2021-2022学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.1.2椭圆的简单几何性质同步练习（Word含答案解析）

椭圆的几何性质
一、单选题
1．已知椭圆的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于（ ）
A．8 B．7 C．12 D．14
2．椭圆与关系为（ ）
A．有相等的长轴 B．有相等的短轴
C．有相等的焦点 D．有相等的焦距
3．在椭圆上有一点P，、是椭圆的左右焦点，为直角三角形，则这样的点P有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
4．比较下列四个椭圆的形状，其中更接近于圆的是（ ）
A． B．
C． D．
5．设、，条件甲：，条件乙：，则条件甲是条件乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知点是椭圆上非顶点的动点，，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，若是的平分线上一点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为的平面所截，截面是一个椭圆，当为时，这个椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为 B．长轴长是
C．焦点在轴上 D．焦点坐标为(-1，0)，(1，0)
10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．离心率
C．面积的最大值为
D．以线段为直径的圆与直线相切
11．已知椭圆C1： (a1＞b1＞0)和椭圆C2： (a2＞b2＞0)的焦点相同且a1＞a2．给出如下四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．椭圆C1和椭圆C2一定没有公共点；
B．
C．
D．
12．黄金分割比例具有严格的比例性、艺术性，和谐性，蕴含着丰富的美学价值．这一比值能够引起人们的美感，是建筑和艺术中最理想的比例．我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则以下说法正确的是（ ）
A．椭圆是“黄金椭圆”
B．若椭圆的右焦点为，且满足，则该椭圆为“黄金椭圆”
C．设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
D．设椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，，若，则该椭圆为“黄金椭圆”
三、填空题
13．与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且b=2的椭圆方程是_______.
14．设为椭圆的左 右焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为___________.
15．已知椭圆的焦点，，长轴长为6，设直线交椭圆于，两点，则线段的中点坐标为________.
16．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：上点处的曲率半径公式为.若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为___________.
四、解答题
17．已知椭圆的焦距为，离心率为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点，点B在椭圆C上，求线段长度的最大值.
18．已知椭圆C：＋＝1经过点(0,)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由.
19．已知动点到点的距离与直线的距离的比值为，动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）直线与曲线交于，两点，为原点，求三角形面积的最大值．
20．若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：，A1，A2分别为椭圆C1的左，右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
（1）求椭圆C2的方程；
（2）设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H．求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
参考答案
1．A
由题得，解之得.
故选：A
2．D
解：椭圆的长轴为10，短轴为6，焦距为8，焦点分别为，
椭圆的长轴为，短轴为，焦距为8，焦点分别为，
所以两椭圆的焦距相同，
故选：D
3．D
解：①当轴时，有两个点满足条件；同理，当轴时，有两个点满足条件；
②，，
．
以原点为圆心、5为半径的圆与椭圆相交于四个点，这四个点都满足条件．
综上可知：能使△为直角三角形的点共有8个．
故选：．
4．B
A. 由，得，，离心率为；
B. ，得，，离心率为；
C. ，得，，离心率为；
D. ，得，，离心率为，
因为，所以更接近于圆.
故选：B.
5．A
充分性：由于，可得，得，同理可得，
所以，条件甲是条件乙的充分条件；
必要性：当，，取，，则，
所以，条件甲不是条件乙的必要条件.
综上所述，条件甲是条件乙的充分不必要条件.
故选：A.
6．C
当时，，由条件知，解得；
当时，，由条件知，解得，综上知C正确．
故选：C．
7．B
如图，
延长交的延长线于点，
∵，∴.
又为的平分线，∴，
且为的中点.
∵为的中点，∴.
∵，
∴，
∵，且，
∴.
故选：B
8．A
设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c
根据题意可知，
所以椭圆的离心率，选项A正确
故选：A.
9．AD
将椭圆方程化为标准方程为
所以该椭圆的焦点在轴上，故C错误；
焦点坐标为，故D正确；
长轴长是故B错误
因为所以离心率故A正确.
故选：AD.
10．AD
由题意，椭圆，可得，可得，
所以焦点为,
根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；
其中面积的最大值为，所以C错误；
由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确.
故选：AD
11．ABD
由已知条件可得，可得，而，则，可知两椭圆无公共点，即A正确；
又，知B正确；
由，可得，则与的大小关系不确定，不正确，即C不正确；
∵，∴，而又由，可得，即D正确．
综上可得，正确的结论为ABD．
故选：ABD．
12．ABC
对于A：由题意得，，
故，故椭圆是“黄金椭圆”，故A正确；
对于B：，即，故，
解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故B正确；
对于C：由得，化简可知，
解得或（舍去），故该椭圆是“黄金椭圆”， 故C正确；
对于D：由，得，
则（负值舍去），故该椭圆不是“黄金椭圆”， 故D错误．
故选：ABC
13．.
解：椭圆，即，
，且焦点在y轴上，
椭圆的焦点与椭圆有相同焦点，
椭圆的半焦距，又 b=2，
，
椭圆的标准方程为.
故答案为：.
14．
依题意，，右焦点，
如图，因线段的中点在y轴上，而O是线段，于是得PF2//y轴，即PF2⊥x轴，
由得，则有，于是有，，
所以的值为.
故答案为：
15．
由已知条件得椭圆的焦点在轴上，其中，，从而，
∴其标准方程是：，
联立方程组，消去得，.
设、，线段的中点为，则，，
∴，即线段中点坐标为.
故答案为：
16．
解：因为点在椭圆上，则，即，
所以，
因为，
所以，则，所以，
因为曲率半径最大值是最小值的8倍，
所以，即，所以，
则椭圆的离心率为，
故答案为：.
17．
（1）
（2）
（1）
依题意，得，离心率，
所以，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）
设，则，则有
所以，
由两点间的距离公式，得
，
因为，
所以当时，线段的长度最大，为.
18．
（1）＋＝1
（2）是定值，－
解：（1）
依题意得：b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，
∴a＝2，c＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1；
（2）
直线l与y轴相交于M，故斜率存在，又F (1,0)，
设直线l方程为y＝k(x－1)，则M(0,－k)，
设l交椭圆A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝，又＝λ，
∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，
∴λ＝，同理μ＝，
∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.
∴当直线l的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－.
19．
（1）
（2）
解：（1）
设点，根据题意得 化简得，
所以曲线 C 的方程为
（2）
( 2 ) 设直线 与曲线交于两点的坐标分别为，
联立得
所以， ，
所以=
所以
= =
令，
所以=
当且仅当 即，此时时取等号，
所以当时，三角形面积的最大，最大值为.
20．（1） ；（2）证明见解析.
解：
（1） 由题意可知，椭圆C1的离心率，
设椭圆C2的方程为，则，，
解得，
所以椭圆C2的方程为.
（2） 证明：设，则由得 ，
把带入椭圆，得，
因为在轴的同侧，所以，所以，
所以,
所以，又，所以H为△PA1A2的垂心．