占1分）
当时，等价于，即………………………………………（占1分）
当时，等价于，等价于.……………………………（占2分）
综上所述， ………………………………………………………………………（占1分）
选②的时候，若，等价于，即.…………………………（占1分）
若，等价于
…………（占3分，只写出第一个得2分，第一个不写不得分）
即无解.
综上所述， …………………………………………………………（占1分）
（第(2)问共占5分）
18．解：
（1）………………………………（占2分）
…………………………（占2分）
（第(1)问共占4分）
（2）当时，在上单调递增，此时
……………………（占3分）
当时，在上单调递减，此时，
…………………（占3分）
综上所述， 或 .
（第(2)问共占6分）
19．解：
（1）
………………………………（第（1）问共占5分，可以直接写出答案。第一条式子不占分，第二条式子占2分，第三条式子占3分）
（2），当时，
因为 ，所以，故，于是在上单调递减. ………………………（占1分）
（第（2）问共占5分）
第（2）问方法2（利用奇函数的性质）：，当时，
因为 ，所以，故，于是在上单调递减. ………………………（占1分）
（第（2）问共占5分）
说明：考生使用下面的方法解答也可以，按如下标准评分：
证明：因为是奇函数，要证明在上单调递减，只用证明 在上单调递减. ……………………………………………（该结论本身不占分，但是如果把该结论证明了一遍，且证明正确，则占1分）
，当 时，
因为 ，且，所以 ，故，于是 在上单调递减.………………（占1分）
（第（2）问共占5分）
20．解：
（1）即不等式的解集为，故是方程
的根，故，解得……（占4分，答案正确直接给4分）
（第（1）问共占4分）
（2）.…（参变分离占2分）
等价于存在，使得.此时，令 ，（由双勾函数的性质）可得 在区间上的最大值是，故 ………………………………………（占4分）
（第（2）问共占6分）
第（2）问解法2：即存在，使得，令 （由二次方程根的分布）可得，题意等价于，解得．………………(占6分)
（第（2）问共占6分）
21．解：
（1）意义：在没清洗的时候，蔬菜上的农药量保持不变
.…………（占2分，解释正确占1分，共占3分）
（第（1）问共占3分）
（2）在上单调递减，且.…（共占3分，单调性占2分，不等式占1分，不等式只写出或也给1分.只写出诸如定义域、奇偶性等性质不得分.）
（第（2）问共占3分）
（3）清洗一次时，残留量与没清洗之前的比值为……………………（不占分）
平均分成两份清洗两次时，残留量与没清洗之前的比值为…（占3分）
………………………………………………（占3分）
可得当时，平均分成两次洗，残留量较少.
当时，两种方法残留量相同.
当时，一次性洗残留量较少.………………………………（占3分，每个结论占1分）
（第（3）问共占9分）
22．解：（1）解方程可得，故．………………（占2分）
解方程，可得或或，故 ……（占3分，第（1）问共占5分）
（2）对于任意故，故，故 ．……（占3分）
（第（2）问共占3分）
（3）记，根据题意，关于的方程的解为方程组
解的横坐标，两式相减可得
，
………………（占3分，若解题过程中出现了 也给3分）
该方程的解集与相同，因此方程
无解，或它的解是方程的解．也即
无解，或其解为，从而可得实数的取值范围是 ．………………（占4分）
（第（3）问共占7分，使用其它方法若正确也酌情给分）
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杭州重点中学2021-2022学年高一上学期期中考试
数学学科试题
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题卷。
选择题部分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．命题“”的否定是
A． B．
C． D．
3．已知，，，则的大小关系是
A． B．
C． D．
4．设，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
5．网上购物常常看到下面这样一张表，第一行可以理解为脚的长度，第二行是我们习惯称呼的“鞋号”.为了穿得舒适，鞋子不能挤脚，也不能过长.
SIZE 尺码对照表
中国鞋码实际标注(同国际码) mm 220 225 230 235 240 245 250 255 260 265
中国鞋码习惯叫法(同欧码) 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
一个篮球运动员的脚长为282 mm，则从表格数据可以推算出，他最适合穿的鞋号是
A．45 B．46 C．47 D．48
6．在平面直角坐标系中同时作出函数和的图象，可能是
A． B． C． D．
7．下列函数中，在上单调递增且满足“”的是
A． B．
C． D．
8．若定义在上的函数满足，函数在上单调递减且，则满足的实数的取值范围是
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知，下列命题中正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．下列各组函数中，相同的函数有
A．函数与函数
B．函数与函数
C．函数与函数
D．函数与函数
11．已知函数，下列判断正确的是
A．是偶函数
B．当时，在上单调递增
C．当时，的值域是
D．关于的方程的不同实根个数可以是个
12．设正整数，其中对于任意，. 函数满足.则
A． B．
C． D．
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若幂函数是偶函数，则 ▲ ．
14．已知正实数满足，则的最小值是 ▲ ．
15．以下是面点师制作兰州拉面的一个数学模型：如图所示，在数轴上截取与闭区间对应的线段，该线段长度为个单位．将该线段对折后（坐标对应的点与原点重合），线段数目翻倍，再将每根线段都均匀地拉成长度为个单位的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标和对应的点被拉到坐标，原来的坐标对应的点被拉到坐标，等等）．接下来的每次操作都在上一次操作的基础上进行同样的流程．在第次操作完成后，原闭区间上恰好被拉到坐标的点有若干个，这若干个点在第一次操作之前所对应的坐标形成一个集合，记为，例如．则集合可以用列举法表示为 ▲ ．
（第15题图）
16．已知函数，若对任意，均有，则实数的取值范围是 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知函数的定义域为集合，集合
（1）若，求；
（2）在① ② 这两个条件中选择一个作为已知条件，补充到下面的问题中，并求解.
问题：若 ▲ ，求实数的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（10分）已知函数，其中是不为零的常数.
（1）若，求使得的实数的取值范围；
（2）若在区间上的最大值为，求实数的值.
19．（10分）已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）利用函数单调性的定义证明：函数在上单调递减.
20．（10分）已知函数，其中.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若存在，使得，求实数的取值范围.
21．（15分）用水清洗一堆蔬菜上残留的农药,用水越多洗掉的农药也越多，但总还有农药残留在蔬菜上.设用单位量的水清洗一次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗之前残留的农药量之比为函数.
（1）试规定的值，并解释其实际意义；
（2）根据题意，写出函数的两个性质；
（3）若.现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？说明理由.
22．（15分）设集合，.
（1）若，求集合和（用列举法表示）；
（2）求证：；
（3）若，且，求实数的取值范围．
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高一数学试题卷 第 5 页 共 5 页
