2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.5确定圆的条件 同步达标测评（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.5确定圆的条件 同步达标测评（word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 436.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-23 07:05:51 | ||
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文档简介
2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.5确定圆的条件》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
3．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
4．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
7．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，CD＝3，AB＝4，则⊙O的直径等于（ ）
A． B．3 C．5 D．7
10．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8．如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10 C．6＜r≤8 D．8＜r≤10
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
12．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
15．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
16．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Biruni（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
18．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
19．如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
20．已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）
（1）求证：△OMD≌△BAO；
（2）若直线l：y＝kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证：k+b＝0．
21．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
22．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）
（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
23．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
2．解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝DE＝2，
∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，
∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．
故选：D．
3．解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA＝OB＝OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA＝OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选：B．
4．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
5．解：∵等腰Rt△ABC，BC＝4，
∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，
∴BD＝，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC＝：4＝1：5，
∴相似比为1：5，
设AE＝x，
∴BE＝5x，
∴DE＝﹣5x，
∴CE＝28﹣25x，
∵AC＝4，
∴x+28﹣25x＝4，
解得：x＝1．
故选：C．
6．解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴①是假命题；
如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．
故选：B．
8．解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
9．解：作直径AE，连接BE，
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
由勾股定理得AD＝＝4．
∵∠ACD＝∠AEB，（同弧圆周角相等）
∠ABE＝90°，（半圆上的圆周角是直角）
∴△ADC∽△ABE，
AE：AC＝AB：AD，
∴AE＝＝5，
则直径AE＝5．
故选：C．
10．解：∵AB＝6，AD＝8，
∴AC＝10，
∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，
∴⊙A的半径r的取值范围是：6＜r＜10．故选A．
11．解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
12．解：
如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；
当是E2时，则∠CE20＝110°；
当是E3时，则∠CE3O＝50°．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
14．解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
15．解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8cm，因而半径是4cm；
当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4cm，因而半径是2cm．
所以⊙O的半径为4或2cm．
故答案为：4或2．
16．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为：10或8．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE，则CD+DE＝BE，
∵∠ABD＝45°，
∴BE＝＝，
则△BDC的周长是2+2．
故答案为：2+2．
18．解：设OA交⊙O于C，连接B′C，如图2，
∵OA′ OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′ OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝4sin60°＝2．
19．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°．
∴∠AEC+∠AFC＝180°．
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，
设AC、BD相交于点O；
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB＝OD，
∴OM＝ON，
∴OB﹣OM＝OD﹣ON，
∴BM＝DN．
20．证明：（1）连接BM，∵B、C把三等分，∴∠1＝∠5＝60°，
又∵OM＝BM，∴∠2＝∠5＝30°，
又∵OA为⊙M直径，∴∠ABO＝90°，∴AB＝OA＝OM，∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，∠DOM＝∠ABO＝90°，
在△OMD和△BAO中，
∴△OMD≌△BAO（ASA）．
（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，
则直线l必过圆心M，
∵D（0，3），∠1＝60°，
∴，
∴，
把M（，0）代入y＝kx+b得：k+b＝0．
21．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．
又∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
∴AE＝DE．
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠EBD+∠1＝∠EDB+∠3＝90°．
∴∠EBD＝∠EDB．
∴BE＝DE．
∴AE＝BE＝DE．
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．
22．解：（1）如图所示：
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（3）此中转站应建在△EHF的外接圆圆心处．
理由如下：比较△EGH，△EGF可知，应该选择△EGH，
比较△EHG，△EHF可知，应该选择△EHF，
比较△HFG没和△EHF，选择△HFG．
比较△HFG和△HEG，选择△HFG．
比较△EHF和△HFG，选择△EHF．
∴中转站应建在△EHF的外接圆圆心处．
23．解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圆的半径为13cm．
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
3．如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（ ）
A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
4．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1.2
6．如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确的是（ ）
A．当弦PB最长时，△APC是等腰三角形 B．当△APC是等腰三角形时，PO⊥AC
C．当PO⊥AC时，∠ACP＝30° D．当∠ACP＝30°时，△BPC是直角三角形
7．下列四个命题：
①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；
③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．
其中真命题的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（ ）
A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定
9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，CD＝3，AB＝4，则⊙O的直径等于（ ）
A． B．3 C．5 D．7
10．已知矩形ABCD的边AB＝6，AD＝8．如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（ ）
A．6＜r＜10 B．8＜r＜10 C．6＜r≤8 D．8＜r≤10
11．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块
12．如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于A、B两点，点C在⊙O上，且∠AOC＝30度．点E是直线AB上的一个动点（与点O不重合），直线EC交⊙O于D，则使DE＝DO的点E共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝ ．
14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是 ．
15．平面上有⊙O及一点P，P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为 cm．
16．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理
阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al﹣Biruni（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
…
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是 ．
18．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′ OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
19．如图，在 ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
20．已知：如图，直径为OA的⊙M与x轴交于点O、A，点B、C把分为三等份，连接MC并延长交y轴于点D（0，3）
（1）求证：△OMD≌△BAO；
（2）若直线l：y＝kx+b把⊙M的面积分为二等份，求证：k+b＝0．
21．已知：如图，在△ABC中，点D是∠BAC的角平分线上一点，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求证：点E是过A，B，D三点的圆的圆心．
22．我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）
（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．
23．如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB＝24cm，CD＝8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．解：∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∵AO＝BO，
∴AB＝2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ＝3、MQ＝4，
∴OM＝5，
又∵MP′＝2，
∴OP′＝3，
∴AB＝2OP′＝6，
故选：C．
2．解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝DE＝2，
∴NP＝MN﹣MP＝EF﹣MP＝1，
∴PF2+PG2＝2PN2+2FN2＝2×12+2×22＝10．
故选：D．
3．解：如图，连接OA、OB、OD．
∵O是△ABC的外心，
∴OA＝OB＝OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA＝OB＝OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA＝OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选：B．
4．解：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABP+∠PBC＝90°，
∵∠PAB＝∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，
∴OC＝＝5，
∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．
∴PC最小值为2．
故选：B．
5．解：∵等腰Rt△ABC，BC＝4，
∴AB为⊙O的直径，AC＝4，AB＝4，
∴∠D＝90°，
在Rt△ABD中，AD＝，AB＝4，
∴BD＝，
∵∠D＝∠C，∠DAC＝∠CBE，
∴△ADE∽△BCE，
∵AD：BC＝：4＝1：5，
∴相似比为1：5，
设AE＝x，
∴BE＝5x，
∴DE＝﹣5x，
∴CE＝28﹣25x，
∵AC＝4，
∴x+28﹣25x＝4，
解得：x＝1．
故选：C．
6．解：A、如图1，当弦PB最长时，PB为⊙O的直径，则∠BAP＝90°．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝BC＝CA，
∵点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，BP是直径，
∴BP⊥AC，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠ABC＝30°，
∴AP＝CP，
∴△APC是等腰三角形，
故本选项正确，不符合题意；
B、当△APC是等腰三角形时，分三种情况：
①如果PA＝PC，那么点P在AC的垂直平分线上，则点P或者在图1中的位置，或者与点B重合（如图2），所以PO⊥AC，正确；
②如果AP＝AC，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
③如果CP＝CA，那么点P与点B重合，所以PO⊥AC，正确；
故本选项正确，不符合题意；
C、当PO⊥AC时，PO平分AC，则PO是AC的垂直平分线，点P或者在图1中的位置，或者与点B重合．
如果点P在图1中的位置，∠ACP＝30°；
如果点P在B点的位置，∠ACP＝60°；
故本选项错误，符合题意；
D、当∠ACP＝30°时，点P或者在P1的位置，或者在P2的位置，如图3．
如果点P在P1的位置，∠BCP1＝∠BCA+∠ACP1＝60°+30°＝90°，△BP1C是直角三角形；
如果点P在P2的位置，∵∠ACP2＝30°，
∴∠ABP2＝∠ACP2＝30°，
∴∠CBP2＝∠ABC+∠ABP2＝60°+30°＝90°，△BP2C是直角三角形；
故本选项正确，不符合题意．
故选：C．
7．解：∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
∴①是假命题；
如图，∠C和∠D都对弦AB，但∠C和∠D不相等，即②是假命题；
三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；
垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．
故选：B．
8．解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，
故选：C．
9．解：作直径AE，连接BE，
∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
由勾股定理得AD＝＝4．
∵∠ACD＝∠AEB，（同弧圆周角相等）
∠ABE＝90°，（半圆上的圆周角是直角）
∴△ADC∽△ABE，
AE：AC＝AB：AD，
∴AE＝＝5，
则直径AE＝5．
故选：C．
10．解：∵AB＝6，AD＝8，
∴AC＝10，
∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，
∴⊙A的半径r的取值范围是：6＜r＜10．故选A．
11．解：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
12．解：
如图所示，点E的位置有3个．当是E1时，∠CE1O＝10°；
当是E2时，则∠CE20＝110°；
当是E3时，则∠CE3O＝50°．
故选：C．
二．填空题（共4小题，满分20分）
13．解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．
14．解：在直角△ABD中，CD＝AB＝4，AD＝3，
则BD＝＝5．
由图可知3＜r＜5．
故答案为：3＜r＜5．
15．解：当点P在圆内时，则直径＝6+2＝8cm，因而半径是4cm；
当点P在圆外时，直径＝6﹣2＝4cm，因而半径是2cm．
所以⊙O的半径为4或2cm．
故答案为：4或2．
16．解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为8；
②当两条直角边长分别为16和12，则直角三角形的斜边长＝＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10．
综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10．
故答案为：10或8．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA＝MC．
在△MBA和△MGC中
∵，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB＝MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD＝GD，
∴DC＝GC+GD＝AB+BD；
（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中
∵，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF＝AD，
∵AE⊥BD，
∴FE＝DE，则CD+DE＝BE，
∵∠ABD＝45°，
∴BE＝＝，
则△BDC的周长是2+2．
故答案为：2+2．
18．解：设OA交⊙O于C，连接B′C，如图2，
∵OA′ OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′ OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，
∴A′B′＝4sin60°＝2．
19．证明：（1）∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°．
∴∠AEC+∠AFC＝180°．
∴A、E、C、F四点共圆；
（2）由（1）可知，∠AEC＝90°，则AC是直径，
设AC、BD相交于点O；
∵ABCD是平行四边形，
∴O为圆心，OB＝OD，
∴OM＝ON，
∴OB﹣OM＝OD﹣ON，
∴BM＝DN．
20．证明：（1）连接BM，∵B、C把三等分，∴∠1＝∠5＝60°，
又∵OM＝BM，∴∠2＝∠5＝30°，
又∵OA为⊙M直径，∴∠ABO＝90°，∴AB＝OA＝OM，∠3＝60°，
∴∠1＝∠3，∠DOM＝∠ABO＝90°，
在△OMD和△BAO中，
∴△OMD≌△BAO（ASA）．
（2）若直线l把⊙M的面积分为二等份，
则直线l必过圆心M，
∵D（0，3），∠1＝60°，
∴，
∴，
把M（，0）代入y＝kx+b得：k+b＝0．
21．证明：∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠1＝∠2．
又∵DE∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
∴AE＝DE．
又∵BD⊥AD于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠EBD+∠1＝∠EDB+∠3＝90°．
∴∠EBD＝∠EDB．
∴BE＝DE．
∴AE＝BE＝DE．
∴点E是A，B，D所在的圆的圆心．
22．解：（1）如图所示：
（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（3）此中转站应建在△EHF的外接圆圆心处．
理由如下：比较△EGH，△EGF可知，应该选择△EGH，
比较△EHG，△EHF可知，应该选择△EHF，
比较△HFG没和△EHF，选择△HFG．
比较△HFG和△HEG，选择△HFG．
比较△EHF和△HFG，选择△EHF．
∴中转站应建在△EHF的外接圆圆心处．
23．解：（1）作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．
（2）连接OA，设OA＝x，AD＝12cm，OD＝（x﹣8）cm，
则根据勾股定理列方程：
x2＝122+（x﹣8）2，
解得：x＝13．
答：圆的半径为13cm．