2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.3垂径定理 同步达标训练（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.3垂径定理 同步达标训练（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 356.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-23 07:16:31 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.3垂径定理》同步达标训练（附答案）
1．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（ ）
A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm
2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD＝，CA＝，则直径AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC＝3：2，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
7．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
8．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
9．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．下列说法中正确的有（ ）
①垂直平分弦的直线经过圆心；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；
④平分弦的直线，必定过圆心；
⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝30°，CD＝6，则圆的半径长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
13．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
14．在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是 cm．
15．如图，是一个隧道的横断面的示意图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果
M是⊙O弦CD的中点，EM经过圆心O交圆O于点E，并且CD＝4，EM＝6，则⊙O的半径为 ．
16．圆的两条平行弦的长分别为6、8，若圆的半径为5，则这两条平行弦之间的距离为 ．
17．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，点P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ．
19．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8，则拱的半径为 ．
20．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为 ．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长．
22．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
23．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
24．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
参考答案
1．解：作OC⊥AB于C，
根据题意：OA＝OB＝AB＝50mm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝OA cos30°＝25cm．
故选：B．
2．解：连接OC，
∵AB＝20，
∴OC＝OA＝OB＝10，
∵AB⊥CD，AB过O，
∴CE＝DE＝CD＝8，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
故选：A．
3．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
4．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝，
∴CE＝，
在Rt△ACE中，
∵CE＝，CA＝，
∴AE＝＝＝2，
连接OC，设此圆的半径为x，
则OE＝2﹣x，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，即x2＝（）2+（2﹣x）2，
解得x＝．
∴AB＝2x＝2×＝3．
故选：B．
5．解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝4，
∴OC＝AB＝2，
故选：C．
6．解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，
∵CD＝20，
∴OC＝10，
∵OM：MC＝3：2，
∴OM＝6，
在Rt△OAM中，AM＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
7．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（mm），
由勾股定理得，OA＝＝5（mm），
故选：C．
8．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
9．解：如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝2，
即CD的最大值为2，
故选：B．
10．解：
①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心，故①正确；
②任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径，故②错误，同理⑤也错误；
③只要过弦的中点的直线就会平分弦，但未必和弦垂直，故③错误；
④同③可知平分弦的直线不一定会过圆心，故④错误；
∴正确的有1个，
故选：A．
11．解：在等圆中，等弦对的弧不一定是等弧，①错误；
直径所在的直线是圆的对称轴，②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，③错误；
故选：A．
12．解：连接OC，如图所示：
则∠BOC＝2∠A＝60°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝3，
∵sin∠BOC＝，
∴OC＝＝＝2．
故选：A．
13．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
14．解：连接OC、OA．
则OC⊥AB于点D，OC＝OA＝×52＝26cm，OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10cm．
在直角△OAD中，AD＝＝＝24（cm），
则AB＝2AD＝48cm．
故答案是：48．
15．解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
16．解：在直角△OAC中，AC＝AB＝3，
OC＝＝＝4，
同理，EF的弦心距是3，
当两条平行线在圆心的两侧时：两条平行弦之间的距离是4+3＝7；
当两条平行线在圆心的同侧时：两条平行弦之间的距离是4﹣3＝1．
故答案为：7或1．
17．解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∵AB＝8cm，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OA＝×10＝5cm，
∴OE＝＝＝3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm，
故答案为3cm≤OP≤5cm．
18．解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED＝＝，
CD＝2CE＝2，
故答案为2．
19．解：拱桥的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，
∴AD＝12m，
利用勾股定理可得：
122＝AO2﹣（AO﹣8）2，
解得AO＝13m．
即圆弧半径为13米．
故答案为：13．
20．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝8，
∴BM＝DN＝4，
∴OM＝ON＝＝3，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3．
故答案为：3．
21．解：如图，过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝．
22．解：如右图所示，作CP⊥AB于P．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝5．
由S△ABC＝AB CP＝AC BC，
得CP＝×3×4，所以CP＝．
在Rt△ACP中，由勾股定理，得：
AP＝＝．
因为CP⊥AD，所以AP＝PD＝AD，
所以AD＝2AP＝2×＝．
23．解：如图，连接OA，OA交AB于H
∵C是弧AB的中点，
∴OH⊥AB，
在Rt△OAH中，OA＝25，AH＝24，
根据勾股定理得：OH＝＝7，
∴HC＝OC﹣OH＝25﹣7＝18，
在Rt△AHC中，根据勾股定理得：AC＝＝30，
∴AC的长为30．
24．解：（1）
作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE＝1cm，BE＝5cm，E在直径AB上，
∴AB＝1cm+5cm＝6cm，半径OD＝3cm，
∵在Rt△OHE中，OE＝3cm﹣1cm＝2cm，∠OEH＝60°，
∴OH＝cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD＝cm，
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC＝2DH＝2cm；
（2）作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE＝1cm，BE＝5cm，E在直径AB上，
∴AB＝1cm+5cm＝cm6，半径OD＝3cm，
∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，
∴∠OEH＝60°﹣15°＝45°，
在Rt△OHE中，OE＝3cm﹣1cm＝2cm，∠OEH＝45°，
∴OH＝cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD＝＝（cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC＝2DH＝2cm；
即CD＝2cm．
1．在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm，则点O到AB的距离为（ ）
A．50mm B．25mm C．25mm D．25mm
2．如图：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB＝20，CD＝16，则线段BE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若CD＝，CA＝，则直径AB的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，⊙O的半径等于4，如果弦AB所对的圆心角等于90°，那么圆心O到弦AB的距离为（ ）
A． B．2 C．2 D．3
6．如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：MC＝3：2，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
7．如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（ ）
A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
8．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
9．如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．2 B．2 C． D．
10．下列说法中正确的有（ ）
①垂直平分弦的直线经过圆心；
②平分弦的直径一定垂直于弦；
③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦；
④平分弦的直线，必定过圆心；
⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列说法中，正确的个数为：①在等圆中，等弦对等弧；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于这条弦．（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝30°，CD＝6，则圆的半径长为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．
13．往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
14．在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是 cm．
15．如图，是一个隧道的横断面的示意图，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果
M是⊙O弦CD的中点，EM经过圆心O交圆O于点E，并且CD＝4，EM＝6，则⊙O的半径为 ．
16．圆的两条平行弦的长分别为6、8，若圆的半径为5，则这两条平行弦之间的距离为 ．
17．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB＝8cm，点P是弦AB上的一个动点，则OP的取值范围是 ．
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是 ．
19．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度AB为24米，拱高CD为8，则拱的半径为 ．
20．如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为 ．
21．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD的长．
22．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点D，E，求AB，AD的长．
23．如图，已知⊙O的半径长为25，弦AB长为48，C是弧AB的中点．求AC的长．
24．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，∠DEB＝60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
参考答案
1．解：作OC⊥AB于C，
根据题意：OA＝OB＝AB＝50mm，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOC＝30°，
∴OC＝OA cos30°＝25cm．
故选：B．
2．解：连接OC，
∵AB＝20，
∴OC＝OA＝OB＝10，
∵AB⊥CD，AB过O，
∴CE＝DE＝CD＝8，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：OE＝＝6，
∴BE＝10﹣6＝4，
故选：A．
3．解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，
∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，
∴OM＝＝＝3（cm），
∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），
∴AC＝＝＝4（cm）；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，
∵OC＝5cm，
∴MC＝5﹣3＝2（cm），
在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．
故选：C．
4．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝，
∴CE＝，
在Rt△ACE中，
∵CE＝，CA＝，
∴AE＝＝＝2，
连接OC，设此圆的半径为x，
则OE＝2﹣x，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，即x2＝（）2+（2﹣x）2，
解得x＝．
∴AB＝2x＝2×＝3．
故选：B．
5．解：过O作OC⊥AB于C，
∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝OA＝4，
∴OC＝AB＝2，
故选：C．
6．解：连接OA，如图，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM，
∵CD＝20，
∴OC＝10，
∵OM：MC＝3：2，
∴OM＝6，
在Rt△OAM中，AM＝＝8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
7．解：连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（mm），
由勾股定理得，OA＝＝5（mm），
故选：C．
8．解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，连接AD，
∴AD＝AB＝5，
根据垂径定理，得
DE＝BE，
∴CE＝BE﹣BC＝DE﹣2，
根据勾股定理，得
AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，
∴52﹣DE2＝42﹣（DE﹣2）2，
解得DE＝，
∴CD＝DE+CE＝2DE﹣2＝．
故选：C．
9．解：如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝2，
即CD的最大值为2，
故选：B．
10．解：
①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心，故①正确；
②任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径，故②错误，同理⑤也错误；
③只要过弦的中点的直线就会平分弦，但未必和弦垂直，故③错误；
④同③可知平分弦的直线不一定会过圆心，故④错误；
∴正确的有1个，
故选：A．
11．解：在等圆中，等弦对的弧不一定是等弧，①错误；
直径所在的直线是圆的对称轴，②错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，③错误；
故选：A．
12．解：连接OC，如图所示：
则∠BOC＝2∠A＝60°，
∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝3，
∵sin∠BOC＝，
∴OC＝＝＝2．
故选：A．
13．解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
故选：C．
14．解：连接OC、OA．
则OC⊥AB于点D，OC＝OA＝×52＝26cm，OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10cm．
在直角△OAD中，AD＝＝＝24（cm），
则AB＝2AD＝48cm．
故答案是：48．
15．解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CM＝CD＝2，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x＝，
所以圆的半径长是．
故答案为：．
16．解：在直角△OAC中，AC＝AB＝3，
OC＝＝＝4，
同理，EF的弦心距是3，
当两条平行线在圆心的两侧时：两条平行弦之间的距离是4+3＝7；
当两条平行线在圆心的同侧时：两条平行弦之间的距离是4﹣3＝1．
故答案为：7或1．
17．解：过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，
∵AB＝8cm，
∴AE＝BE＝AB＝×8＝4cm，
∵⊙O的直径为10cm，
∴OA＝×10＝5cm，
∴OE＝＝＝3cm，
∵垂线段最短，半径最长，
∴3cm≤OP≤5cm，
故答案为3cm≤OP≤5cm．
18．解：连接OC，
由题意，得
OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，
CE＝ED＝＝，
CD＝2CE＝2，
故答案为2．
19．解：拱桥的跨度AB＝24m，拱高CD＝8m，
∴AD＝12m，
利用勾股定理可得：
122＝AO2﹣（AO﹣8）2，
解得AO＝13m．
即圆弧半径为13米．
故答案为：13．
20．解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
∵AB＝CD＝8，
∴BM＝DN＝4，
∴OM＝ON＝＝3，
∵AB⊥CD，
∴∠DPB＝90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°
∴四边形MONP是矩形，
∵OM＝ON，
∴四边形MONP是正方形，
∴OP＝3．
故答案为：3．
21．解：如图，过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OF＝OE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF＝＝，
则CD＝2DF＝．
22．解：如右图所示，作CP⊥AB于P．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝＝5．
由S△ABC＝AB CP＝AC BC，
得CP＝×3×4，所以CP＝．
在Rt△ACP中，由勾股定理，得：
AP＝＝．
因为CP⊥AD，所以AP＝PD＝AD，
所以AD＝2AP＝2×＝．
23．解：如图，连接OA，OA交AB于H
∵C是弧AB的中点，
∴OH⊥AB，
在Rt△OAH中，OA＝25，AH＝24，
根据勾股定理得：OH＝＝7，
∴HC＝OC﹣OH＝25﹣7＝18，
在Rt△AHC中，根据勾股定理得：AC＝＝30，
∴AC的长为30．
24．解：（1）
作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE＝1cm，BE＝5cm，E在直径AB上，
∴AB＝1cm+5cm＝6cm，半径OD＝3cm，
∵在Rt△OHE中，OE＝3cm﹣1cm＝2cm，∠OEH＝60°，
∴OH＝cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD＝cm，
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC＝2DH＝2cm；
（2）作OH⊥CD于H，连接OD，
∵AE＝1cm，BE＝5cm，E在直径AB上，
∴AB＝1cm+5cm＝cm6，半径OD＝3cm，
∵若直线CD绕点E顺时针旋转15°，
∴∠OEH＝60°﹣15°＝45°，
在Rt△OHE中，OE＝3cm﹣1cm＝2cm，∠OEH＝45°，
∴OH＝cm，
在Rt△OHD中，由勾股定理得：HD＝＝（cm），
∵OH⊥CD，
∴由垂径定理得：DC＝2DH＝2cm；
即CD＝2cm．