2021-2022学年鲁教版（五四制）九年级数学下册5.9弧长及扇形的面积 同步达标测评（word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.9弧长及扇形的面积》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．已知扇形半径是9cm，弧长为4πcm，则扇形的圆心角为（　　）
A．20° B．40° C．60° D．80°
2．若扇形面积为36π，圆心角为120°，则它的弧长为（　　）
A．4π B． C． D．8π
3．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为3cm的圆的周长的5倍，则这条弧的半径为（　　）
A．45cm B．40cm C．35cm D．30cm
4．如图，菱形OABC的边长为2，∠ABC＝60°，以O为圆心，对角线OB为半径画弧分别交OA、OC延长线于点D、E，则扇形DOE的面积为（　　）
A．π B．2π C．6π D．12π
5．图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为150°，OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，则的长为（　　）
A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．25πcm
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
7．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于E，则图中阴影部分的周长是（　　）
A．2+ B． C．2十π D．1+π
8．如图，扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，C为OB边上一点，将△AOC沿AC边折叠，圆心O恰好落在弧AB上，则阴影部分面积为（　　）
A．3π﹣4 B．3π﹣2 C．3π﹣4 D．2π
9．如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若AD＝3，则的长为（　　）
A．π B．π C．π D．π
10．如图，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2π D．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．已知扇形的半径为10，弧长为10π，那么这个扇形的圆心角为　 　度．
12．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，以OB为直径作半圆，圆心为点C，过点C作OA的平行线分别交两弧于点D、E，则阴影部分的面积为 　 　．
13．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OB＝2．∠BOC＝60°，连接AB，AB、OC交于点D，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是OA的中点，点D在上，CD⊥OA，若OA＝2，则图中阴影部分的周长为 　 　．
15．已知扇形的圆心角为60°，圆的半径为3cm，则这个扇形的面积为　 　．
16．如图，点A，B，C都在⊙O上，若OB＝3，∠ABC＝30°，则劣弧AC的长为　 　．
17．如图，曲线AMNB和MON是两个半圆，MN∥AB，大半圆半径为2，则阴影部分的面积是　 　．
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，以C为圆心，以AC的长为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E，则图中阴影部分的面积是　 　．（结果保留π）
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
20．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）在（2）的条件下，求劣弧BC的长．
21．如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN．
（1）EM与BE的数量关系是 　 　；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
22．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是弧BD上不与B、D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G．
（1）求证：△ADF≌△BDG．
（2）若AB＝4，且点E是弧BD的中点，求阴影部分面积．（结果保留π）
23．如图，已知，A，B是⊙O上的点，P为⊙O外一点，连接PA，PB，分别交⊙O于点C，D，＝．
（1）求证：PA＝PB；
（2）若∠P＝60°，＝3．△AOC的面积等于9，求图中阴影部分的面积．
24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接OD、DE．
（1）求证：OD⊥DE；
（2）若∠BAC＝30°，AB＝12，求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：根据弧长公式＝＝4π，
解得：n＝80，
故选：D．
2．解：设扇形的半径为Rcm．
由题意：＝36π，
解得R＝6，
∴扇形的弧长＝＝4，
故选：C．
3．解：设弧所在圆的半径为rcm，
由题意得，＝2π×3×5，
解得，r＝40．
故选：B．
4．解：连接AC，交OB于H，
∵四边形OABC是菱形，∠ABC＝60°
∴AC⊥OB，HB＝HO，∠AOB＝∠ABC＝30°，
∴AH＝OA＝，OH＝BH＝＝3，
∴OB＝6，
∴S扇形DOE＝＝＝6π，
故选：C．
5．解：∵OA的长为30cm，贴纸部分的宽AC为18cm，
∴OC＝OA﹣AC＝12cm，
又OA和OB的夹角为150°，
∴的长为：＝10π（cm）．
故选：B．
6．解：由题意可知：AE＝AD＝BC＝2，
在Rt△ABE中，sin∠AEB＝＝＝，
∴∠AEB＝60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAE＝60°，
l＝＝＝，
故A、B、D错误，
故选：C．
7．解：∵矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝，∠A＝90°，
∵BE＝BC＝2，
在Rt△ABE中，∵AB＝，BE＝2，
∴∠AEB＝∠ABE＝45°，AE＝AB＝，
∴DE＝AD﹣AE＝2﹣，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∴的长度＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝+2﹣+＝2+，
故选：A．
8．解：连接OD，
∵△AOC沿AC边折叠得到△ADC，
∴OA＝AD，∠OAC＝∠DAC，
又∵OA＝OD，
∴OA＝AD＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠OAC＝∠DAC＝30°，
∵扇形AOB的圆心角是直角，半径为2，
∴OC＝2，
∴阴影部分的面积是：（×2）＝3π﹣4，
故选：A．
9．解：连接AC、AF，
由旋转的性质可知，BC＝EF，AB＝AE，
∵DE＝EF，
∴DE＝BC＝AD，
在Rt△ADE中，DE＝AD，
∴∠DAE＝45°，AE＝＝3，
∴∠EAB＝90°﹣45°＝45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC＝45°，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝9，
∴的长＝＝，
故选：A．
10．解：连接AC，延长AP，交BC于E，
在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，
∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
在△APB和△APC中，
，
∴△APB≌△APC（SSS），
∴∠PAB＝∠PAC，
∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，
∵△BPC为等腰直角三角形，
∴PE＝BC＝1，
在Rt△ABE中，AE＝AB＝，
∴AP＝﹣1，
∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，
故选：A．
二．填空题（共8小题，满分32分）
11．解：由题意可得，
10π＝，
解得n＝180，
即这个扇形的圆心角为180°，
故答案为：180．
12．解：连接OE，
∵∠BOA＝90°，点C为BD的中点，CE∥OA，OA＝2，
∴∠ECO+∠COA＝180°，OB＝OE＝2，OC＝1，
∴∠OCE＝90°，OE＝2OC，
∴∠EOC＝60°，CE＝，
∴阴影部分的面积为：﹣﹣＝π﹣，
故答案为π﹣．
13．解：作DE⊥OA于点E，作DF⊥OB于点F，
设DF＝x，
∵∠DFO＝90°，∠DOF＝60°，
∴∠ODF＝30°，
∴OF＝DF tan30°＝x ＝x，
∴DE＝x，
∵∠AOB＝90°，半径OB＝2．
∴OB＝OA＝2，∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB，
∴＝+，
解得x＝3﹣，
∴阴影部分的面积是：﹣＝（3﹣）+﹣（3﹣）＝﹣1﹣3+＝+2﹣4，
故答案为：+2﹣4．
14．解：如图，连接AD，DO．
∵AC＝CO，CD⊥AO，
∴DA＝DO，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴的长＝＝，
∵CD＝＝＝，
∴阴影部分的周长为1++．
故答案为：1++．
15．解：扇形的面积＝＝π（cm2）
故答案为：πcm2．
16．解：连接OA，OC．
∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
17．解：连接OM、ON，
∵MN是小半圆的直径，
∴∠MON＝90°，
∵OM＝ON＝OA＝2，
∴MN＝＝2，
∴S小半圆＝π （）2＝π，
大圆中扇形OMN的面积S＝＝π，
S△MON＝OM ON＝＝2，
∴S阴影＝S小半圆+S扇形OMN﹣S△MON＝2π﹣2，
故答案为2π﹣2．
18．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，
∴∠BAC＝60°，BC＝6，
∵CA＝CD，
∴△ACD是等边三角形
∴∠ACD＝60°，∠ECD＝30°，
∵AB＝2AC＝12，AC＝AD，
∴AD＝BD＝6，
∴S阴＝S△ABC﹣S扇形CDE＝××6×﹣＝9﹣3π．
故答案为9﹣3π．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．
20．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
21．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，
∵AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴tan∠EAB＝＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN×CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
22．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵BA＝BC，
∴AD＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴BD＝AD，
在△ADF和△BDG中，
，
∴△ADF≌△BDG（ASA），
（2）解：连接OE，交BD于点H，
∵点E是弧BD的中点，
∴OE⊥BD，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAD＝45°，
∵AB＝4，
∴OB＝OE＝2，
在Rt△OHB中，BH＝sin∠BOH OB＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S△ABE＝﹣×＝﹣．
23．（1）证明：连接OA，OC，OD，OB，作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，设OP交⊙O于E．
∵＝，
∴AC＝BD，
∵OA＝OC＝OB＝OD，OM⊥AC，ON⊥BD，
∴CM＝AM，BN＝DN，∠OMC＝∠OND＝90°，
∴CM＝DN，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴OM＝ON，
在Rt△POM和Rt△PON中，
，
∴Rt△POM≌Rt△PON（HL），
∴PM＝PN，
∵AM＝BN，
∴PA＝PB．
（2）解：∵∠APB＝60°，∠PMO＝∠PNO＝90°，
∴∠MON＝120°，
∵△POM≌△PON，
∴∠POM＝∠PON＝60°，
∵＝3，
∴∠COE＝3∠COM，
∴∠COM＝15°，
∴∠AOC＝2∠COM＝30°，
过点A作AJ⊥OC于J．设OA＝OB＝R，则AJ＝R
∴S△AOC＝9，
∴ R R＝9，
∴R＝6，
∴S阴＝S扇形AOC﹣S△AOC＝﹣9＝3π﹣9．
24．（1）证明：连接DB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵点E是BC的中点，
∴DE＝CE＝BC，
∴∠EDC＝∠C，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，
∴∠ADO+∠EDC＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE；
（2）∵AB＝12，∠BAC＝30°，
∴AD＝6，
阴影部分的面积＝﹣×6×3
＝12π﹣9．