直线和平面的位置关系
【知识梳理】
1.直线与平面的位置关系：
①图形语言：
②符号语言
③文字语言：直线和平面的位置关系： 、 、 ．
直线在平面内，有 公共点．
直线和平面相交，有 公共点．
直线和平面平行，有 公共点．
说明：直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
2.直线与平面平行
①直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行.
②直线和平面平行的判定定理：如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．(记忆口诀：线线平行 线面平行)
③直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面 ，经过 的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
【典型例题】
【例1】设直线a在平面M内，则平面M平行于平面N是直线a平行于面N的 ( )
A.充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件
C.充分必要条件 D.非充分条件，也非必要条件.
【例2】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
【例3】如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．
【例4】 如图所示，在空间四边形ABCD中，AC、BD为其对角线，E、F、G、H分别为AC、BC、BD、AD上各一点，若四边形EFGH为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH且CD∥平面EFGH.
3.直线与平面垂直
①直线和平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
②直线和平面垂直的判定定理：
定理1：如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
定理2：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.
定理3：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.
③直线和平面垂直性质定理：
定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直与这个平面上的任意一条直线
即：若a⊥，b则
定理2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行
即：若a⊥，b⊥则
④点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．
说明：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
⑤直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．
⑥平面的斜线与平面所成的角
斜线：一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足，斜线上的一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段。
射影：过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的 垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的
注意：直线与平面平行，直线在平面内的射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上
直线和平面所成角定义：平面内的一条斜线和它在平面上的 所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
说明：直线垂直于平面，所成的角是 ，直线平行于平面或在平面内，所成角为
斜线与平面所成角的范围： 直线和平面所成角范围：
7.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.
三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
【典型例题】
【例 1】若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
【例2】如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．(1) 求证：MN⊥CD；(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
【例3】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
【例4】如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；
(3) 求点P到平面ABD1的距离．
【例5】三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．
(1) 求证H是△ABC的垂心；
(2) ．
．
B
C
A
P
M
P
M
B
C
D
A
N
P
D
A
B
C
F
E
A1
C1
D1
A
B
C
D
P
H
O
B1
V
E
H
A
C
B
D立体几何专题之空间距离 学案
一、点到平面的距离
【方法归纳】
（1）定义法：作出点P在平面内的射影A，把PA放在直角三角形中来求。
（2）转化法：
①转化为P到斜线PM的射影MA的距离（线面距离转化为点线距离）
②在过点P平行于平面的直线上另找一点Q，求Q到的距离
③在过点P平行于的平面内另找一点Q，求Q到的距离
（3）等体积法：（常用于三棱锥体中）
【典型例题】
【例1】已知正方体 ABCD- A1B1C1D1是棱长为的正方体，M、N分别是，的中点.
①求到平面BMND的距离 ②求到平面 CNM的距离
【例2】 如图已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2,E是OC的中点，求
C到面ABE的距离.
【例3】 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中 求：（Ⅰ）求的长； （Ⅱ）点到平面的距离 ( http: / / wxc. / )
【例4】在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC的边长为，侧棱AA1=2a,M、N分别为AA1、BB1的中点，求：C1到平面MNB1的距离。（等体积转化法）
二、直线到平面的距离（线面距离转化为点到面的距离）
【方法归纳】在直线上选择合适的点，求该点到异面的距离即可
【典型例题】
【例1】长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，求直线BD到平面AB1D1的距离.
【例2】边长为a的正方形 ABCD的中心为O，且OP 平面ABCD，P到AB的距离为a，求直线CD
到平面PAB的距离。
三、平行平面间的距离
【方法归纳】平行平面间的距离转化为点到平面的距离，再求解。
【典型例题】
【例1】在长方体 ABCD- A1B1C1D1中AB=4，BC=3，CC1=2，求平面A1BC1和平面ACD1间的距离。
【例2】正方体 ABCD- A1B1C1D1中 AB=a，M、N、E、F分别是 A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点
求 证：平面AMN//平面EFDB
②求平面AMN与平面EFDB的距离
四、异面直线之间距离
求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
方法一:定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。
该种方法需要考虑两种情况：
①两条异面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。
②两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。
【例1】 已知：边长a为的两个正方形ABCD和CDEF成1200的二面角，求异面直线CD与AE间的距离。
【例2】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2)求AB和CD间的距离；
(3)求EF和AC所成角的大小.
【例3】 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。
【例4】正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长为b(b＞a)．求：底面对角线AC与侧棱SB间的距离．
方法二:转化为线面距离
若a、b是两条异面直线，过b上一点A作a的平行线c，记c与b确定的平面α。从而，异面直线a、b间的距离等于线面a、α间的距离。
【例1】 S为直角梯形ABCD所在平面外一点，，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=，AD=2，求异面直线SC与AB间的距离．
方法三：转化为面面距离
若a、b是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a∈α、b∈β。求a、b两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。
【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。
方法四：体积法：体积法实质也为线面法本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。
【例1】正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。
【例2】 设长方体的三边长为AB＝5, BC＝4, ＝3,求AB和之间的距离.
方法五：构造函数法求极值法
根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。
【例1】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，①求A1B与D1B1的距离②求AC与BC1
【例2】 已知正方形ABCD和正方形ADEF所在平面互相垂直，并相交于直线AD．这两个正方形的边长均为，求异面直线AE和BD的距离．
D C
E F
A B
B
C
A
D
S
A
B
D
A1
B1
D1
图３
A
B
D
E
F
P
Q
Ｒ
图４
C立体几何初步 第一讲
平面的基本性质、空间直线的位置关系 学案
一、平面的基本性质
【知识梳理】
1.平面——无限延展，无边界
1.1三个公理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线（两个平面的交线）.
公理3：经过不共线的三点有且只有一个平面.
推论1：经过直线与直线外的一点有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.图形语言，文字语言，符号语言的转化：
【典型例题】
【例1】 正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于O，AC、BD交于点M．
求证：点C1、O、M共线．
【例2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点， ( http: / / www.21cnjy.com / )求证：(1) E、C．D1、F四点共面；
(2) CE、D1F、DA三线共点． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【例3】 已知直线与三条平行线a、b、c都相交．求证：与a、b、c共面．
【例4】 已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内，求证：直线AB和CD既不相交也不平行．
二、空间图形的位置关系
(一) 空间直线的位置关系
【知识梳理】
1.空间直线的位置关系：
2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：
3.等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4.异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面直线。
5.图形语言： 符号语言：
6.异面直线所成的角
（1）范围：；
（2）作异面直线所成的角：平移法.
如下图，在空间任取一点O，过O作，则所成的角为异面直线所成的角。特别地，找异面直线所成的角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，形成异面直线所成的角.
【典型例题】
【例 1】 若∥，，则的位置关系是（ ）
A.异面直线 B.相交直线
C.平行直线 D.相交直线或异面直线
【例 2】 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（ ）
Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．90° Ｄ．120°
【例3】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M、N分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，求NM与AN所成的角．
【例4】在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别为AB、CD的中点，EF＝，求AD、BC所成角的大小．
【例5】正ABC的边长为a，S为ABC所在平面外的一点，SA＝SB＝SC＝a，E，F分别是SC和AB的中点．
(1) 求异面直线SC和AB的距离；
(2) 求异面直线SA和EF所成角的余弦值．
【例6】 如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点．
(1) 求异面直线D1P与AM的位置关系，CN与AM所成角的余弦值；
(2) 判断D1P与AM是否为异面直线？若是，求其距离
（二）直线与平面的位置关系
1.直线与平面的位置关系：
2.图形语言：
（1）直线与平面平行
①直线和平面的位置关系 、 、 ．
直线在平面内，有 公共点．
直线和平面相交，有 公共点．
直线和平面平行，有 公共点．
直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．
②直线和平面平行的判定定理
如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行．
(记忆口诀：线线平行 线面平行)
③直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行)
【典型例题】
【例1】 已知直线b//平面，平面//平面，则直线b与的位置关系为 .
【例2】 如图，P是ABC所在平面外一点，MPB，试过AM作一平面平行于BC，并说明画法的理论依据．
【例3】 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B和AC上的点，且A1M＝AN．求证：MN∥平面BB1C1C．
【例4】 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
(1) 求证：AC⊥BC1；
(2) 求证：AC1∥平面CDB1；
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
（2）直线与平面垂直
①直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直．
②直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
③直线和平面垂直性质
若a⊥，b则
若a⊥，b⊥则
若a⊥，a⊥则
过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
④点到平面距离
过一点作平面的垂线 叫做点到平面的距离．
⑤直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上 到这个平面的距离叫做直线到平面距离．
【典型例题】
【例 1】 若、m、n是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C. 若，则 D．若，则
【例2】 如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC中点．
(1) 求证：MN⊥CD；
(2) 若PDA＝45°，求证：MN⊥面PCD．
【变式】 如图SA⊥面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥SB，且SB∩AE＝E，AF⊥SC，且AF∩SC＝F，求证：(1) BC⊥面SAB；(2) AE⊥面SBC；(3) SC⊥EF．
【例3】如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E、F分别为CD、PB的中点．
(1) 求证：EF⊥平面PAB；
(2) 设AB＝BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．
【变式】 如图，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BAD＝BDC＝90°，AB＝AD＝3，BC＝2CD．求：
(1) 求AC的长；
(2) 求证：平面ABC⊥平面ACD；
(3) 求D点到平面ABC的距离d．
【例4】 如图，棱长为4的正方体AC1，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1＝4CP．
(1) 求直线AP与平面BCC1B1所成角的大小；
(2) 设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；
(3) 求点P到平面ABD1的距离．
【变式】 三棱锥V－ABC的三条侧棱VA、VC两两垂直，顶点V在底面内的射影是H．
(1) 求证H是△ABC的垂心；
(2) ．
．
C
O
D
A
B
M
B1
C1
D1
A1
A
B
E
C
D
F
A1
B1
C1
D1
G
C
B
A
M
A1
B1
C1
N
A
E
B
C
F
D
B
M
A
N
C
S
P
C1
D1
M
B1
A1
D
N
C
B
A
B
C
A
P
M
A
D
B
B1
C1
A1
C
P
M
B
C
D
A
N
S
A
B
C
F
E
P
D
A
B
C
F
E
A
B
D
C
A1
C1
D1
A
B
C
D
P
H
O
B1
V
E
H
A
C
B
D立体几何的初步综合复习 学案
【知识网络】
【典例精析】
1.空间几何体及三视图
【例1】 用一些棱长为1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图则这个几何
体的体积最大是 cm3．
图1（俯视图） 图2（主视图）
【例2】一个多面体的直观图及三视图如图所示，则多面体的体积为 ．
【例3】如果一个几何体的三视图如图所示(单位长度: cm), 则此几何体的表面积是 。
2.平行与垂直
【例4】已知：正方体，，E为棱的中点．
⑴求证：；
⑵求证：平面；
⑶求三棱锥的体积
【例5】 多面体中，，，，。
（1）求证：；
（2）求证：
【例6】 Rt△ABC所在平面外一点S满足SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
3.距离与角
（1）空间角
1.异面直线所成的角
2.直线与平面所成的角
【例7】已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：
⑴直线AD与平面BCD所成角的大小；
⑵直线AD与直线BC所成角的大小；
【例8】如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．
⑴.求PB与平面BCD所成角；
⑵.求BP与平面PCD所成的角.
（2）空间距离
①点到直线的距离：点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的距离。在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的长即可。
②点到平面的距离：点Ｐ到平面的距离为点Ｐ到平面的垂线段的长．常用求法①作出点Ｐ到平面的垂线后求出垂线段的长；②转移法，如果平面的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法
③异面直线间的距离：异面直线间的距离为间的公垂线段的长．常有求法①先证线段ＡＢ为异面直线的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式求距离。
④直线到平面的距离：只存在于直线和平面平行之间．为直线上任意一点到平面间的距离。
⑤平面与平面间的距离：只存在于两个平行平面之间．为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
以上所说的所有距离：点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离。
【例9】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离
【例10】如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点 ( http: / / www. / wxc / )
求 (1)Q到BD的距离；
(2)P到平面BQD的距离 ( http: / / www. / wxc / )
2
俯视图
主视图
左视图
2
1
2
A
B
C
D
E平面与平面之间的位置关系 学案
【知识梳理】
一、平面与平面之间的位置关系：
1.图形语言：
2.符号语言：
3.文字语言：两个平面的位置关系： 、
二、平面与平面平行
1．两个平面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(记忆口诀：线面平行，则面面平行)
符号语言：
2.两个平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它所有的 平行．
(记忆口诀：面面平行，则线线平行)
符号语言：
3.两个平行平面距离
和两个平行平面同时 的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分叫做两个平面的 ，两个平行面的公垂线段的 ，叫做两个平行平面的距离．
【典例精析】
【例1】 给出下列四个命题：
(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.
(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行.
(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点.
(4)若直线l在平面α内，且l与平面β平行，则平面α与平面β平行.
其中正确命题的个数共有 _ _个.
【例2】如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为8，M，N，P分别是A′B′，AD，B B′的中点.
（1）画出过点M，N，P的平面与平面ABCD的交线以及与平面BB′C′C的交线；
（2）设平面PMN与棱BC交于点Q，求PQ的长.
【例3】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1中点．
(1) 求证：平面AMN∥平面EFDB；
(2) 求异面直线AM、BD所成角的余弦值．
解：(1) 易证EF∥B1D1 MN∥B1D1 ∴EF∥MN AN∥BE 又MN∩AN＝N EF∩BE＝E ∴面AMN∥面EFDB
(2) 易证MN∥BD ∴∠AMN为AM与BD所成角 易求得:cos∠AMN＝
【例4】已知平面∥平面，AB、CD是夹在平面和平面间的两条线段，点E、F分别在AB、CD上，且．求证：EF∥∥．
证明：1°若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC β∩γ＝BD
∵α∥β ∴AC∥BD 又∵ ∴EF∥AC∥BD ∴EF∥α∥β
2°若AB与CD异面，过A作AA'∥CD 在AA'截点O，使
∴EO∥BA' OF∥A'D ∴平面EOF∥α∥β ∴EF与α、β无公共点 ∴EF∥α∥β
【例5】如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C、点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，试求△DEF的面积．
解：平面α∥平面β，∴AB∥DF，AC∥DE，
∴∠CAB＝∠EDF．在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，同理DE＝AC．
S△DEF＝DF·DE sin∠EDF＝S△ABC＝96．
【例6】如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，
（1）求证：平面MNG//平面ACD；
（2）求
解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。
证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有：
连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD
（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。
解：由（1）可知，∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD,同理：NG＝AC，MN＝CD，
∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，∴＝1：9
三、面面垂直
（1）定义：若二面角的平面角为，则；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号语言：（线面垂直面面垂直）
（3）性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
①若，二面角的一个平面角为，则；
②（面面垂直线面垂直）；
③ .
④
【例1】设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个说法：①；②；③ ④，说法正确的序号是：_________________
【例2】已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面.其中正确的序号是
【例3】 如图所示，在四面体S－ABC中，SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°．
求证：平面ABC⊥平面BSC．
【例4】 如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．证明：AB⊥平面VAD；
【例5】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是菱形，四边形BCC1B1是矩形，AB⊥BC，CB＝3，AB＝4，∠A1AB＝60°.⑴ 求证：平面CA1B⊥平面A1ABB1；⑵ 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；(3) 求点C1到平面A1CB的距离．
基础过关
P
M
N
C′
D′
B′
A′
′
D
C
B
A
A1
A
B
C
B1
C1
E
F
M
N
D1
D
Q
F
D
E
C
A
B
α
β
P
A
B
D
C
P
H
F
M
G
N
图2－24
D
S
C
B
A
C
B
A
V
D
B
C
A
A1
B1
C1
