2021-2022学年鲁教版（五四版）九年级数学下册5.2圆的对称性 同步辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年鲁教版九年级数学下册《5.2圆的对称性》优生辅导训练（附答案）
1．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，＝，∠BOD＝32°，则∠COE的度数为　 　度．
2．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD＝CO．若的度数为35°，则的度数是　 　．
3．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，OA＝4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E，若点E落在半径OA上，则OE＝　 　．
4．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE＝　 　°．
5．如图，已知AB、CD是⊙O的直径，，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为　 　度．
6．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝　 　．
7．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若＝＝，则∠P的大小为　 　度．
8．点A、C为半径是8的圆周上两动点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为　 　．
9．如图，已知AB、BC为⊙O的弦，AB＝，BC＝1，∠AOC＝90°，则⊙O半径为　 　．
10．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB＝CD．求证：CE＝BE．
11．已知，如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．
（1）求∠A、∠B的度数；
（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．
12．如图，已知在⊙O中，两条弦AB和CD交于点P，且AP＝CP，求证：AB＝CD．
13．如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于点E，BD＝AC，求证：AB＝CD．
14．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．
（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；
（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．
15．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且PB＝PD．求证：AB＝CD．
16．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．
17．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．
18．如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，＝，OE、OF分别交AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
19．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
（1）若∠A＝25°，求的度数．
（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．
20．如图，∠AOB＝90°，C、D是以O为圆心的的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F．求证：AE＝BF＝CD．
21．已知：在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：．
22．如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．
（1）求证：AB＝CD；
（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．
参考答案
1．解：∵∠BOD＝32°，
∴∠AOC＝∠BOD＝32°，
∵＝，
∴∠AOE＝∠AOC＝32°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝32°+32°＝64°，
故答案为：64．
2．解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD＝35°，
∵CD＝CO，
∴∠ODC＝∠AOD＝35°，
∵OD＝OE，
∴∠ODC＝∠E＝35°，
∴∠DOE＝110°，
∴∠AOE＝75°，
∴∠BOE＝105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
3．解：连接OC，作EF⊥OC于F，
∵点A关于直线CD的对称点为E，点E落在半径OA上，
∴CE＝CA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠AOB＝30°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝75°，
∵CE＝CA，
∴∠CAE＝∠CEA＝75°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠ECF＝45°，
设EF＝x，则FC＝x，
在Rt△EOF中，tan∠EOF＝，
∴OF＝＝x，
由题意得，OF+FC＝OC，即x+x＝4，
解得，x＝2﹣2，
∵∠EOF＝30°，
∴OE＝2EF＝4﹣4，
故答案为：4﹣4．
4．解：∵＝＝，
∴∠BOC＝∠DOE＝∠COD＝35°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOC﹣∠COD﹣∠DOE＝75°．
故答案为：75．
5．解：∵，（已知）
∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；
又∠AOE＝32°，
∴∠COA＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．
故答案是：64°．
6．解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．
7．解：连接OC、OD，
∵＝＝，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠P＝60°，
故答案为：60．
8．解：过B作直径，连接AC交BO于E，
∵点B为的中点，
∴BD⊥AC，
如图①，
∵点D恰在该圆直径上，D为OB的中点，
∴BD＝×8＝4，
∴OD＝OB﹣BD＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DE＝BD＝2，
∴OE＝2+4＝6，
连接OC，
∵CE＝，
在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC＝；
如图②，
OD＝4，BD＝8+4＝12，DE＝BD＝6，OE＝6﹣4＝2，
由勾股定理得：CE＝，
DC＝，
故答案为：4或4．
9．解：作AH⊥CB交CB的延长线于H，连接AC．
由∠AOC＝90°，可得∠ABC＝135°，
在Rt△AHB中，∵AB＝，∠ABH＝45°，
∴AH＝BH＝1，
在Rt△AHC中，∵CH＝CB+BH＝2，AH＝1，
∴AC＝＝，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝，
故答案为．
10．证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴∠C＝∠B，
∴CE＝BE．
11．解：（1）设∠A、∠B、∠C分别为2x、3x、4x，
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，即2x+4x＝180°，
解得，x＝30°，
∴∠A、∠B分别为60°、90°；
（2）连接AC，
∵∠B＝90°，
∴AC为圆的直径，AC＝＝5，△ABC的面积＝×3×4＝6，∠D＝90°，
∵点D为的中点，
∴AD＝CD＝AC＝，
∴△ADC的面积＝××＝，
∴四边形ABCD的面积＝6+＝．
12．证明：∵圆周角∠A和∠C都对着，
∴∠A＝∠C，
在△ADP和△CBP中，
，
∴△ADP≌△CBP（ASA），
∴BP＝DP，
∵AP＝CP，
∴AP+BP＝CP+DP，
即AB＝CD．
13．证明：在△BDE与△CAE中，
，
∴△BDE≌△CAE（AAS）．
∴BE＝CE，DE＝AE，
∴BE+AE＝CE+DE，
即AB＝CD．
14．（1）解：连接AC．
∵为120°，为50°，
∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，
∵∠ACD＝∠BAC+∠E
∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；
（2）证明：连接AD．
∵AB＝CD，
∴＝，
∴＝，
∴∠ADC＝∠DAB，
∴AE＝DE．
15．证明：如图，连接BD
∵PB＝PD
∴∠PBD＝∠PDB，
∴优弧＝优弧，
∴﹣＝﹣，即＝，
∴AB＝CD．
16．证明：连接BD．如图：
∵AB＝CD，
∴，
∴＝，即，
∴∠B＝∠D，
∴BM＝DM．
17．解：如图，连接OA．交BC于H．
∵点A为的中点，
∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，
∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵sinC＝＝，AC＝9，
∴AH＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，
∴42+（r﹣3）2＝r2，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．
18．证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
19．解：（1）连接CD，如图，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，
∵CB＝CD，
∴∠CDB＝∠B＝65°，
∴∠BCD＝180°﹣2∠B＝50°，
∴的度数为50°；
（2）作CH⊥BD，如图，则BH＝DH，
在Rt△ACB中，AB＝＝15，
∵CH AB＝BC AC，
∴CH＝＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝，
∴BD＝2BH＝．
20．证明：连接AC，BD，
∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为以O为圆心的弧AB的三等分点，
∴∠AOC＝∠AOB＝×90°＝30°．
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠AOC＝∠BOD＝30°，
∴∠AEC＝∠OAB+∠AOC＝45°+30°＝75°，
∵OA＝OC，∠AOC＝30°，
∴∠ACE＝75°，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴AC＝AE，同理BF＝BD，
∵C，D是的三等分点，
∴AC＝CD＝BD，
∴AE＝BF＝CD．
21．证明：连接OC，OD，则OC＝OD，
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥OA，DN⊥OB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°，
在Rt△OMC和Rt△OND中，
，
∴Rt△OMC≌Rt△OND（HL），
∴∠MOC＝∠NOD，
∴．
22．（1）证明：如图，∵AD＝BC，
∴＝，
∴﹣＝﹣，即＝
∴AB＝CD；
（2）解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．
则AF＝FD，BG＝CG．
∵AD＝BC，
∴AF＝CG．
在Rt△AOF与Rt△COG中，
，
∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），
∴OF＝OG，
∴四边形OFEG是正方形，
∴OF＝EF．
设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，
在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，
解得 x＝3．
则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．