直线与方程 学案
【知识梳理】
一、直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
①关于倾斜角的概念要抓住三点：ⅰ.与x轴相交;ⅱ.x轴正向;ⅲ.直线向上方向.
②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.
③倾斜角的范围.
2．直线的斜率
①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。
②经过两点的直线的斜率公式是:
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
二、两条直线平行与垂直的判定
1．两条直线平行
对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。
2．两条直线垂直
如果两条直线斜率存在，设为，则
注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。
三、直线方程的几种形式
名称 方程的形式 已知条件 局限性
点斜式 为直线上一定点k为斜率 不包括垂直于x轴的直线(存在)
斜截式 k为斜率，b是直线在y轴上的截距 不包括垂直于x轴的直线(存在)
两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x轴和y轴的直线()
截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线()
一般式 Ax+By+C=0 A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线
注：过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若x1= x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）
四、线段的中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x，y），则此公式为线段的中点坐标公式。
五、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是：，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点间的距离公式：
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离：
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。
六、两条直线的位置关系
【题型透析】
1.直线的倾斜角
已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。
〖例1〗已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。
2.直线的斜率及应用
1．斜率公式：与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；
2．求斜率的一般方法：
（1）已知直线上两点，根据斜率公式 求斜率；
（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；
3．利用斜率证明三点共线的方法：
已知若，则有A、B、C三点共线。
注：斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。
〖例2〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：
4.两条直线的平行与垂直
〖例3〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。
（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；
（2）∠MPN是直角。
5.直线方程的求法
1．求直线方程应先选择适当的直线方程形式并注意各种形式的适用条件。基本方法包括利用条件直接求直线的基本量和利用待定系数法求直线的基本量。
用待定系数法求直线方程的步骤：
（1）设所求直线方程的某种形式；
（2）由条件建立所求参数的方程（组）；
（3）解这个方程（组）求参数；
（4）把所求的参数值代入所设直线方程。
2．求直线方程时，首先分析具备什么样的条件；然后恰当地选用直线方程的形式准确写出直线方程。要注意若不能断定直线具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论。在用截距式时，应先判断截距是否为0。若不确定，则需分类讨论。
〖例4〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。
6.用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线，，则
（1）
（2）
（3）
（4）
〖例5〗已知直线和直线，（1）试判断与是否平行；（2）⊥时，求的值。
7.直线系方程
〖例6〗过点P(-3,2)和直线2x+3y-1=0平行的直线方程。
〖例7〗过点P（-1，2）且与直线x-4y-1=0垂直的直线方程
〖例8〗若m为实数，则直线（m-1）x+(2m-1)y-m+5=0恒过定点
8.直线方程的应用
利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。
另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。
注：（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。
（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。
〖例9〗如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。
（1）当⊿AOB的面积最小时，求直线的方程；
（2）当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，求直线的方程。
9.直线的交点坐标与距离公式
（一）有关距离问题
1．点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。
2．点到几种特殊直线的距离
（1）点到x轴的距离。
（2）点到y轴的距离.
（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。
（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.
注：点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。
〖例10〗已知点P（2，-1）.（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。
〖例11〗直线l经过点P（1，2），且点M(2,3)、N（4，-5）到l的距离相等，求直线l的方程。
（二）有关对称问题
（1）中心对称
①若点及关于对称，则由中点坐标公式得：
②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。
（2）轴对称
①点关于直线的对称
若两点关于直线：Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组：
可得到点关于对称的点的坐标（其中）
②直线关于直线的对称
此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
〖例12〗求直线关于直线对称的直线的方程。
（三）解析法（坐标法）应用
〖例13〗如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。第二讲 直线与圆 学案
【知识网络】
一、圆的方程
【知识梳理】
1．圆的定义
（1）在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
（2）确定一个圆的要素是圆心和半径。
2．圆的方程
圆的标准方程 圆的一般方程
方程
圆心坐标 （a,b）
半径 r
注：方程表示圆的充要条件是
3．点与圆的位置关系
已知圆的方程为，点。则：
（1）点在圆上：；
（2）点在圆外：；
（3）点在圆内：。
4．确定圆的方程方法和步骤
确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于a,b,r或D、E、F的方程组；
（3）解出a,b,r或D、E、F代入标准方程或一般方程。
注：用待定系数法求圆的方程时，如何根据已知条件选择圆的方程？（当条件中给出的是圆上几点坐标，较适合用一般方程，通过解三元方程组求相应系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、圆的切线方程、圆弦长等条件，适合用标准方程。对于有些题，设哪种形式都可以，这就要求根据条件具体问题具体分析。）
【题型梳理】
1.圆的方程的求法
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1．确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a,b）和半径r.
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方程为：由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确定D、E、F的值。
3．以为直径的两端点的圆的方程为：
注：在求圆的方程时，常用到圆的以下性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在任一弦的中垂直上；
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
〖例1〗求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为的圆的方程。
2.与圆有关的最值问题
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1．求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如（1）形如m=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；（2）形如t=ax+by的最值问题，可转化为直线在y轴上的截距的最值问题；（3）形如m=的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题。
2．特别要记住下面两个代数式的几何意义：
表示点(x,y)与原点（0，0）连线的直线斜率，表示点（x,y）与原点的距离。
〖例2〗已知实数、满足方程。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求-的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值。
3.与圆有关的轨迹问题
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1．解决轨迹问题，应注意以下几点：
（1）求方程前必须建立平面直角坐标系（若题目中有点的坐标，就无需建系），否则曲线就不可转化为方程。
（2）一般地，设点时，将动点坐标设为（x,y），其他与此相关的点设为等。
（3）求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形。
2．求轨迹方程的一般步骤：
（1）建系：设动点坐标为（x,y）；
（2）列出几何等式；
（3）用坐标表示得到方程；
（4）化简方程；
（5）除去不合题意的点，作答。
〖例3〗设定点M（-3，4），动点N在圆上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹。
4.圆的方程的应用
〖例4〗在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.
5.有关圆的实际应用
〖例5〗有一种大型商品，A、B两地都有出售，有价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍。已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低。求P地居民选择A地或B地购物总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？
注：在解决实际问题时，关键要明确题意，掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题解决。
二、直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置关系 相离 相切 相交
公共点个数 0个 1个 2个
几何特征（圆心到直线的距离，半径）
代数特征（直线与圆的方程组成的方程组） 无实数解 有两组相同实数解 有两组不同实数解
注：在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆台上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解。
2．圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
公共点个数 0 1 2 1 0
几何特征（圆心距，两圆半径，，）
代数特征（两个圆的方程组成的方程组） 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
【题型梳理】
1.直线和圆的位置关系
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直线和圆的位置关系的判定有两种方法
（1）第一种方法是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组，转化为一元二次方程，再利用判别式⊿来讨论位置关系，即
⊿>0直线与圆相交;
⊿=0直线与圆相切;
⊿<0直线与圆相离.
（2）第二种方法是几何的观点，即将圆心到直线的距离d与半径r比较来判断，即
dd>r直线与圆相切；
d=r直线与圆相离。
〖例1〗已知圆
（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线上；
（2）与平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
（3）求证：任何一条平行于且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。
2.圆与圆的位置关系
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1．判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法；
2．若两圆相交，则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去项即可得到；
3．两圆公切线的条数（如下图）
（1）两圆内含时，公切线条数为0；
（2）两圆内切时，公切线条数为1；
（3）两圆相交时，公切线条数为2；
（4）两圆外切时，公切线条数为3；
（5）两圆相离时，公切线条数为4。
因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系，反过来知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系。
〖例2〗求经过两圆和的交点，且圆心在直线x－y－4=0上的圆的方程
〖例3〗如果圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，求实数a的取值范围.
3.圆的切线及弦长问题
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1．求圆的切线的方法
（1）求圆的切线方程一般有两种方法：
①代数法：设切线方程为与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式⊿=0进而求得k。
②几何法：设切线方程为利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k。
两种方法，一般来说几何法较为简洁，可作为首选。
注：在利用点斜式求切线方程时，不要漏掉垂直于x轴的切线，即斜率不存在时的情况。
（2）若点在圆上，则M点的圆的切线方程为。
〖例4〗 直线y＝x＋b与曲线有且仅有一个公共点，求b的取值范围。
〖例5〗 过点P（1，2）作圆x2＋y2＝5的切线L，求切线L的方程。
2．圆的弦长的求法
（1）几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为L，则。
（2）代数法：设直线与圆相交于两点，解方程组消y后得关于x的一元二次方程，从而求得则弦长为：。
〖例6〗已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4，求l的方程；
(2)求圆C内过点P的弦的中点的轨迹方程.
4.直线、圆位置关系的综合应用
〖例7〗如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为, 点在边所在直线上．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的方程．
