2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册专题4.5.3 函数模型的应用 期末复习题（Word含答案解析）

2021-2022学年高一数学人教A版（2019）必修第一册专题4.5.3函数模型的应用-期末复习题
时间：80分钟
一、单选题
1．据你估计，一种商品在销售收入不变的条件下，其销量与价格之间的关系最可能是下图中的（ ）
A． B． C． D．
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x 1 2 3 …
y 1 2 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A．y＝log2(x＋1) B．y＝2x－1
C．y＝2x－1 D．y＝(x－1)2＋1
3．声强级（单位：）与声强的函数关系式为：.若普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
4．下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善．
A．1 B．2
C．3 D．4
5．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价（元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
6．某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为（ ）
A．a12－1 B．(1＋a)12－1
C．a D．a－1
7．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数f(x)的图象恰好通过n（）个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数．有下列函数:
① ② ③ ④
其中是一阶整点的是
A．①②③④ B．①③④ C．④ D．①④
8．容器中有浓度为的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，这样进行了10次后溶液的浓度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）下面对函数与在区间上的衰减情况的说法中错误的有
A．的衰减速度越来越慢, 的衰减速度越来越快
B．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越慢
C．的衰减速度越来越慢，的衰减速度越来越慢
D．的衰减速度越来越快，的衰减速度越来越快
10．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：
型号 小包装 大包装
质量 100克 300克
包装费 0.5元 0.7元
销售价格 3.00元 8.4元
则下列说法正确的是（ ）
A．买小包装实惠
B．买大包装实惠
C．卖3小包比卖1大包盈利多
D．卖1大包比卖3小包盈利多
11．某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用（千元）乙厂的总费用（千元）与印制证书数量x（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则（ ）
A．甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元
B．甲厂的费用与证书数量x之间的函数关系式为
C．当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为1.5元
D．当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为
E.若该单位需印制证书数量为8千个，则该单位选择甲厂更节省费用
12．某杂志以每册元的价格发行时，发行量为万册.经过调查，若单册价格每提高元，则发行量就减少册.要该杂志销售收入不少于万元，每册杂志可以定价为（ ）
A．元 B．元
C．元 D．元
三、填空题
13．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低则现在价格为4 050元的计算机经过15年后价格应降为_____________．
14．光线通过一块玻璃，其强度要失掉原来的，要使通过玻璃的光线强度为原来的以下，至少需要重叠这样的玻璃板的块数为__________．（，）
15．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h的速度直达灾区．已知某市到灾区公路线长400 km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于2 km，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是___________h(车身长度不计)．
16．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税，王老师写一本书共纳税420元，则这本书的稿费(纳税前)为_____________元．
四、解答题
17．某工厂第一季度某产品月生产量分别为10000件 12000件 13000件.为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y（单位：件）与月份x的关系.模拟函数可以选用二次函数或函数（其中a，b，c为常数）.已知4月份的产量为13600件，问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？
18．设小丁单次持续背单词所花时间y（分钟）与背出单词数x（个）之间满足函数表达式，其中常数k、且k、．已知小丁持续背单词50分钟背出了20个单词，100分钟背出了30个单词．问：小丁持续背200分钟约能背出多少个单词？（四舍五入精确到个位）
19．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为80元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过2000件．
（1）设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数的表达式．
（2）销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
20．在飞机制造业中，发现一条规律：制造第2架飞机所需的工时数是第1架的80%；第4（即）架又是第2架的80%；第8（即）架又是第4架的80%；……这就是说，通过积累经验，可以提高效率．这也是符合学习规律的，这里的80%称为“进步率”，所制造的飞机架数与所需工时数之间的函数关系所确定的曲线常称为“学习曲线”．设制造第1架飞机需要用k个工时，进步率为r，试求出制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式．
21．假设有一套住房从2002年的20万元上涨到2012年的40万元.下表给出了两种价格增长方式，其中是按直线上升的房价，是按指数增长的房价，是2002年以来经过的年数.
0 5 10 15 20
万元 20 40
万元 20 40
（1）求函数的解析式;
（2）求函数的解析式；
（3）完成上表空格中的数据，并在同一直角坐标系中画出两个函数的图像，然后比较两种价格增长方式的差异.
22．某公司研发芯片耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入（平万元）与投入的资金x（千万元）成正比，已知每投入1千万元，获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系式为，其图像如图所示.
（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入与投入资金的函数关系式.
（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金）
试卷第2页，共2页
试卷第1页，共1页
参考答案
1．C
【解析】∵销售收入不变，∴不妨设（定值），∴为反比例函数.
故选C.
2．D
【解析】解：由表格中数据知,
选项当时, ,
选项当时,,
选项当时,,
选项：都满足；
故选：D.
3．B
【解析】设普通列车的声强为，高速列车的声强为，
因为普通列车的声强级是，高速列车的声强级为，
所以，，
，解得，所以，
，解得，所以，
两式相除得，
则普通列车的声强是高速列车声强的倍.
故选：B.
4．C
【解析】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确．
故选：C.
5．A
【解析】设每个涨价元，涨价后的利润与原利润之差为元，
则.
要使商家利润有所增加，则必须使，即，得，所以的取值为.
故选：A
6．B
【解析】解：不妨设第一年1月份的产量为b，则2月份的产值为b(1＋a)，3月份的产值为b(1＋a)2，依此类推，第二年1月份产值是b(1＋a)12．
由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为＝(1＋a)12－1．
故选：B．
7．D
【解析】对于函数，它只通过一个整点（1，2），故它是一阶整点函数；
对于函数，当x∈Z时，一定有g（x）=x3∈Z，即函数g（x）=x3通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，当x=0，-1，-2，时，h（x）都是整数，故函数h（x）通过无数个整点，它不是一阶整点函数；
对于函数，它只通过一个整点（1，0），故它是一阶整点函数．
故选D．
8．B
【解析】1次后浓度为，
2次后浓度为，
……………，
故10次后浓度为.
故选：B
9．ABD
【解析】在平面直角坐标系中画出与图象如下图所示：
由图象可判断出衰减情况为：衰减速度越来越慢；衰减速度越来越慢
故选
10．BD
【解析】大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故B正确，
卖1大包的盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元)，卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元)，则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元)，则卖1大包比卖3小包盈利多，故D正确.
故选：BD
11．ABCD
【解析】由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；
甲厂的费用与证书数量x满足的函数关系为，故B正确；
当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为元，故C正确；
易知当时，与x之间的函数关系式为，故D正确
当时，，因为，所以当印制8千个证书时，选择乙厂更节省费用，故E不正确.
故选ABCD
12．BC
【解析】依题意可知，要使该杂志销售收入不少于万元，只能提高销售价，
设每册杂志定价为元，则发行量为万册，
则该杂志销售收入为万元，
所以，化简得，解得，
故选：BC
13．1200元
【解析】4 050×=4 050×＝1200．
故答案为：1200元.
14．7
【解析】设至少需块玻璃板，
由题知，
即，
取对数，
即，
即，
，
∴．
故答案为：7
15．12
【解析】解：设全部物资到达灾区所需时间为t h，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间，
因此t＝＝＋≥12，当且仅当＝，即v＝时取等号．
故这些汽车以km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h．
故答案为：12．
16．3800
【解析】解析：设纳税前稿费为x元，纳税为y元，由题意可知
y＝
∵此人纳税为420元，
时，，
∴(x－800)×14%＝420，解得x＝3 800．
故答案为：3800．
17．13500件比13000件更接近于4月份的产量13600件，选用指数型函数
作为模拟函数较好.
【解析】选二次函数作为模拟函数时，设 ，
由已知 ，解得 ，故 ，
件；
选指数型函数 作为模拟函数时，
由已知 ，解得 ，故 ，
件，
经比较可知，13500件比13000件更接近于4月份的产量13600件，故选用指数型函数
作为模拟函数较好.
18．38个单词
【解析】由题意，得两式相除，得，即，解得．所以，．当时，解得（个），所以小丁200分钟约能背出38个单词．
19．（1）
（2）当一次订购1050件时，利润最大为22050元
【解析】（1）当时，；
当时，．
所以.
（2）设利润为y元，则：
当时，，所以当时，；
当时，，所以当时，．
综上所述，当一次订购1050件时，利润最大为22050元．
20．
【解析】由题意，可知：第1架用k个工时，第2架用kr个工时，第架用个工时，……第架用个工时．
令，则，
因此，
所以制造第x架飞机与需用的工时数y之间的函数表达式为．
21．（1）（2）（3）详见解析
【解析】（1）因为是按直线上升的房价,设,
由,,
可得,
即.
（2）因为是按指数增长的房价,设,
由,
可得,
即.
（3）由（1）和（2）,当时,；
当时,；当时,,
则表格如下:
0 5 10 15 20
万元 20 30 40 50 60
万元 20 40 80
则图像为:
根据表格和图像可知:
房价按函数呈直线上升,每年的增加量相同,保持相同的增长速度；按函数呈指数增长,每年的增加量越来越大,开始增长慢,然后会越来越快,但保持相同的增长比例.
22．(1) ,；(2)见解析；(3)见解析.
【解析】（1）由题易得生产A芯片的毛收入为；
将，，代入，得，所以，
所以，生产B芯片的毛收入为.
（2）由，得；由，得；由，得.
所以，当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大.
（3）设投入x千万元生产B芯片，则投入千万元资金生产A芯片.
公司所获利润.
故当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元.
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