2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.4圆周角和圆心角的关系 同步达标训练（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.4圆周角和圆心角的关系》
同步达标训练（附答案）
1．如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且＝，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：
①AD＝BD；②∠MAN＝90°；③＝；④∠ACM+∠ANM＝∠MOB；⑤AE＝MF．
其中正确结论的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB＝25°，则∠BAO的度数是（　　）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（　　）
A．50° B．60° C．80° D．100°
4．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝（　　）
A．80° B．50° C．40° D．20°
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（　　）
A．40° B．30° C．45° D．50°
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB＝140°，则∠ACD＝（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°
7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为（　　）
A．45° B．50° C．55° D．60°
8．如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝72°，则∠BCO的度数为（　　）
A．15° B．18° C．20° D．28°
9．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB＝30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为　 　．
11．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD＝　 　度．
12．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC＝50°，则∠CAD＝　 　．
13．如图，点A，B，C在⊙O上，CO的延长线交AB于点D，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠ADC的度数为　 　．
14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长是　 　．
15．如图，AB是⊙O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°．求∠CAB的度数．
16．如图，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，求∠BAD的度数．
17．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．
18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC．
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1＝∠2．
19．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
20．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长．
21．已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），
（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC＝PA；
（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．
22．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．
（1）若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC；
（2）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；
（3）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β．请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．
23．如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，
求证：（1）∠BAD＝∠ACB；（2）AE＝BE．
24．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC．
（1）若∠DFC＝40°，求∠CBF的度数；
（2）求证：CD⊥DF．
参考答案
1．解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴AD＝BD，＝，∠MAN＝90°（①②③正确）
∵＝，
∴＝＝，
∴∠ACM+∠ANM＝∠MOB（④正确）
∵∠MAE＝∠AME，
∴AE＝ME，
∵∠EAF+∠MAE＝∠AME+∠AFM＝∠MAN，
∠EAF＝∠AFM，
∴AE＝EF，
∴AE＝MF（⑤正确）．
正确的结论共5个．
故选：D．
2．解：连接OB，
∵∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝2×25°＝50°，
由OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO，
∴∠BAO＝（180°﹣50°）＝65°．
故选：C．
3．解：圆上取一点A，连接AB，AD，如图所示，
∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝130°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BOD＝100°，
故选：D．
4．解：∵AB∥CD，
∴∠BCD＝∠ABC＝40°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝80°．
故选：A．
5．解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝50°，
∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝80°，
∴∠ACB＝∠AOB＝40°，
故选：A．
6．解：∵∠DOB＝140°，
∴∠AOD＝40°，
∴∠ACD＝∠AOD＝20°，
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．
∵＝，∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝∠BAC＝25°，
∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣25°＝50°．
故选：B．
8．解：连接OB，如图，∠BOC＝2∠A＝2×72°＝144°，
∵OB＝OC，
∴∠CBO＝∠BCO，
∴∠BCO＝（180°﹣∠BOC）＝×（180°﹣144°）＝18°．
故选：B．
9．解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA QC＝QP QD．
即（r﹣m）（r+m）＝m QD，所以QD＝．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，
即，
解得
所以，
故选：D．
10．解：当GH为⊙O的直径时，GE+FH有最大值．
当GH为直径时，E点与O点重合，
∴AC也是直径，AC＝14．
∵∠ABC是直径上的圆周角，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴AB＝AC＝7．
∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF＝AB＝3.5，
∴GE+FH＝GH﹣EF＝14﹣3.5＝10.5．
故答案为：10.5．
11．解：法一：
连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B＝∠AOC，
∵∠AOC＝2∠ADC，
∴∠B＝2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴3∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝60°，
∴∠B＝∠AOC＝120°，
∵∠1＝∠OAD+∠ADO，∠2＝∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD＝（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）＝∠AOC﹣∠ADC＝120°﹣60°＝60°．
故答案为：60．
法二：
连接OB
∵四边形OABC为平行四边形
∴AB＝OC＝OB＝OA＝BC
∴△OAB和△OBC都为等边三角形
∴∠OAB＝∠OCB＝60°
∵ABCD为圆的内接四边形
∴∠DAB+∠DCB＝180°
∴∠OAD+∠OCD＝180°﹣60°﹣60°＝60°
12．解：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∵∠D＝∠ABC＝50°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝40°．
故答案为：40°．
13．解：∵∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵∠B＝30°，∠BOC＝∠B+∠BDC，
∴∠BDC＝∠BOC﹣∠B＝100°﹣30°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝110°，
故答案为110°．
14．解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足是G，F是CG的中点，
∴CG＝GD，CF＝FG＝CG，
∵CF＝2，∴CG＝GD＝2×2＝4，FD＝2+4＝6，
由相交弦定理得EF AF＝CF FD（这里利用相似三角形的性质证明），
即EF＝＝＝4，
故EF的长是4．
15．解：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝∠D＝26°，
∴∠CAB＝90°﹣26°＝64°．
16．解：连接BD，如图，
∵点D是的中点，即弧CD＝弧AD，
∴∠ABD＝∠CBD，
而∠ABC＝50°，
∴∠ABD＝×50°＝25°，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣25°＝65°．
17．解：由圆周角定理得，∠A＝∠1＝56°，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠CDE＝∠A＝56°．
18．（1）解：∵BC＝DC，
∴∠CBD＝∠CDB＝39°，
∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝39°+39°＝78°；
（2）证明：∵EC＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
而∠CEB＝∠2+∠BAE，∠CBE＝∠1+∠CBD，
∴∠2+∠BAE＝∠1+∠CBD，
∵∠BAE＝∠BDC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2．
19．（1）证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C，
∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC；
（2）方法一：
解：连接AE，
∵AB为直径，
∴AE⊥BC，
由（1）知AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝，
∵△CDE∽△CBA，
∴，
∴CE CB＝CD CA，AC＝AB＝4，
∴ 2＝4CD，
∴CD＝．
方法二：
解：连接BD，
∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
设CD＝a，
由（1）知AC＝AB＝4，
则AD＝4﹣a，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2
在Rt△CBD中，由勾股定理可得：
BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2
∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2
整理得：a＝，
即：CD＝．
20．解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC，
∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°．
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO＝＝＝55°
∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°；
（2）在直角△ABC中，BC＝＝＝．
∵OE⊥AC，
∴AE＝EC，
又∵OA＝OB，
∴OE＝BC＝．
又∵OD＝AB＝2，
∴DE＝OD﹣OE＝2﹣．
21．解：（1）连OB，OC，如图
∵点P是弧BC的中点，△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴AP为⊙O的直径，
∴∠BPO＝∠ACB，∠APC＝∠ABC，
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，
∴∠BPO＝∠APC＝60°，
∴△OBP和△OPC都是等边三角形，
∴PB＝PC＝OP＝OA，
∴PB+PC＝PA；
（2）（1）的结论还成立．理由如下：
截取PE＝PC，
∵∠APC＝60°，
∴△PEC为等边三角形，
∴CE＝CP，∠PCE＝60°，
而∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCP，
而CA＝CB，
∴△CAE≌△CBP，
∴AE＝PB，
∴PB+PC＝PA．
22．解：（1）∠E＝∠F，
∵∠DCE＝∠BCF，
∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠F+∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC；
（2）由（1）知∠ADC＝∠ABC，
∵∠EDC＝∠ABC，
∴∠EDC＝∠ADC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A＝90°﹣42°＝48°；
（3）连接EF，如图，
∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A，
∵∠ECD＝∠1+∠2，
∴∠A＝∠1+∠2，
∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，
∴2∠A+α+β＝180°，
∴∠A＝90°﹣．
23．证明：（1）∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
又AD⊥BC，
∴∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB；
（2）∵弧BA等于弧AF，
∴∠ACB＝∠ABF，
∵∠BAD＝∠ACB，
∴∠ABF＝∠BAD，
∴AE＝BE．
24．解：（1）∵∠ADB＝∠ACB，∠BAD＝∠BFC，
∴∠ABD＝∠FBC，
又∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠CBF＝∠BCF，
∵∠BFC＝2∠DFC＝80°，
∴∠CBF＝＝50°；
（2）令∠CFD＝α，则∠BAD＝∠BFC＝2α，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，即∠BCD＝180°﹣2α，
又∵AB＝AD，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°﹣α，
∴∠CFD+∠FCD＝α+（90°﹣α）＝90°，
∴∠CDF＝90°，即CD⊥DF．