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§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体积的计算公式．2．会利用柱体、锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．
1．旋转体的表面积
名称 图形 公式
圆柱 底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 底面积：S底＝________侧面积：S侧＝________表面积：S＝________
圆台 上底面面积：S上底＝____________下底面面积：S下底＝____________侧面积：S侧＝__________表面积：S＝________________
2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h．
一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
A．8 B． C． D．
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
A． B． C． D．
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A．a∶b B．b∶a C．a2∶b2 D．b2∶a2
5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别为( )
A．24π cm2,12π cm3 B．15π cm2,12π cm3
C．24π cm2,36π cm3 D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
A．7＋ B．＋ C．7＋ D．
二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为________________ cm3．
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________．
三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)
11．已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．
能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A．2π＋2 B．4π＋2
C．2π＋ D．4π＋
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)．
1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角三角形中求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝ShV台体＝h(S＋＋S′)V锥体＝Sh．
4．“补形”是求体积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间的数量关系．
§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr2 2πrl πr2 πrl πr(r＋l) πr′2 πr2 π(r′＋r)l
π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2．(1)Sh (2)Sh
作业设计
1．B [易知2πr＝4，则2r＝，
所以轴截面面积＝×2＝．]
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π2r2，全面积为＝2πr2＋4π2r2，其比为：．]
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
则2πr＝πl，则l＝r，所以
A＝πr2＋πr2＝πr2，B＝πr2，得A∶B＝11∶8．]
4．B [以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πb2a，以长为b的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝πa2b．]
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分别为24π cm2,12π cm3．]
6．A [图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形的四条边的长度为1,1,2，，表面积S表面＝2S底＋S侧面＝(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋)×1＝7＋．]
7．3
解析 由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，
即2πr×3＝2πr2，所以r＝3．
8．或
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝，
所以V＝π·2·8＝(cm3)．
(2)8为底面圆周长，则2πr＝8，所以r＝，
所以V＝π·2·12＝ (cm3)．
9． cm3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
V＝Sh＝ cm3．
10．解
如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S表面积＝S侧＋S上＋S下
＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr
＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)．
故圆台的表面积为1 100π cm2．
h＝＝＝10，
V＝πh(r＋r1r2＋r)
＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π (cm3)．
即圆台的表面积为1 100π cm2，体积为π cm3．
11．
解 如图，E、E1分别是BC、B1C1的中点，O、O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12．
连接OE、O1E1，则OE＝AB
＝×12＝6，O1E1＝A1B1＝3．
过E1作E1H⊥OE，垂足为H，
则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，
HE＝OE－O1E1＝6－3＝3．
在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32
＝32×42＋32＝32×17，
所以E1E＝3．
所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E
＝2×(12＋6)×3＝108．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为2π，四棱锥的底面边长为，高为，所以体积为×()2×＝，所以该几何体的体积为2π＋．]
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面积之和为下底面积最大正方体的底面面积的二倍．
∴S表＝2S下＋S侧
＝2×22＋4×[22＋()2＋12]＝36．
∴该几何体的表面积为36．
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1.3.2 球的体积和表面积
【课时目标】 1．了解球的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实际问题．3．培养学生的空间想象能力和思维能力．
1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．
一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
A． B．
C． D．
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．2倍
C．倍 D．倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶ B．1∶3
C．1∶3 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶∶
C．1∶2∶3 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4
二、填空题
7．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，则火星的大圆周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．
三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截球与三棱锥所得的图形，如图所示，则( )
A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．
1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图形中，再进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题，运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．
1．3．2 球的体积和表面积 答案
知识梳理
1．4πR2 4 2．πR3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝r，再由体积公式求得体积比为．]
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的倍，则体积扩大到原来的2倍．]
3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r1∶r2∶r3＝1∶∶，从而得体积之比为V1∶V2∶V3＝1∶2∶3．]
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝(a、b、c分别是长、宽、高)．]
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，则π(3r)2h＝πr3，可得h∶r＝4∶9．]
7．4
解析 地球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的周长，即2πR地球＝8，故R地球＝(万里)，所以火星的半径为万里，其大圆的周长为4万里．
8．3 cm
解析 设球的半径为r，则36π＝πr3，可得r＝3 cm．
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
(1)当6a2＝4πr2时，V球＝πr3＝a3>a3＝V正方体；
(2)当a3＝πr3时，S球＝4πr2＝6a2<6a2＝S正方体．
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
V圆锥≥V半球，V半球＝×πr3＝×π×43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h．
依题意：π×42×h≥×π×43，解得h≥8．
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，所以高为8 cm时，
制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为h，从而容器内水的体积是V′＝π·(h)2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝r．
即容器中水的深度为r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]
13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2．
②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2．
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r3＝a，
r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2．
综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．
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