2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第七章 三角函数 期末培优卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高一（上）必修第一册数学（苏教版2019）
第七章 三角函数 期末培优卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有( )
A．3对 B．5对 C．7对 D．14对
2．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．函数的部分图象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若存在，，，满足，且，，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．我国著名数学家华罗庚曾说．“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征已知函数在的大致图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的图像如图所示，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知点在函数的图象上，直线是函数图象的一条对称轴.若在区间内单调，则（ ）
A． B． C． D．
8．把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．函数(，，)在一个周期内的图象如图所示，则( )
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10．如图，摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（ ）
A．转动后点距离地面
B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的
C．第和第点距离地面的高度相同
D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为
11．已知曲线在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在ω，使
B．存在ω，使
C．有且仅有一个，使
D．存在，使
12．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化 对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（ ）
A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个
B．可以是某个圆的“优美函数”
C．正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”
D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知角φ的终边经过点P(，－1)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象上的任意两点，若|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，则f＝________．
14．已知函数的相邻两个零点之间的距离是，且其图象过点与，则___________.
15．已知函数相邻对称轴为和，且对任意的都有，则函数的单调递增区间是______．
16．如图是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是，则的值是______．
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．函数（，）的部分图象如图所示．
（1）求的值及的增区间；
（2）若图象的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，然后再将所得图象向右平移个单位长度，最后向上平移1个单位长度，得到函数的图象，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，求实数b的取值范围．
18．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数(，，，)的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F．
（1）求函数()的解析式；
（2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
19．设函数的部分图象如图所示，求的表达式．
20．已知函数f（x）=2cos2，g（x）=2.
（1）求证：f=g（x）；
（2）求函数h（x）=f（x）-g（x）（x∈[0，π]的单调区间，并求使h（x）取到最小值时x的值.
21．已知函数 .
(1) 求的最小正周期和单调递增区间；
(2) 若关于的方程在上有解,求实数的取值范围.
22．已知函数其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为．
（1）求的解析式；
（2）当，求的值域．
参考答案
1．C
【解析】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称，
所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数，
即函数与的图象的交点个数，
作出函数与的图象，如图所示:
可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对.
故选:C．
2．C
【解析】由题意可知，A＝，32＋2＝52，
则T＝8，ω＝＝，
y＝sin.
由sin φ＝，得sin φ＝.
∵|φ|＜，
∴φ＝.
因此频率是，初相为.
故选：C
3．C
【解析】定义域为，关于原点对称，
，
所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D；
当时，令可得或，
所以时，两个相邻的零点为和，
当时，，，，
故排除选项A，
故选：C.
4．C
【解析】解：对任意，，，2，3，，，
都有，
要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，
考虑，，
按下图取值即可满足条件，
的最小值为8．
故选：．
5．B
【解析】根据函数图象可得其对应的函数为非奇非偶函数，而A，C中的函数为偶函数，故排除A，C.
设题干中函数图象与轴交点的横坐标分别为，且，且.
对于B，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，符合题意；
对D，令，即，作出和的函数图象，如图所示：
由图象可知，函数的图象与轴交点的横坐标满足，且，故D不符合题意.
故选：B.
6．D
【解析】由图知，，周期，则，
又，则，
且由图像知，在处，函数处在单减区间，则
故函数解析式可以为
故选：D
7．B
【解析】由题意得: , 得,所以ω.
又在区间内单调,所以,得,所以ω
所以ω=4或5或6.
当ω=4时, ,有解得.
当ω=5时, ,有无解.
当ω=6时, ,有无解.
综上: .
故选:B
8．B
【解析】将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数，
再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
因为函数是一个最小正周期为的奇函数，则，解得，
且有，可得，
，，.
故选：B.
9．ACD
【解析】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
10．AC
【解析】解：摩天轮转一圈，
在内转过的角度为，
建立平面直角坐标系，如图，
设是以轴正半轴为始边，表示点的起始位置为终边的角，
以轴正半轴为始边，为终边的角为，
即点的纵坐标为，
又由题知，点起始位置在最高点处，
点距地面高度关于旋转时间的函数关系式为：
即
当时，，故A正确；
若摩天轮转速减半，，则其周期变为原来的2倍，故B错误；
第点距安地面的高度为
第点距离地面的高度为
第和第时点距离地面的高度相同，故C正确；
摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于，
即，
即，，
得，
或，
解得或，
共，故D错误．
故选：AC．
11．ABD
【解析】对于AB选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.
此时，故AB选项正确.
对于CD选项，取，画出的图象如下图所示，符合“在区间上恰有一条对称轴和一个对称中心”.
，由图可知在区间上有两个，使，C选项错误.
由图可知，存在，使，D选项正确.
故选：ABD
12．ABC
【解析】对于A：过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时平分，所以对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个，故选项A正确；
对于B：因为函数图象关于原点成中心对称，所以将圆的圆心放在原点，则函数是该圆的“优美函数”，故选项B正确；
对于C：将圆的圆心放在正弦函数的对称中心上，则正弦函数是该圆的“优美函数”，故选项C正确；
对于D：函数的图象是中心对称图形，则函数不一定是“优美函数”，如；函数是“优美函数”时，图象也不一定是中心对称图形，
如图所示：
所以函数的图象是中心对称图形是函数是“优美函数”的不充分不必要条件，故选项D错误.
故选：ABC.
13．－
【解析】由条件|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为，可知函数f(x)的最小正周期为
，则由，得ω＝3．又因为角φ的终边经过点P(，－1)，
，，，所以不妨取φ＝－，
则f(x)＝sin，于是f＝sin＝－．
故答案为：－．
14．1
【解析】相邻两个零点之间的距离是，则，，
图象过点与，所以，，，
所以，．
故答案为：1．
15．，
【解析】因为函数相邻对称轴为和，
所以，所以函数的周期为，
则有，所以，
故，
因为对任意的都有，
所以时，函数取得最小值，
则有，，
所以，
故，
令，
解得，
故函数的单调递增区间是．
故答案为：．
16．
【解析】大正方形的面积是1，即大正方形的边长为1，
则由题可得每个直角三角形的长直角边为，短直角边为，
所以小正方形的边长为，
小正方形的面积是，，，
，则，
，则，
.
故答案为：.
17．
（1）；
（2）
（1）
解：由图易知，则，，
由题意结合图象知，又，故，
则．
令，
解得，
所以的增区间是．
（2）
解：（2）由题意知．
令，即，即或，得或．
所以在上函数的图象与x轴恰有两个交点，若在上函数的图象与x轴恰有10个交点，则b不小于第10个交点的横坐标，小于第11个交点的横坐标，
即b的取值范围为且，解得．
故实数b的取值范围为．
18．
（1），
（2）
（1）
由题意可知，，
不妨设最小正周期为，
由图像知，，即，则，
∵点在的图象上，
∴，，即，．
∵，∴，
故，．
（2）
在中，令，则，故点坐标为，
将代入，解得，，
从而曲线OD的方程为：，
当时，则，故点坐标为，
∴矩形PMFE的面积为，
即儿童乐园的面积为．
19．．
【解析】由图象可得，，
∴，从而，
又∵点在函数的图象上，∴，
从而，即，
∵，∴，
故的表达式：．
故答案为：.
20．（1）证明见解析；（2）单调递减区间为，单调递增区间为，当x=时，函数h（x）取到最小值.
【解析】（1）因为，
，
，
所以.
（2）函数，
∵，如图，结合函数的图像，
∴函数h（x）在的单调递减区间为，单调递增区间为，
根据函数h（x）的单调性，可知当x=时，函数h（x）取到最小值.
21．(1)，单调递增区间为.(2).
【解析】(1)
，
最小正周期，
函数的单调递增区间满足：，
解得的单调递增区间为.
(2)，所以，
，
所以的值域为.
而，所以，即.
点睛：求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在区间[a，b]上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式或y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式．
第二步：由x的取值范围确定ωx＋φ的取值范围，再确定sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的取值范围．
第三步：求出所求函数的值域(或最值)．
22．（1）；（2）.
【解析】（1）由最低点为得A=2．
由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得，
即，由点在图象上的，
，即，
故
又，故；
（2），
当，即时，取得最大值2；
当，即时，取得最小值，
故的值域为.