2021-2022学年河北省唐山市迁安市八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年河北省唐山市迁安市八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 467.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 冀教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-22 08:59:59 | ||
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文档简介
2021-2022学年河北省唐山市迁安市八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题有16个小题，每小题2分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2．（2分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．＝4 B．＝±5 C．＝1 D．＝±5
3．（2分）在﹣，﹣2，，，3.14，（）2中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝AB
5．（2分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
6．（2分）近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是（ ）
A．1.15＜a＜1.25 B．1.195＜a＜1.205
C．1.195≤a＜1.205 D．1.15≤a＜1.25
7．（2分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
9．（2分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
10．（2分）边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（ ）
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
11．（2分）如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．（2分）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
15．（2分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根究题意列方程为（ ）
A．＝﹣12 B．＝+12
C．＝﹣12 D．＝+12
16．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC＝∠BFD；②∠ENI＝∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI＝∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有3小题，共10分；17-18小题3分19小题4分把答案写在题中横线上）
17．（3分）在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是 ．
18．（3分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位达点B，点A表示﹣，则B表示的数为 ．
19．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接
DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP与△DCE全等．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
21．（9分）（1）化简并求值：已知x＝﹣3，y＝2，求的值．
（2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
①求a的值及这个正数；
②求关于x的方程ax3﹣（﹣8）2＝0的解．
22．（10分）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
23．（10分）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS：如果两个三角形的 及其中一个 对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC和△DEF，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠A＝ ， ＝EF求证：△ABC≌△DEF
（3）按小红的想法写出证明：
证明：
24．（10分）在迁安市“创建文明城市”行动中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工20天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，才能完成该项工程．
（1）若甲队单独施工，需要 天才能完成任务．
（2）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（3）若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
25．（12分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
尝试探究：
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．
2021-2022学年河北省唐山市迁安市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题有16个小题，每小题2分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
2．（2分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．＝4 B．＝±5 C．＝1 D．＝±5
【分析】根据平方根、立方根，即可解答．
【解答】解：A、＝4，正确；
B、＝5，故错误；
C、＝﹣1，故错误；
D、＝5，故错误；
故选：A．
3．（2分）在﹣，﹣2，，，3.14，（）2中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣，是无理数，
故选：A．
4．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝AB
【分析】已有条件AB＝AB，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA必须添加边相等，根据判定方法可得应添加BD＝AC．
【解答】解：还需要加上条件BD＝AC，
∵在△ABD和△BAC中，
∴△ACB≌△BDA（SAS），
故选：B．
5．（2分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2﹣4＝0，x﹣2≠0，解出x即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
故选：C．
6．（2分）近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是（ ）
A．1.15＜a＜1.25 B．1.195＜a＜1.205
C．1.195≤a＜1.205 D．1.15≤a＜1.25
【分析】利用近似数的精确度得到a的范围即可判断．
【解答】解：近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是1.195≤a＜1.205．
故选：C．
7．（2分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选：D．
8．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×＝6，所以此选项正确；
C、（2）2＝4×2＝8，所以此选项错误；
D、＝＝，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
9．（2分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：∵分式中x、y都扩大3倍可变为．
故选：D．
10．（2分）边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（ ）
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【分析】根据正方形的面积公式可得正方形的边长，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果．
【解答】解：设正方形的边长为a，
a2＝7，
∴a＝，
：∵6.25＜7＜9，
∴2.5＜＜3，
则表示的点在数轴上表示时，在C和D两个字母之间，
∴表示m的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间，
故选：A．
11．（2分）如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得∠BAE＝∠CAD＝60°，即可求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故选：C．
12．（2分）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉．
【解答】解：＝，
＝﹣，
故选：B．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】∠1＝∠2，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，
加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
14．（2分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得，
2﹣x﹣m＝2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
∴2﹣3﹣m＝2（3﹣3），
解得m＝﹣1．
故选：A．
15．（2分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根究题意列方程为（ ）
A．＝﹣12 B．＝+12
C．＝﹣12 D．＝+12
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣12，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：
＝﹣12，
故选：A．
16．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC＝∠BFD；②∠ENI＝∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI＝∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据∠ACB＝90°可知∠DBF+∠BAC＝90°，再由FD⊥AB可知∠BDF＝90°，所以∠DBF+∠BFD＝90°，通过等量代换即可得出∠BAC＝∠BFD，故①正确；根据∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN＝∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN＝∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI＝∠EMI，故②正确；由①知∠BAC＝∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD＝∠MFI，再根据∠AMD＝∠FMI可知，∠AIF＝∠ADM＝90°，即AI⊥FI，故③正确；因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠DBF+∠BAC＝90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠BAC＝∠BFD，故①正确；
∵∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN＝∠EAM，
∵∠FEN＝∠AEM，
∴∠ENI＝∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD＝∠MFI，
∵∠AMD＝∠FMI，
∴∠AIF＝∠ADM＝90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题有3小题，共10分；17-18小题3分19小题4分把答案写在题中横线上）
17．（3分）在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是 2 ．
【分析】先比较大小，再选出最大的即可．
【解答】解：∵﹣0.6＜﹣＜0＜＜2，
∴在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是2，
故答案为：2．
18．（3分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位达点B，点A表示﹣，则B表示的数为 ．
【分析】根据数轴上的点表示的数解决本题．
【解答】解：B表示的数为．
故答案为：．
19．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接
DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP与△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则，先计算括号内，再计算除法．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、检验解决此题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝．
（2），
去分母，得2x+9﹣（x+3）＝2．
去括号，得2x+9﹣x﹣3＝2．
移项，得2x﹣x＝2+3﹣9．
合并同类项，得x＝﹣4．
经检验：当x＝﹣4时，x+3≠0．
∴这个分式方程的解为x＝﹣4．
21．（9分）（1）化简并求值：已知x＝﹣3，y＝2，求的值．
（2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
①求a的值及这个正数；
②求关于x的方程ax3﹣（﹣8）2＝0的解．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算即可；
（2）①根据平方根的性质得出a+6+2a﹣9＝0，解之求出a的值，继而得出a+6或2a﹣9的值，从而求出这个正数；
②将a的值代入方程得出x3﹣64＝0，进一步求解即可．
【解答】解：（1）原式＝（+）÷﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣3，y＝2时，
原式＝
＝
＝．
（2）①根据题意，得：a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
∴a+6＝7，
∴这个正数为72＝49；
②当a＝1时，方程为x3﹣64＝0，
∴x3＝64，
∴x＝4．
22．（10分）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
【分析】（1）由AAS可证△AFB≌△DFE；
（2）求出CE和ED长即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFE中，
，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝6，
∵DC＝4CE，
∴CE+6＝4CE，
∴CE＝2．
∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．
23．（10分）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS：如果两个三角形的 两角 及其中一个 角的对边 对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC和△DEF，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠A＝ D ， BC ＝EF求证：△ABC≌△DEF
（3）按小红的想法写出证明：
证明：
【分析】（1）根据“AAS”内容填出结果；
（2）∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E，结合条件可得∠C＝∠F，根据“ASA”得证．
【解答】（1）解：根据AAS内容得：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等，
故答案是：两角，角的对边；
（2）证明：在△ABC中，根据三角形内角和是180°，得
∠A+∠AB+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
同理可得，
∠F＝180°﹣∠D﹣∠E，
∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
24．（10分）在迁安市“创建文明城市”行动中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工20天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，才能完成该项工程．
（1）若甲队单独施工，需要 60 天才能完成任务．
（2）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（3）若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【分析】（1）由甲队单独施工20天完成该项工程的，即可求解；
（2）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，根据甲的工作量+乙的工作量＝1，列出分式方程，解方程即可；
（3）由甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，得出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵甲队单独施工20天完成该项工程的，
∴甲队单独施工60天完成该项工程，
故答案为：60；
（2）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
根据题意得：+16×（+）＝1，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解．
答：乙队单独施工，需要40天才能完成该项工程；
（3）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，
根据题意得：×30+y×≥1，
解得：y≥20，
答：乙队至少施工20天才能完成该项工．
25．（12分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 BD⊥CE ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： BC＝CD+CE ．
尝试探究：
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．
【分析】（1）根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD＝BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得到CE＝BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝82+22＝68，即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
即BD⊥CE；
由①可得，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE，BC＝CD+CE；
（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
（3）如图3中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，
易证△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝135°，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝8，
∵∠ACB＝45°
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝82+22＝68，
∴DE＝2．
一、选择题：（本大题有16个小题，每小题2分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
2．（2分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．＝4 B．＝±5 C．＝1 D．＝±5
3．（2分）在﹣，﹣2，，，3.14，（）2中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝AB
5．（2分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
6．（2分）近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是（ ）
A．1.15＜a＜1.25 B．1.195＜a＜1.205
C．1.195≤a＜1.205 D．1.15≤a＜1.25
7．（2分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
9．（2分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
10．（2分）边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（ ）
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
11．（2分）如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
12．（2分）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．（2分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
15．（2分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根究题意列方程为（ ）
A．＝﹣12 B．＝+12
C．＝﹣12 D．＝+12
16．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC＝∠BFD；②∠ENI＝∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI＝∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有3小题，共10分；17-18小题3分19小题4分把答案写在题中横线上）
17．（3分）在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是 ．
18．（3分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位达点B，点A表示﹣，则B表示的数为 ．
19．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接
DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，△ABP与△DCE全等．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
21．（9分）（1）化简并求值：已知x＝﹣3，y＝2，求的值．
（2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
①求a的值及这个正数；
②求关于x的方程ax3﹣（﹣8）2＝0的解．
22．（10分）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
23．（10分）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS：如果两个三角形的 及其中一个 对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC和△DEF，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠A＝ ， ＝EF求证：△ABC≌△DEF
（3）按小红的想法写出证明：
证明：
24．（10分）在迁安市“创建文明城市”行动中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工20天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，才能完成该项工程．
（1）若甲队单独施工，需要 天才能完成任务．
（2）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（3）若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
25．（12分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： ．
尝试探究：
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．
2021-2022学年河北省唐山市迁安市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题有16个小题，每小题2分，共32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）25的算术平方根是（ ）
A．5 B．±5 C．﹣5 D．25
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵52＝25，
∴25的算术平方根是5．
故选：A．
2．（2分）下列各式中，计算正确的是（ ）
A．＝4 B．＝±5 C．＝1 D．＝±5
【分析】根据平方根、立方根，即可解答．
【解答】解：A、＝4，正确；
B、＝5，故错误；
C、＝﹣1，故错误；
D、＝5，故错误；
故选：A．
3．（2分）在﹣，﹣2，，，3.14，（）2中无理数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：﹣，是无理数，
故选：A．
4．（2分）如图，AC、BD相交于点O，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA，则还需要加上条件（ ）
A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．OA＝AB
【分析】已有条件AB＝AB，∠1＝∠2，若用“SAS”说明△ACB≌△BDA必须添加边相等，根据判定方法可得应添加BD＝AC．
【解答】解：还需要加上条件BD＝AC，
∵在△ABD和△BAC中，
∴△ACB≌△BDA（SAS），
故选：B．
5．（2分）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2
【分析】由已知可得，分式的分子为零，分母不为零，由此可得x2﹣4＝0，x﹣2≠0，解出x即可．
【解答】解：∵分式的值为零，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝±2，
∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴x＝﹣2，
故选：C．
6．（2分）近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是（ ）
A．1.15＜a＜1.25 B．1.195＜a＜1.205
C．1.195≤a＜1.205 D．1.15≤a＜1.25
【分析】利用近似数的精确度得到a的范围即可判断．
【解答】解：近似数1.20是由a四舍五入得到的，那么a的取值范围是1.195≤a＜1.205．
故选：C．
7．（2分）用直尺和圆规画一个角等于已知角，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，其运用全等的方法是（ ）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】根据用直尺和圆规画一个角等于已知角的过程很容易看出所得两个三角形三边对应相等．
【解答】解：设已知角为∠O，以顶点O为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边分别为A，B两点；
画一条射线b，端点为M；
以M为圆心，OA长为半径画弧，交射线b于C点；以C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；
作射线MD．
则∠COD就是所求的角．
由以上过程不难看出两个三角形中有三条边对应相等，
∴证明全等的方法是SSS．
故选：D．
8．（2分）下列计算正确的是（ ）
A．﹣＝ B．3×2＝6 C．（2）2＝16 D．＝1
【分析】A、和不是同类二次根式，不能合并；
B、二次根式相乘，系数相乘作为积的系数，被开方数相乘，作为积中的被开方数；
C、二次根式的乘方，把每个因式分别平方，再相乘；
D、二次根式的除法，把分母中的根号化去．
【解答】解：A、不能化简，所以此选项错误；
B、3×＝6，所以此选项正确；
C、（2）2＝4×2＝8，所以此选项错误；
D、＝＝，所以此选项错误；
本题选择正确的，故选B．
9．（2分）把分式中的x、y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大6倍
C．缩小为原来的 D．不变
【分析】根据分式的基本性质进行解答即可．
【解答】解：∵分式中x、y都扩大3倍可变为．
故选：D．
10．（2分）边长是m的正方形面积是7，如图，表示m的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间（ ）
A．C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【分析】根据正方形的面积公式可得正方形的边长，利用算术平方根求出的范围，即可得到结果．
【解答】解：设正方形的边长为a，
a2＝7，
∴a＝，
：∵6.25＜7＜9，
∴2.5＜＜3，
则表示的点在数轴上表示时，在C和D两个字母之间，
∴表示m的点在数轴上表示时，所在C和D两个字母之间，
故选：A．
11．（2分）如图，已知AD＝AE，BE＝CD，∠1＝∠2＝100°，∠BAE＝60°，则∠CAE的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】由“SAS”可证△AEB≌△ADC，可得∠BAE＝∠CAD＝60°，即可求解．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝100°，
∴∠ADE＝∠AED＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝20°，
∵AD＝AE，∠ADE＝∠AED，BE＝CD，
∴△AEB≌△ADC（SAS）
∴∠BAE＝∠CAD＝60°，
∴∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE＝40°，
故选：C．
12．（2分）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先把分式分子分母因式分解，然后把相同的因子约掉．
【解答】解：＝，
＝﹣，
故选：B．
13．（2分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】∠1＝∠2，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，
加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
14．（2分）若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值是（ ）
A．m＝﹣1 B．m＝0 C．m＝3 D．m＝0或m＝3
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣3），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．
【解答】解：方程两边都乘以（x﹣3）得，
2﹣x﹣m＝2（x﹣3），
∵分式方程有增根，
∴x﹣3＝0，
解得x＝3，
∴2﹣3﹣m＝2（3﹣3），
解得m＝﹣1．
故选：A．
15．（2分）某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个，设B型包装箱每个可以装x件文具，根究题意列方程为（ ）
A．＝﹣12 B．＝+12
C．＝﹣12 D．＝+12
【分析】关键描述语：单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用12个；可列等量关系为：所用B型包装箱的数量＝所用A型包装箱的数量﹣12，由此可得到所求的方程．
【解答】解：根据题意，得：
＝﹣12，
故选：A．
16．（2分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上任一点，过D作AB的垂线，分别交边AC、BC的延长线于E、F两点，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，AI交DF于点M，FI交AC于点N，连接BI．下列结论：①∠BAC＝∠BFD；②∠ENI＝∠EMI；③AI⊥FI；④∠ABI＝∠FBI；其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据∠ACB＝90°可知∠DBF+∠BAC＝90°，再由FD⊥AB可知∠BDF＝90°，所以∠DBF+∠BFD＝90°，通过等量代换即可得出∠BAC＝∠BFD，故①正确；根据∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I可知∠EFN＝∠EAM，再由对顶角相等可知∠FEN＝∠AEM，根据三角形外角的性质即可判断出∠ENI＝∠EMI，故②正确；由①知∠BAC＝∠BFD，因为∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，故∠MAD＝∠MFI，再根据∠AMD＝∠FMI可知，∠AIF＝∠ADM＝90°，即AI⊥FI，故③正确；因为BI不是∠B的平分线，所以∠ABI≠∠FBI，故④错误．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠DBF+∠BAC＝90°，
∵FD⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠BFD＝90°，
∴∠BAC＝∠BFD，故①正确；
∵∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠EFN＝∠EAM，
∵∠FEN＝∠AEM，
∴∠ENI＝∠EMI，故②正确；
∵由①知∠BAC＝∠BFD，∠BAC、∠BFD的平分线交于点I，
∴∠MAD＝∠MFI，
∵∠AMD＝∠FMI，
∴∠AIF＝∠ADM＝90°，即AI⊥FI，故③正确；
∵BI不是∠B的平分线，
∴∠ABI≠∠FBI，故④错误．
故选：C．
二、填空题（本大题有3小题，共10分；17-18小题3分19小题4分把答案写在题中横线上）
17．（3分）在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是 2 ．
【分析】先比较大小，再选出最大的即可．
【解答】解：∵﹣0.6＜﹣＜0＜＜2，
∴在2，，0，﹣，﹣0.6这五个数中，最大的数是2，
故答案为：2．
18．（3分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位达点B，点A表示﹣，则B表示的数为 ．
【分析】根据数轴上的点表示的数解决本题．
【解答】解：B表示的数为．
故答案为：．
19．（3分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接
DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 1或7 秒时，△ABP与△DCE全等．
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP＝2t＝2和AP＝16﹣2t＝2即可求得．
【解答】解：因为AB＝CD，若∠ABP＝∠DCE＝90°，BP＝CE＝2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，
由题意得：BP＝2t＝2，
所以t＝1，
因为AB＝CD，若∠BAP＝∠DCE＝90°，AP＝CE＝2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，
由题意得：AP＝16﹣2t＝2，
解得t＝7．
所以，当时．△ABP和△DCE全等．
故答案为：1或7．
三、解答题（本大题有6个小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20．（8分）（1）计算：．
（2）解方程：．
【分析】（1）根据分式的混合运算法则，先计算括号内，再计算除法．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、检验解决此题．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝．
（2），
去分母，得2x+9﹣（x+3）＝2．
去括号，得2x+9﹣x﹣3＝2．
移项，得2x﹣x＝2+3﹣9．
合并同类项，得x＝﹣4．
经检验：当x＝﹣4时，x+3≠0．
∴这个分式方程的解为x＝﹣4．
21．（9分）（1）化简并求值：已知x＝﹣3，y＝2，求的值．
（2）已知一个正数的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
①求a的值及这个正数；
②求关于x的方程ax3﹣（﹣8）2＝0的解．
【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x、y的值代入计算即可；
（2）①根据平方根的性质得出a+6+2a﹣9＝0，解之求出a的值，继而得出a+6或2a﹣9的值，从而求出这个正数；
②将a的值代入方程得出x3﹣64＝0，进一步求解即可．
【解答】解：（1）原式＝（+）÷﹣
＝ ﹣
＝﹣
＝，
当x＝﹣3，y＝2时，
原式＝
＝
＝．
（2）①根据题意，得：a+6+2a﹣9＝0，
解得a＝1，
∴a+6＝7，
∴这个正数为72＝49；
②当a＝1时，方程为x3﹣64＝0，
∴x3＝64，
∴x＝4．
22．（10分）如图，在△ACD中，E为边CD上一点，F为AD的中点，过点A作AB∥CD，交EF的延长线于点B．
（1）求证：△AFB≌△DFE；
（2）若AB＝6，DC＝4CE，求CD的长．
【分析】（1）由AAS可证△AFB≌△DFE；
（2）求出CE和ED长即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠DEF，∠BAF＝∠D，
∵F为AD的中点，
∴AF＝DF，
在△AFB和△DFE中，
，
∴△AFB≌△DFE（AAS），
（2）∵△AFB≌△DFE，
∴AB＝DE＝6，
∵DC＝4CE，
∴CE+6＝4CE，
∴CE＝2．
∴CD＝CE+DE＝2+6＝8．
23．（10分）课本指出：公认的真命题称为基本事实，除了基本事实外，其他的真命题（如推论、定理等）的正确性都需要借助基本事实，通过推理的方法证实．例如：我们学过三角形全等的基本事实有三个，即：“SSS”、“SAS”、“ASA”，请你完成以下问题：
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS：如果两个三角形的 两角 及其中一个 角的对边 对应相等，那么这两个三角形全等．
（2）小红同学对这个推论的正确性进行了证明，她画出了△ABC和△DEF，并写出了如下不完整的已知和求证．
已知：如图，△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，∠A＝ D ， BC ＝EF求证：△ABC≌△DEF
（3）按小红的想法写出证明：
证明：
【分析】（1）根据“AAS”内容填出结果；
（2）∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠F＝180°﹣∠D﹣∠E，结合条件可得∠C＝∠F，根据“ASA”得证．
【解答】（1）解：根据AAS内容得：如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等，
故答案是：两角，角的对边；
（2）证明：在△ABC中，根据三角形内角和是180°，得
∠A+∠AB+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，
同理可得，
∠F＝180°﹣∠D﹣∠E，
∵∠B＝∠E，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠F，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
24．（10分）在迁安市“创建文明城市”行动中，甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设，甲队单独施工20天完成该项工程的，这时乙队加入，两队还需同时施工16天，才能完成该项工程．
（1）若甲队单独施工，需要 60 天才能完成任务．
（2）若乙队单独施工，需要多少天才能完成该项工程？
（3）若甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程？
【分析】（1）由甲队单独施工20天完成该项工程的，即可求解；
（2）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，根据甲的工作量+乙的工作量＝1，列出分式方程，解方程即可；
（3）由甲队参与该项工程施工的时间不超过30天，得出不等式，求解即可．
【解答】解：（1）∵甲队单独施工20天完成该项工程的，
∴甲队单独施工60天完成该项工程，
故答案为：60；
（2）设乙队单独施工，需要x天才能完成该项工程，
根据题意得：+16×（+）＝1，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原方程的解．
答：乙队单独施工，需要40天才能完成该项工程；
（3）设乙队参与施工y天才能完成该项工程，
根据题意得：×30+y×≥1，
解得：y≥20，
答：乙队至少施工20天才能完成该项工．
25．（12分）已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作△ADE，使∠DAE＝90°，AD＝AE，连接CE．
发现问题：
如图1，当点D在边BC上时，
（1）请写出BD和CE之间的位置关系为 BD⊥CE ，并猜想BC和CE、CD之间的数量关系： BC＝CD+CE ．
尝试探究：
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BD和CE之间的位置关系、BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
拓展延伸：
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段ED的长．
【分析】（1）根据条件AB＝AC，∠BAC＝90°，AD＝AE，∠DAE＝90°，判定△ABD≌△ACE（SAS），即可得出BD和CE之间的关系，根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD＝BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再根据BD＝BC+CD，即可得到CE＝BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝82+22＝68，即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
即BD⊥CE；
由①可得，△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD，
故答案为：BD⊥CE，BC＝CD+CE；
（2）BD⊥CE成立，数量关系不成立，关系为BC＝CE﹣CD．
理由：如图2中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD
即∠BAD＝∠CAE，
∴在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴BD＝BC+CD，即CE＝BC+CD，∠ACE+∠ACB＝90°，
∴BC＝CE﹣CD；BD⊥CE；
（3）如图3中，由（1）同理可得，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，
即∠BAD＝∠EAC，
易证△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE＝2，∠ACE＝∠ABD＝135°，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE＝8，
∵∠ACB＝45°
∴∠DCE＝90°，
在Rt△DCE中，由勾股定理得DE2＝DC2+CE2＝82+22＝68，
∴DE＝2．
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