2021-2022学年北师大版七年级上册数学期末复习专题——第二章有理数及其运算易错题专练（Word版，附答案解析）

2021北师大版七上数学期末复习专题 有理数及其运算易错题专练
一、单选题
1.（2021七上·梁河月考）若|a|＝5，|b|＝19，且|a+b|＝﹣（a+b），则a﹣b的值为（　　）
A. 24 B. 14 C. 24或14 D. 以上都不对
2.（2021七上·包头月考）若|m﹣n|＝|n﹣m|，则有理数m ， n一定是（　　）
A. 同号两数 B. 异号两数 C. 相等或一个为零 D. 任意两数
3.（2021七上·柯桥月考）计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
4.（2021七上·南通月考）下列说法：①有理数不是整数就是分数；② 一定是正数；③如果 大于 ，那么 的倒数小于 的倒数；④ 个数相乘，积的符号由负因数的个数决定；⑤如果 ，那么 ；⑥如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数.正确的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.（2021七上·长春月考）若 ， ，则 为 　　
A. B. C. D. 或
6.（2021七上·西安月考）如图，数轴表示的是5个城市的国际标准时间（单位：时），如果北京的时间是2020年1月9日上午9时，那么多伦多的时间是（ ）
A. 1月9日晚上21时 B. 1月8日晚上19时 C. 1月9日下午17时 D. 1月8日晚上21时
7.（2019七上·河东期中）如果 ＝﹣1，那么 的值为（ ）
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 不确定
8.（2019七上·射洪期中）四个互不相等的整数 ，它们的积 ，那么 等于（ ）
A. 0 B. 8 C. -8 D.
9.代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|的最小值为 （ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
10.（2017七上·深圳期末）满足 的整数 a 的个数有（ ）
A. 9 个 B. 8 个 C. 5 个 D. 4 个
二、填空题
11.（2021七上·下城开学考）已知 ， ，且 ，则 .
12.（2020七上·龙泉驿期中）已知 、 、 是有理数，且 ， 则 的值是 .
13.（2020七上·丹东期末） 、 、 、 为互不相等的有理数，且 ， ，则 ________．
14.（2019七上·雁塔期中）若a为有理数，则|a﹣3|+|a+4|的最小值是________，|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是________.
15.（2019七上·叙州期中）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，如将(101) ，(1011) 换算成十进制数为：________
16.电影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墙进入“ 站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣ ， 处，AP=2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”．
三、解答题
17.已知有理数a、b、c的位置如图所示，化简 |a+c|+|b+c| |a+b|
18.（2020七上·嘉陵月考）已知 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，求： 值．
19.（2021七上·仁寿期中）我们知道：如果点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|．所以式子|x-3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．利用这个结论，请结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示0和3的两点之间的距离是 ；数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和-4的两点之间的距离是 .
（2）数轴上表示x和-1的两点之间的距离可以表示为|x-(-1)|，即：|x+1|.
如果|x+1|=2，那么x= .
（3）如果数轴上表示数x的点位于2与-3之间，那么|x-2|+|x+3|的值为 .
（4）当x取 时， =，x+3= ；当x取 时，|x-2|+|x+2|=6.
（5）当x取 时，|x+3|+|x-1|+|x-5|的值最小，最小值是
20.（2021七上·南通月考）股民李明上星期五买进春兰公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌（单位：元）情况：（注：用正数记股价比前一日上升数额，用负数记股价比前一日下降数额）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌（元） ＋4 ＋4.5 －1 －2.5 －3
（1）星期三收盘时，每股是多少元？
（2）本周内每股最高价是多少元？最低价是多少元？
（3）已知李明买进股票时付了成交额0.1%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果李明在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
21.（2019七上·龙湖期末）如图，在数轴上点A表示的数a、点B表示数b，a、b满足|a-30|+(b+6)2=0.点O是数轴原点。
（1）点A表示的数为________，点B表示的数为________，线段AB的长为________。
（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=2BC，则点C在数轴上表示的数为________。
（3）现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动；当点P移动到O点时，点Q才从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，且当点P到达A点时，点Q就停止移动，设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距4个单位长度？
22.（2018七上·常熟期中）如图，在数轴上点 表示的数是 点 在点 的右侧，且到点 的距离是18；点 在点 与点 之间，且到点 的距离是到点 距离的2倍.

（1）点 表示的数是________；点 表示的数是________；
（2）若点P从点 出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动。设运动时间为 秒，在运动过程中，当 为何值时，点P与点Q之间的距离为6？
（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为 在运动过程中，是否存在某一时刻使得 ？若存在，请求出此时点 表示的数；若不存在，请说明理由.
23.已知数轴上两点A、B对应的数为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）用x的式子表示线段PA、PB的长度；
（2）数轴上是否存在点P，使PA+PB=5？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向右运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向右运动，在运动的过程中，M，N分别是AP、OB的中点，给出下列两个结论：① 的值不变；② 的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你作出正确的选择，说明理由并求值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵|a|＝5，|b|＝19，
∴a＝±5，b＝±19．
又∵|a+b|＝﹣（a+b），
∴a＝±5，b＝﹣19，
当a＝5，b＝﹣19时，a﹣b＝5+19＝24，
当a＝﹣5，b＝﹣19时，a﹣b＝14．
综上所述：a﹣b的值为24或14．
故答案为：C．
【分析】根据绝对值的性质可以得到a＝±5，b＝±19，再根据|a+b|＝﹣（a+b），可以得到a＝±5，b＝﹣19，最后代入计算即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】解：由题意可得 可得 与 互为相反数，
所以，不论 为任意数，都有
故答案为：D
【分析】 由 与 互为相反数，且互为相反数的绝对值一定相等，据此判断即可.
3.【答案】 D
【解析】【解答】解： =.
故答案为：D.
【分析】先根据逆运用同底数幂的乘方法则将原式变形，再逆运用积的乘方法则，再计算即可.
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：①整数和分数统称有理数，所以有理数不是整数就是分数，说法正确，符合题意；
②一个正数的绝对值是他本身，一个负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，所以 一定是非负数，原说法错误，不符合题意；
③如果 ， ，满足 ，但 的倒数1大于 的倒数 ，原说法错误，不符合题意；
④ 个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，原说法错误，不符合题意；
⑤如果 ，那么 ，原说法错误，不符合题意；
⑥如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意；
正确的说法共1个.
故答案为：A.
【分析】根据有理数的分类可判断①；根据绝对值的非负性判断②；利用举出实例的方法如取a=1，b=-2，求出倒数，据此判断③；根据有理数的乘法法则可判断④；若(-x)2=4，则x=±2，据此判断⑤；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，据此判断⑥.
5.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵|x|=7，|y|=9，
∴ ；
则x-y=-16或2或-2或16．
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的性质可以得到 ，再分类将x、y的值代入计算即可。
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据数轴上可知，北京与多伦多两地的时间差为：8-(-4)=12小时，
即：北京时间比多伦多时间快12小时，
∴当北京时间是2020年1月9日上午9时，多伦多时间为2020年1月8日晚上21时，
故答案为：D.
【分析】根据数轴上两点间的距离，类比北京和多伦多两地时间差，照此解答即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】因为 ＝﹣1，
所以a、b、c两负一正，
令a＞0，则b＜0，c＜0，
∴ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0
所以
═﹣1+1﹣1+1
＝0．
故答案为：C ．
【分析】根据题目已知，先判断a、b、c的正负，再判断ab、ac、bc、abc的正负，最后计算得结论．
8.【答案】 A
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】由于 ，且 是整数，所以把9分解成四个不相等的整数的积，从而可确定 的值，进而求其和．
9.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵①当x＜﹣2时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=1﹣x﹣x﹣2+3﹣x=2﹣3x＞8，
②当﹣2≤x＜1时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=1﹣x+x+2+3﹣x=6﹣x，即5＜6﹣x≤8
③当1≤x＜3时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=x﹣1+x+2+3﹣x=4+x，即5≤4+x＜7，
④当x≥3时，|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|=x﹣1+x+2+x﹣3=3x﹣2≥7，
∴|x﹣1|+|x+2|+|x﹣3|的最小值是5．
故答案为：C
【分析】当代数式为0时，x分别等于1、等于3、等于（-2），所以x可以在四个区间进行取值，共有四种情况，根据四种情况，计算相应的代数值，比较大小即可。
10.【答案】 D
【解析】【解答】令2a+7=0，2a-1=0，解得， , ,
1）当 时，
，
.舍去.
2） 时，
,
0=0，所以a为任何数，所以a为-3，-2，-1,0.
3） 时， ,
,舍去.
综上，a为-3，-2，-1,0.
故D符合题意.
故答案为：D.
【分析】先令2a+7=0，2a-1=0求出a的值，再分情况讨论绝对值里面代数式的符号去掉绝对值符号，求出符合条件的a值.
二、填空题
11.【答案】 -2或-8
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴b=±3，a=-5，
①当 时， ；
②当 时，
的值为-2或-8.
故答案为：-2或-8.
【分析】由绝对值的性质可得a=±5，b=±3，由|a-b|=b-a可得b≥a，则b=3、a=5或b=-3、a=-5，然后代入进行计算.
12.【答案】 -1
【解析】【解答】解：∵ ，
∴a，b，c中只能有一个负数，另两个为正数，
不妨设 ， ， ，
∵
∴ ， ， ，
∴原式
.
故答案为： .
【分析】 由 ， ， 可得a，b，c中只能有一个负数，另两个为正数，不妨设 ， ， ，由 ， 可得 ， ， ，然后代入式子中，再根据绝对值的性质进行化简即可.
13.【答案】 或
【解析】【解答】当 时，
∵ ，即 ，
∴ 与 必互为相反数（否则 ，不合题意），
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，
∴ ( 不合题意，舍去)， ，
∴ ，
∴
当 时，
∵ ，即 ，
∴ 与 必互为相反数（否则 ，不合题意），
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ 或 ，
∴ ， ( 不合题意，舍去)，
∴ ，
∴
故答案为：6或2
【分析】分类讨论，当 和 时，然后利用 得出 的值．
14.【答案】 7；3
【解析】【解答】解：（1）当a＞3时，|a﹣3|+|a+4|＝a﹣3+a+4＝2a+1＞7，
当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|＝3﹣a+a+4＝7，
当a＜﹣4时，|a﹣3|+|a+4|＝﹣a+3﹣a﹣4＝﹣2a﹣1＞7，
由上可得，当﹣4≤a≤3时，|a﹣3|+|a+4|有最小值，最小值是7.
（ 2 ）当a＞1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2﹣a+1＝3，
当﹣2≤a≤1时，|a+2|﹣|a﹣1|＝a+2+a﹣1＝2a+1≤3，
当a＜﹣2时，|a+2|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣2+a﹣1＝﹣3，
由上可得，当a≥1时，|a+2|﹣|a﹣1|有最大值，最大值是3.
故答案为：7、3.
【分析】（1）当a＞3时，当﹣4≤a≤3时，当a＜﹣4时，分3种情况，求出|a﹣3|+|a+4|的最小值是多少即可；
（2）当a＞1时，当﹣2≤a≤1时，当a＜﹣2时，分3种情况，求出|a+2|﹣|a﹣1|的最大值是多少即可.
15.【答案】 21
【解析】【解答】解：由题意可得： ，故答案为：21.
【分析】根据题意可知，将二进制的数转换成十进制只需将二进制中的每个数乘2的n次幂的形式（其中n表示该数字所处位数少一位的数），然后再作和即可得出答案.
16.【答案】
【解析】【解答】解：AB= ﹣（﹣ ）= ，
AP= × = ，
P：﹣ + = ．
故P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”．
故答案为：
【分析】先根据两点之间的距离计算两个数的差，得出AB和AP，从而得出P对应的值，即可得出结论.
三、解答题
17.【答案】 解：由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c
则a+c=0，b+c<0，a+b<0
∴原式=0-(b+c)-[-(a+b)]，
=-b-c+a+b，
=2a.
【解析】【分析】由图可知：b＜a＜0＜c，a=-c，根据绝对值的性质去掉绝对值，计算即可得出答案.
18.【答案】 解：由题意得 ， ， ， ，
∴原式 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ．
【解析】【分析】 由 、 互为相反数， 、 互为倒数， 的平方等于4， 是数轴上到原点的距离为1的数，可得 ， ， ， ， 然后分别代入计算即可.
19.【答案】 （1）3；3；5
（2）-3或1
（3）5
（4）-1；-3；3
（5）1；8
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示0和3的两点之间的距离是|0-3|=0；
数轴上表示-1和-4的两点之间的距离是|-1-（-4）|=3；
数轴上表示1和-4的两点之间的距离是|1-（-4）|=5.
故答案为：3，3，5.
（2）∵|x+1|=2
∴x+1=±2
解之：x1=1，x2=-3.
故答案为：-3或1.
（3）∵数轴上表示数x的点位于2与-3之间，
∴-3＜x＜2
∴x+3＞0，x-2＜0
∴|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5.
（4）∵|x-1|=x+3
∴x-1=±（x+3）
x-1=x+3（不符合题意）
∴x-1=-x-3
解之：x=-1；
当x=3时，|x-2|+|x+2|=6.
故答案为：-1，3.
（5）该算式表示数x的对应点到表示-3，1，5的距离的和，
当x=1时|x+3|+|x-1|+|x-5|的值最小
∴最小值为4+4=8.
故答案为：1，8
【分析】（1）利用数轴上两点A，B，表示的数分别为a，b，则点A，B之间的距离为|a-b|，分别求解即可.
（2）利用绝对值等于2的数有两个，它们互为相反数，可求出x的值.
（3）利用已知可得到x+3＞0，x-2＜0，再化简绝对值，进行计算.
（4）利用绝对值的性质及几何意义，可求出结果.
（5）利用绝对值的几何意义可知该算式表示数x的对应点到表示-3，1，5的距离的和，由此可求出其最小值.

20.【答案】 （1）解：根据题意得： （元 .
故星期三收盘时，每股是34.5元；
（2）解：根据题意得：星期一股价为： （元 ；
星期二的股价为： （元 ，
星期三股价为： （元 ，
星期四的股价为： （元 ，
星期五的股价为： （元 ；
故最高股价为35.5元，最低股价为29元.
（3）解： （元 ，
（元 ，
（元 ，
即他的收益为赚了1900.5元.
【解析】【分析】（1）利用星期五买进的每股的价钱分别加上周一、周二、周三涨跌的钱数列式算出答案；
（2）求出星期一、星期二、星期三、星期四、星期五的股价，然后进行比较；
（3）分别求出购买以及卖出的价钱，然后作差即可.
21.【答案】 （1）30；﹣6；36
（2）6或﹣42
（3）解：①当点Q未出发，P、Q两点相距4个单位长度，
此时t×1=4，所以t=4；
②点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P后面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t﹣4，所以t=7；
③点P用了6秒移动到O点时，点Q才从B点出发。当点Q在点P前面，P、Q两点相距4个单位长度，此时3(t﹣6)= t+4，所以t=11；
所以t=4或t=7或t=11。
【解析】【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b表示的数，然后将点A和点B表示在数轴上，容易求出线段AB的长；
（2）分两种情况讨论：①若点C在线段AB上，则点C为线段AB的三等分点，此时BC=AB=12，易得点C在数轴上表示的数为6；②若点C在线段AB的延长线上，则点B为线段AC的中点，此时BC=AB=36，易得点C在数轴上表示的数为-42.
（3）先求出t秒后点P、Q所对应的数分别是t、3（t-3），然后分三种情况分别列出方程解出t的值即可：①当点Q未出发（0＜t≤6）时，P、Q之间的距离即为点P移动的距离；②点p用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的后面时，点Q表示的数比点P表示的数小4；③点P用了6秒移动到O点（t＞6）时，点Q才开始从B点出发。当点Q在点P的前面时，点Q表示的数比点P表示的数大4。
22.【答案】 （1）15；3
（2）解：由题意可得：存在2种情况点P与点Q之间的距离为6， ①点P与点Q相遇前，18－6＝(4＋2)t ，则t＝2秒； ②点P与点Q相遇后，18＋6＝(4＋2)t ，则t＝4秒. 故答案为：t＝2或4
（3）解：由题意可得：AC＝6,PC＝│6－4t│,QB＝2t, 若PC＋QB＝4, 则│6－4t│＋2t＝4， 解得t＝1或 故答案为：点 表示的数是1或
【解析】【解答】解:（1）由题意可得：AB＝18, A0＝3(0为原点),
∴B0＝AB－A0＝15,
∵BC＝2AC,
∴B0-0C＝2(A0＋0C),
∴0C=3.
故答案为：15,3
【分析】（1）要求点B和点C所表示的数，只需求得OB和OC的长即可。根据数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值可求得AB和AO的值，则BO=AB-AO；再根据BC=2AC=2（AO+OC）即可求解；
（2）由题意可知分两种情况讨论求解：①点P与点Q相遇前；②点P与点Q相遇后；由 点P与点Q之间的距离为6 可列方程求解；
（3）根据数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值可将AC、PC、QB表示出来，再根据 PC＋QB＝4 可列关于t的方程求解。
23.【答案】 （1）解：依题可得：
PA=|x+1|，PB=|x-3|.
（2）解：依题可得：
PA=|x+1|，PB=|x-3|，
∵PA+PB=5，
∴|x+1|+|x-3|=5，
①当x≥3时，
∴x+1+x-3=5，
解得：x=；
②当x≤-1时，
∴-（x+1）-（x-3）=5，
解得：x=-；
③当-1＜x＜3时，
∴x+1-（x-3）=5，
4≠5，
∴x不存在；
综上所述：x的值为 或- .
（3）解：依题可得：
OP=t，AB=5t+20t+4=4+25t，
又∵M，N分别是AP、OB的中点，
∴xM=t-1+5t2=-1+4t2 ，
xN=3+20t2 ，
∴MN=3+20t2+1+4t2=2+12t，
∴①AB+OPMN=4+25t+t2+12t=4+26t2+12t
②AB-OPMN=4+25t-t2+!2t=2，
∴②对，值为2.
【解析】【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可得出答案.
（2）根据数轴上两点间的距离分别表示PA=|x+1|，PB=|x-3|，再由PA+PB=5，即|x+1|+|x-3|=5；分三种情况讨论：①x≥3，②x≤-1，③-1＜x＜3，分别去绝对值，解方程即可得出答案.
（3）根据题意可得OP=t，AB=4+25t，再由M，N分别是AP、OB的中点求得M、N两点对应的数，从而得MN=2+12t，分别将值代入即可得②对，值为2