2021-2022学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册第六章 幂函数、指数函数和对数函数 期末培优卷（Word含答案解析）

2021-2022学年高一（上）必修第一册数学（苏教版2019）
第六章 幂函数、指数函数和对数函数 期末培优卷
一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。
1．已知函数，，若，，对任意的，总存在，使得，则实数b的取值范围是（ ）
A．[1，7] B．[5，9] C．[4，6] D．[5，7]
2．已知函数的表达式为．若且，则的取值范围为（ ）
A．； B．；
C．； D．．
3．若是定义域为的偶函数，且当时，，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
4．偶函数关于点中心对称，且当时，，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．天上的星光有的较亮，有的较暗，天文学以“星等”区分之，即选择某一特定的星光强度为标准，对于发出星光强度为F的星体，定义其“星等”为，并称该星体为“m等星”，已知天狼星为等星，北极星为2等星，则天狼星的星光强度大约是北极星的（ ）倍.(已知.)
A．3 B．13 C．23 D．33
6．如图，直线与函数和的图象分别交于点，，若函数的图象上存在一点，使得为等边三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数（且）在上既是奇函数，又是增函数，则的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。
9．对于给定的正数k，定义函数．若对于函数的定义域内的任意实数x，恒有，则（ ）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递减
C．的最大值为
D．的最小值为
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的高斯函数为，表示不超过x的最大整数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数 C．在R上是增函数 D．的值域是
11．某学校为了加强学生核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，让学生以函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下，其中研究成果正确的是（ ）
A．函数的定义域为，且是偶函数
B．对于任意的，都有
C．对于任意的a，，都有
D．对于函数定义域内的任意两个不同的实数，，总满足
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的函数值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知a、b为正实数且，函数的定义域为．若函数在区间上的最大值为5，最小值为2，则函数在区间上的最大值与最小值的和为______．
14．函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是______．
15．已知函数的值域是R，则实数的最大值是___________；
16．关于函数的下列命题：
①函数的图象关于y轴对称；
②函数的最小值为；
③当时，是增函数；当时，是减函数；
④在上是增函数；
⑤无最大值，也无最小值．
其中正确命题的序号是_________．
四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。
17．已知函数的定义域为，其表达式为，且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，总有成立；（2）当，且时，总有成立．求实数b的值组成的集合．
18．已知函数的表达式为
（1）求函数的定义域；
（2）若函数的最小值为，求实数a的值．
19．已知关系式（其中，，常数）．若当时，取到最小值，求此时相应的的值．
20．（1）已知，求的值；
（2）计算：．
21．已知函数是偶函数．
（1）求k的值．
（2）若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
22．已知，函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于x的方程的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．
参考答案
1．D
【解析】函数在[1，3]上单调递增，所以．函数的图象开口向下，对称轴为直线，所以g（x）在[1，3]上单调递减，所以．因为对任意的，总存在，使得，所以，所以，解得．
故选：D
2．D
【解析】因为，
所以，故或．
若，则（舍去）；
若，则，
又，
所以，
因此（等号当且仅当，即时成立），
即的取值范围是．
故选：D．
3．A
【解析】由题意当时，则，又因为函数是偶函数，
故得到
所以函数的解析式为：，
当，即时，由，
得，即，即，又，∴；
当，即时，由，
得，即，即，又，∴.
综上，得的解集是.
故选：A.
4．B
【解析】偶函数关于点对称，则，，
令，则，
故，
是周期为4的函数，
，，
又，
，
，
．
故选：B.
5．C
【解析】解：设天狼星的星光强度为，北极星的星光强度为，
因为天狼星为等星，北极星为2等星，
所以，
解得，，
所以
故选：C
6．C
【解析】由題意，，.
设，因为是等边三角形，
所以点到直线的距离为，
所以，.
根据中点坐标公式可得
，
所以，解得.
故选：C
7．D
【解析】若，，使得，则.
由于函数在区间上为增函数，则，
由于函数在区间上为减函数，则，
所以，，解得.
故选：D.
8．B
【解析】∵函数(a>0,a≠1)在R上是奇函数，
∴f(0)=0，∴k=2，
经检验k=2满足题意，
又函数为增函数，
所以，
所以g(x)=loga(x+2)
定义域为x> 2，且单调递增，
故选：B.
9．AD
【解析】解：由题意，知函数的定义域为．令，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在定义域内单调递增，
所以在上单调递增，A正确，B错误．
易知，则，所以，
分析知，因此，D正确，C错误.
故选：AD
10．BCD
【解析】解：∵，∴，∴f（x）是奇函数，A错误，B正确；
∵函数，函数是增函数，∴在R上是增函数，C正确；
∵，∴，∴，∴当时，，当时，，当时，，∴函数的值域为{-1，0}，D正确．
综上可知，B，C，D正确．
故选：BCD
11．BC
【解析】A：由，解得，故的定义域为．
又，
∴为奇函数，故错误．
B：由，，故正确．
C：，
，
∴，故正确．
D：取，，则，，
∴，故错误．
故选：BC．
12．ABC
【解析】因为，所以，
所以，即，
因为，因为，，所以，所以，所以
即
当时，，所以，，此时，
当时，，所以，，此时，
当时，，此时，，此时，
所以函数的值域为.
故选：ABC
13．7
【解析】令，．
由幂函数的性质，可知的图像关于原点对称或者关于y轴对称．
又因为函数在区间上的最大值为5，最小值为2，
所以，当的图像关于原点对称时，
在区间上的最大值为7，最小值为4，
在区间上的最大值为，最小值为，
于是在区间上的最大值为，最小值为．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
同理可得，当的图像关于y轴对称时，
在区间上的最大值为5，最小值为2．
所以在区间上的最大值与最小值的和为；
因此，在区间上的最大值与最小值的和为7或．
故答案为：7或．
14．
【解析】由得，又．是对称轴．
所以的增区间是，又在区间内单调递增，
所以，解得．
故答案为：．
15．8
【解析】当时，．
因为的值域为，则当时，．
当时，，
故在，上单调递增，
，即，
解得，即的最大值为8．
故答案为：8．
16．①②④
【解析】对①，，定义域为，
，
所以函数为偶函数，图象关于y轴对称，故①正确.
对②， ，
当且仅当，即时取等号，
所以函数的最小值为，故②正确.
对③，时，，
令，设任意，
.
当时，，所以为减函数，
当时，，所以为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，故③错误.
对④，因为函数在为减函数，在为增函数，
又因为函数为偶函数，
所以在，上是增函数，故④正确.
对⑤，由②知，函数的最小值为，故⑤错误.
故答案为：①②④
17．
【解析】因为对任意的，总有，
即在时恒成立，从而．
令，可得
．
当，且时，，所以．
综上所述，实数b的值组成的集合为．
18．
（1）
（2）
（1）
令，
解得，
所以函数的定义域为．
（2）
，令．
当时，，等号当且仅当时成立．
又，所以对数函数在区间上为严格减函数．
因此，当，即时，函数取到最小值．
由题意，可知，解得．
19．
【解析】由，得．
令，则，且有，即．
由知，当时，取到最小值．
又当时，取到最小值，所以，即，于是．
将，代入，得，即，所以．
20．（1）；（2）.
【解析】（1）因为，两边平方，得，即，所以．又，可得．所以．
（2）原式．
21．
（1）
（2）存在，m的值为
（1）
∵函数是偶函数，
∴，即，
∴，∴；
（2）
假设存在满足条件的实数m．
由题意，可得，．
令，则，．
令，．
∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当，即时，，解得；
当，即时，
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）．
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．
22．
（1）或
（2）
（1）
（1）当时，．
由，得，即，解得或，
∴不等式的解集为或；
（2）
（2）由，
可得，
即，
所以，①
即，化简，得．②
当时，方程②的解为，代入①，满足题意；
当时，方程②的解为，代入①，满足题意；
当且时，方程的②的解为或，
若是方程①的解，则，即，
若是方程①的解，则，即，
则要使方程①有且仅有一个解，则．
综上，若方程的解集中恰好有一个元素，
则实数a的取值范围是．