2021-2022学年鲁教版（五四版）九年级数学下册5.2圆的对称性 同步辅导测评（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.2圆的对称性》优生辅导测评（附答案）
一．选择题（共11小题，满分44分）
1．如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则的度数为何？（　　）
A．25° B．40° C．50° D．60°
2．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（　　）
A．60° B．75° C．80° D．90°
3．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．AB＝AD B．BE＝CD C．AC＝BD D．BE＝AD
5．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB＝2∠BOC，则下列说法中正确的是（　　）
A．∠OBA＝∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O
C．AB＝2BC D．∠OBA+∠BOC＝90°
6．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　）
A．100° B．110° C．120° D．135°
7．如图，AB是⊙O的弦（AB不是直径），以点A为圆心，以AB长为半径画弧交⊙O于点C，连接AC、BC、OB、OC．若∠ABC＝65°，则∠BOC的度数是（　　）
A．50° B．65° C．100° D．130°
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
9．如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（　　）
A．1 B． C． D．2
10．如图，⊙O的直径CD的长为4，＝，∠A＝60°．则AC的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．
11．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，若∠AOC＝54°，则∠E的度数为（　　）度．
A．27 B．24 C．20 D．18
二．填空题（共4小题，满分20分）
12．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　 　．
13．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝　 　度．
14．已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠COA＝120°，则∠CBA的度数为　 　．
15．已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数是　 　．
三．解答题（共8小题，满分56分）
16．已知：如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，且OD∥BC．求证：AD＝DC．
17．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，CE⊥OA交⊙O于点E，连接AE．求证：AE＝AO．
18．已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
19．如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC＝8，DE＝2，求
（1）求半圆的半径长；
（2）BE的长度．
20．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．
21．如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：CD＝CE．
22．如图，⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M，N．且AB＝CD，求证：∠AMN＝∠CNM．
23．如图，⊙O中，弦AB＝CD．求证：∠AOC＝∠BOD．
参考答案
一．选择题（共11小题，满分44分）
1．解：连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A＝75°，∠D＝60°，
∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，
∵＝150°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
则的度数为60°．
故选：D．
2．解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，
它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．
连接AQ，CQ，
在△APQ与△CQN中
，
∴△APQ≌△CQN（SAS），
∴∠AQP＝∠CQN，∠PAQ＝∠CQN
∵∠AQP+∠PAQ＝90°，
∴∠AQP+∠CQN＝90°，
∴∠AQC＝90°，
即所对的圆心角的大小是90°，
故选：D．
3．解：如图连接OB、OD；
∵AB＝CD，
∴＝，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM＝MB，CN＝ND，
∴BM＝DN，
∵OB＝OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM＝ON，故②正确，
∵OP＝OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确，
∵AM＝CN，
∴PA＝PC，故③正确，
故选：D．
4．解：
∵，
∴，
∴，
∴AC＝BD，
故选：C．
5．解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，
则＝，
∴AE＝BE，∠AOE＝∠BOE＝AOB，
∵∠AOB＝2∠BOC，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠BOC，
∴＝＝，
∴AE＝BE＝BC，
∴2BC＞AB，故C错误；
∵OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝90°﹣∠BOC，
∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠BOC，
∴∠OBA≠∠OCA，故A错误；
∵点A，B，C在⊙O上，而点O在圆心，
∴四边形OABC不内接于⊙O，故B错误；
∵∠BOE＝∠BOC＝AOB，
∵∠BOE+∠OBA＝90°，
∴∠OBA+∠BOC＝90°，故D正确；
故选：D．
6．解：连接OC、OD，
∵BC＝CD＝DA，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，
∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，
∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．
故选：C．
7．解：由题意可得：AB＝AC，
∵∠ABC＝65°，
∴∠ACB＝65°，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝100°，
故选：C．
8．解：A、∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；
C、在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弦相等，故本选项错误；
D、在同圆或等圆中，弦相等所对的圆心角相等，故本选项错误．
故选：B．
9．解：连接OB、OB′，
∵点A是半圆上一个三等分点，
∴∠AON＝60°，
∵点B是的中点，
∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，
∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，
∴AB′＝＝，
故选：B．
10．解：连接OA，过点O作OF⊥AC于F，
则AF＝FC，
∵＝，
∴AC＝BC，
∵∠CAB＝60°，
∴∠CBA＝∠CAB＝60°，
由圆周角定理得：∠AOC＝2∠CBA＝120°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝30°，
∴AF＝OA cos∠OAC＝2×＝，
∴AC＝2AF＝2，
故选：D．
11．解：连接OD，如图所示：
∵AB＝2DE＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝∠DOE+∠E＝2∠E，
设∠E＝∠DOE＝x，则∠OCD＝∠ODC＝2x，
∵∠AOC＝∠C+∠E＝2x+x＝54°，
∴x＝18°，即∠E＝180°；
故选：D．
二．填空题（共4小题，满分20分）
12．解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．
13．解：如图，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝60°，
故答案为：60．
14．解：如图
当B点在优弧AC上，则∠ABC＝∠AOC＝60°；
当B点在劣弧AC上，即B′点，则∠B′+∠B＝180°，
所以∠B′＝120°．
故答案为：60°或120°．
15．解：如图，连接OC，OA，OB．
∵OC＝OA＝AC＝5，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠CAO＝60°，
∵OA＝OB＝5，AB＝5，
∴OA2+OB2＝50＝AB2，
∴△OAB是等腰直角三角形，∠OAB＝45°，
点C的位置有两种情况，如左图时，∠BAC＝∠CAO+∠OAB＝60°+45°＝105°；
如右图时，∠BAC＝∠CAO﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．
综上所述：∠BAC＝15°或105°．
三．解答题（共8小题，满分56分）
16．证明：连接OC，如图，
∵OD∥BC，
∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，
又∵OB＝OC，
∴∠B＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AD＝DC．
17．证明：连OC，AC，如图，
∵∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴AC＝AO，
∵OA⊥CE，
∴＝，
∴AE＝AC，
∴AE＝AO．
18．证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
19．解：（1）设圆的半径为r，
∵D是弧AC中点，
∴OD⊥AC，AE＝AC＝4，
在Rt△AOE中，OA2＝OE2+AE2，即r2＝（r﹣2）2+42，
解得，r＝5，即圆的半径长为5；
（2）连接BC，
∵AO＝OB，AE＝EC，
∴BC＝2OE＝6，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BE＝＝2．
20．证明：如图，∵AB∥CE，
∴∠ACE＝∠BAC．
又∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠C＝∠CAD，
∴＝，
∴+＝+，
∴＝，
∴AD＝CE．
21．证明：连接OC．
在⊙O中，∵＝
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，D、E分别是半径OA和OB的中点，
∴OD＝OE，
∵OC＝OC（公共边），
∴△COD≌△COE（SAS），
∴CD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
22．证明：连OM，ON，如图，
∵M，N分别为AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠AMO＝∠CNO＝90°，
∵AB＝CD，
∴OM＝ON，
∴∠OMN＝∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM．
23．解：∵弦AB＝CD（已知），
∴＝；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．