2021--2022学年北师大版 九年级数学上册第二章一元二次方程基本达标测试题(word版含答案)

第二章一元二次方程基本达标测试题---2021--2022学年北师大版（2012）九年级上学期
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0 B．2（x-x2）=0
C．x2-y-2=0 D．mx2=x2+2
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程时，方程可变形为（ ）
A． B． C． D．
4．为精准扶贫，我区扶贫办帮助贫困户承包了一块矩形荒地，建立了三个草莓种植大棚，其布局如图所示；已知矩形荒地AD＝52米，AB＝30米，阴影部分设计为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为1400平方米，则通道宽为（　　）米
A．1 B．2 C．40 D．1或40
5．如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．一元二次方程的解是（ ）
A． B． C．， D．，
7．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，如：max{﹣1，3）＝3．按照这个规定，方程max{2x﹣1，x}＝x2的解为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝1，x2＝0 C．x＝﹣1 D．x＝0
8．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．8 B．11.5 C．10 D．8或11.5
9．设，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
10．已知，则的值是（ ）
A．3或 B．或2 C．3 D．
11．解方程，可用配方法将其变形为（ ）
A． B． C． D．
12．已知关于x的方程（a＋3）x＝10有正整数解，且关于y的一元二次方程y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，则所有符合条件的整数a有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．2019年12月以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒感染引起的急性呼吸道传染病，感染者的临床表现为：以发热、乏力、干咳为主要表现，在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，经过两轮传染后共有144人感染了“新冠”（这两轮感染因为人们不了解病毒而均未被发现未被隔离），则每轮传染中平均一个人传染了（ ）
A．10人 B．11人 C．12人 D．13人
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，P是CD边上一点，M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，以下四种情况，哪一种四边形PMEN不可能为矩形（ ）
A．AD＝3 B．AD＝4 C．AD＝5 D．AD＝6
评卷人得分
二、填空题
15．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________．
16．设x1，x2是方程x2＋2x＋1＝4的两个实数根，则（x1＋1）（x2＋1）的值是______．
17．关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是___．
18．某商品经过连续两次涨价，销售单价由原来元涨到元，设平均每次涨价的百分比为，根据题意可列方程为________．
19．一元二次方程2x2﹣bx＋c＝0的两根为x1，x2，若x1＋x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b＋c＝___．
20．关于x的方程x2＋（2k﹣1）x＋k2﹣1＝0有两个实数根x1，x2，若x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＝3，则k的值为____．
21．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2－5x＋a＝0的两个实数根，且＝10，则a＝__________
22．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：____________．
评卷人得分
三、解答题
23．解方程
（1）
（2）
24．若等腰△ABC的一边长a＝5，另两边b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
25．阅读下列材料
解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为…①，
解这个方程得：．
当时，．∴；
当时，，∴
所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（1）解方程时，若设，求出x．
（2）利用换元法解方程．
26．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根为2，求m的值及另一个根．
27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x＋2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
28．小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
29．如图1，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．
30．某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？
试卷第1页，共3页
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参考答案
1．B
解：当ax2+bx+c=0中时是一元二次方程，故A选项不符合题意；
2（x-x2）=0符合定义，故B选项符合题意；
x2-y-2=0中含有两个未知数，不符合定义，故C选项不符合题意；
当mx2=x2+2中时是一元二次方程，故D选项不符合题意；
故选：B．
2．C
解：，
移项得：，
分解因式：，
∴．
故选C．
3．A
【解】
由配方法解方程时，方程可变形为；
故选A．
4．A
解：设通道的宽为x米，
根据题意得：（52﹣2x）（30﹣2x）＝1400，
解得：x＝40（舍去）或x＝1，
通道的宽为1米；
故选：A
5．A
解：∵二次三项式能分解成的形式，
∴可转化为，
解得，，
故选：A．
6．C
【解】
移项得：，
提取公因式得：，
整理得：，
∴或，
解得：或，
故选：C．
7．D
解：当2x－1＞x时，故x＞1，
则2x－1＝x2，
x2－2x＋1＝0，
（x－1）2＝0，
解得：x1＝x2＝1（不合题意舍去）；
当2x－1＜x时，故x＜1，
则x＝x2，
＝0，
解得：x1＝0，x2＝1（不合题意舍去），
综上所述：方程max{2x﹣1，x}＝x2的解为0，
故答案为：D．
8．B
解：2x2﹣13x+15＝0
（x-5）（2x-3）=0，
解得：x1=5，x2=1.5，
①当等腰三角形的三边为5，1.5，1.5时，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，此时能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5=11.5，
故选：B．
9．D
解：设，
则原式变形为：，
，
∴或，
∴或，
即的值为或，
故选：D．
10．C
解：设，
∵，
∴，即，
∴，
解得或（舍去），
∴，
故选C．
11．B
解：方程两边同时加上6，得，
∴，
故选：B．
12．B
解：∵关于x的方程（a＋3）x＝10有正整数解，
∴a等于-2、2、-1、7；
∵y2－3y＋a－1＝0有两个实数根，
∴（-3）2-4（a-1）≥0，
∴9-4 a+4≥0，
∴a≤，
∴a等于2、-2、-1．
故选：B．
13．B
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意，得：1+x+x(1+x)=144，即x2+2x－143=0，
解得：x1=11，x2=－13（舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了11人，
故选：B．
14．D
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝10，∠C＝∠D＝90°，
∵M、N、E分别是PA、PB、AB的中点，
∴ME、NE是△ABP的中位线，
∴ME∥BP，NE∥AP，
∴四边形PMEN是平行四边形，
当∠APB＝90°时，四边形PMEN是矩形，
设DP＝x，CP＝10﹣x，
由勾股定理得：AP2＝AD2+x2，BP2＝BC2+（10﹣x）2，AP2+BP2＝AB2，
∴AD2+x2+AD2+（10﹣x）2＝102，
AD2+x2﹣10x＝0，
①当AD＝3时，x2﹣10x+9＝0，
x＝1或x＝9，符合题意；
②当AD＝4时，x2﹣10x+16＝0，
x＝2或x＝8，符合题意；
③当AD＝5时，x2﹣10x+25＝0，
x＝5，符合题意；
④当AD＝6时，x2﹣10x+36＝0，无解；
故选：D．
15．且
解：∵方程有两个不相等的实数根，a＝m，b＝﹣1，c＝2，
∴m≠0
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×m ×2＞0，
解得m＜，
∴实数的取值范围是m＜且m≠0．
故答案为m＜且m≠0．
16．-4
解：∵x1，x2是方程x2+2x+1=4的两个实数根，
方程整理得x2+2x-3=0，
∴x1+x2=-2，x1 x2=-3，
∴（x1+1）（x2+1）=（x1+x2）+x1 x2+1=-2-3+1=-4．
故答案为：-4．
17．且
【解】
关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，
解得且．
故答案为：且．
18．162（1+x）2＝200
解：第一次涨价后的价格为162（1+x），
第二次涨价后的价格为162（1+x）（1+x）＝162（1+x）2，
则列的方程为162（1+x）2＝200，
故答案为：162（1+x）2＝200．
19．6
【解】
∵一元二次方程2x2﹣bx＋c＝0的两根为x1，x2，
∴x1＋x2＝-=5，x1 x2＝=﹣2，
∴b=10，c=-4
∴b＋c＝6
故答案为：6．
20．
解：∵方程有两个实数根
∴
∴
解得：
∵x1，x2是关于 x的方程x2＋（2k﹣1）x＋k2﹣1＝0的两个实数根
∴，
∵x1x2＋x1＋x2＝3
∴
∴
∴
即或
解得：
∵
∴
故答案为：
21． ：由两根关系，得x1+x2=5，x1 x2=a，由x12﹣x22=10得：（x1+x2）（x1﹣x2）=10，若x1+x2=5，即x1﹣x2=2，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1 x2=25﹣4a=4，∴a=．
故答案为．
22．x2﹣35x+34=0
【解】：设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．
23．（1）；（2）
解：（1）方法一（因式分解法）：
；
方法二（配方法）：
方法三（公式法）：
（2）方法一（因式分解法）：
方法二（公式法）：
方法三（配方法）：
24．或
【解】
为等腰三角形，
或者之中有一个为，
①当时，
b，c的长度恰好是关于x的一元二次方程 x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的两个实数根，
，
解得，
原方程为，
解得，即，
，
能构成三角形，该三角形的周长为，
②当或之中一个为，将代入原方程，得，
，
解得，
原方程为，
解得，
能组成三角形，
该三角形的周长为．
综上所述，的周长为或．
25．（1），；（2），
解：（1）设y＝x2﹣x，原方程可变形为：y2﹣4y﹣12＝0，
∴因式分解为：，
∴或，
∴或，
对于方程，
解得：，，
对于方程，
移项得：，
∵，
∴上述方程无解，
∴原方程的解为：，．
（2）设y＝，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即，
解得，，
经检验，y＝1是分式方程的根．
∴＝1，
即：，
解得：，．
经检验，1±是上述分式方程的根．
∴原方程的解为：，．
26．解：（1），
∴无论m取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程的一个根为2，
将x＝2代入一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0，
得4﹣2m﹣2＝0，
解得m＝1，
∴一元二次方程为x2﹣x﹣2＝0，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴方程的另一个解是x＝﹣1．
27．（1）见解析；（2）m＜4
解：（1）证明：∵Δ=[-（m-2）]2-4×（2m-8）
=m2-4m+4-8m+32
=m2-12m+36
=（m-6）2．
∵（m-6）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）用因式分解法解此方程x2-（m-2）x+2m-8=0，
可得（x-2）（x-m+4）=0，解得x1=2，x2=m-4，
若方程有一个根为负数，则m-4＜0，
故m＜4．
28．两位同学的解法都错误，正确过程见解析
解：
小敏： 两边同除以，得 ， 则． （×） 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
29．．
解：设当纸盒的高为时，纸盒的底面积是，
依题意，得：，
化简，得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：若纸盒的底面积是，纸盒的高为．
30．每件商品的售价定为16元最为合适．
解：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件，
依题意得：（x-8）（400-20x）=640，
整理得：x2-28x+192=0，
解得：x1=12，x2=16．
又∵现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，
∴x=16．
答：每件商品的售价定为16元最为合适．