2021-2022学年人教版八年级数学上册14.2乘法公式 优生辅导训练（Word版含答案）

2021-2022学年人教版八年级数学上册《14.2乘法公式》优生辅导训练（附答案）
1．若代数式M （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，那么代数式M为（　　）
A．﹣3x﹣y2 B．﹣3x+y2 C．3x+y2 D．3x﹣y2
2．如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（　　）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
3．若m2﹣n2＝5，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（　　）
A．25 B．5 C．10 D．15
4．3（22+1）（24+1）…（232+1）+1计算结果的个位数字是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．8
5．如果（2a+2b﹣3）（2a+2b+3）＝40，则a+b的值为（　　）
A． B．﹣ C． D．±3
6．若（2a+3b）（　　）＝9b2﹣4a2，则括号内应填的代数式是（　　）
A．﹣2a﹣3b B．2a+3b C．2a﹣3b D．3b﹣2a
7．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加了24cm2，这个正方形原来的边长是（　　）
A．5cm B．6cm C．8cm D．10cm
8．20202﹣2021×2019的计算结果是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
9．定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“明德数”．如：1＝12﹣02，3＝22﹣1，5＝32﹣22，因此1，3，5这三个数都是“明德数”．则介于1到200之间的所有“明德数”之和为（　　）
A．10000 B．40000 C．200 D．2500
10．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中减去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线剪开后又拼成如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边的长为（　　）
A．2a+6 B．2a+2 C．a+6 D．a+3
11．若x2+（k﹣1）x+9是完全平方式，则k的值为（　　）
A．±6 B．7 C．﹣5 D．7或﹣5
12．将图1中四个阴影小正方形拼成边长为a的正方形，如图2所示，根据两个图形中阴影部分面积间的关系，可以验证下列哪个乘法公式（　　）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab
13．已知a＝5+4b，则代数式a2﹣8ab+16b2的值是（　　）
A．16 B．20 C．25 D．30
14．已知：（2021﹣a）（2020﹣a）＝4，则（2021﹣a）2+（2020﹣a）2的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．12
15．已知a﹣b＝b﹣c＝，a2+b2+c2＝1，则ab+bc+ca的值等于　 　．
16．已知a2+b2＝18，ab＝﹣1，则a+b＝　 　．
17．若a﹣＝，则a2+值为　 　．
18．若（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9，则|a+b|＝　 　．
19．若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝　 　．
20．已知 （x﹣a）（x+a）＝x2﹣9，那么a＝　 　．
21．若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝12．
（1）求xy的值；
（2）求x2+3xy+y2的值．
22．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2020这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？
23．（1）填空：
（a﹣b）（a+b）＝　 　；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝　 　；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝　 　．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）＝　 　（其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
24．（1）如图1，阴影部分的面积是　 　．（写成平方差的形式）
（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是　 　．（写成多项式相乘的积形式）
（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：　 　．
（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．
25．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．
（1）用含a，b的代数式分别表示S1、S2；
（2）若a+b＝10，ab＝20，求S1+S2的值；
（3）当S1+S2＝30时，求出图3中阴影部分的面积S3．
26．已知：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣5．求：代数式﹣ab的值．
27．先化简，再求值：4（x﹣1）2﹣（2x+3）（2x﹣3），其中x＝﹣1．
28．利用乘法公式计算：
（1）（2x﹣3y）2﹣（y+3x）（3x﹣y）
（2）（a﹣2b+3）（a+2b﹣3）．
参考答案
1．解：∵（﹣3x﹣y2） （3x﹣y2）＝y4﹣9x2，
∴M＝（﹣3x﹣y2）．
故选：A．
2．解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：A．
3．解：∵m2﹣n2＝5，
∴（m+n）2（m﹣n）2＝（m2﹣n2）2＝25，
故选：A．
4．解：原式＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264；
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，个位数按照2，4，8，6依次循环，
而64＝16×4，
∴原式的个位数为6．
故选：B．
5．解：∵（2a+2b﹣3）（2a+2b+3）＝40，
∴（2a+2b）2﹣32＝40，
∴4（a+b）2＝49，
∴（a+b）2＝，
∴a+b＝±，
故选：C．
6．解：∵（2a+3b）（3b﹣2a）＝9b2﹣4a2
即（3b+2a）（3b﹣2a）＝（3b）2﹣（2a）2
∴括号内应填的代数式是3b﹣2a．
故选：D．
7．解：设原来正方形的边长为xcm，增加后边长为（x+2）cm，
根据题意得：（x+2）2﹣x2＝24，
解得：x＝5，
则这个正方形原来的边长为5cm．
故选：A．
8．解：原式＝20202﹣（2020+1）（2020﹣1）＝20202﹣20202+1＝1．
故选：B．
9．解：介于1到200之间的所有“明德数”之和为：
（12﹣02）+（22﹣1）+（32﹣22）+…+（992﹣982）+（1002﹣992）
＝12﹣02+22﹣1+32﹣22+42﹣32+…+992﹣982+1002﹣992
＝1002
＝10000，
故选：A．
10．解：拼成的长方形的面积＝（a+3）2﹣32＝（a+3+3）（a+3﹣3）＝（a+6）a，
∵拼成的长方形的一边长为a，
∴另一边长为a+6，
故选：C．
11．解：∵x2+（k﹣1）x+9是完全平方式，
∴k﹣1＝±6，
解得：k＝7或﹣5，
故选：D．
12．解：图2中的四个阴影小正方形可以拼成一个边长为（a﹣b）的正方形，如图1，因此面积为（a﹣b）2，
图2中，四个阴影小正方形的面积和，可以看作从边长为a的大正方形中减去空白部分的面积，即a2﹣2ab+b2，
因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：A．
13．解：∵a＝5+4b，
∴a﹣4b＝5，
∴a2﹣8ab+16b2＝（a﹣4b）2＝52＝25．
故选：C．
14．解：设x＝2021﹣a，y＝2020﹣a，
∴x﹣y＝2021﹣a﹣2020+a＝1，
∵xy＝4，
∴原式＝x2+y2
＝（x﹣y）2+2xy
＝1+2×4
＝9，
故选：C．
15．解：∵a﹣b＝b﹣c＝，
∴（a﹣b）2＝，（b﹣c）2＝，a﹣c＝，
∴a2+b2﹣2ab＝，b2+c2﹣2bc＝，a2+c2﹣2ac＝，
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝++＝，
∴2﹣2（ab+bc+ca）＝，
∴1﹣（ab+bc+ca）＝，
∴ab+bc+ca＝﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
16．解：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a2+b2）+2ab＝18﹣2＝16，则a+b＝±4；
故答案是：±4．
17．解：∵a﹣＝
∴（a﹣）2＝6
∴a2﹣2+＝6
∴a2+＝8
故答案为：8
18．解：∵（7x﹣a）2＝49x2﹣bx+9，
∴49x2﹣14ax+a2＝49x2﹣bx+9，
∴﹣14a＝﹣b，a2＝9，
解得 a＝3，b＝42或a＝﹣3，b＝﹣42．
当a＝3，b＝42时，|a+b|＝|3+42|＝45；
当a＝﹣3，b＝﹣42时，|a+b|＝|﹣3﹣42|＝45．
故答案为45．
19．解：∵a+b＝1，
∴a2﹣b2+2b﹣2
＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2
＝a﹣b+2b﹣2
＝a+b﹣2
＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
20．解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）＝x2﹣a2，
由已知可得，a2＝9，
所以，a＝±＝±3．
故答案为：±3．
21．解：（1）∵x+y＝3，（x+2）（y+2）＝12，
∴xy+2x+2y+4＝12，
∴xy+2（x+y）＝8，
∴xy+2×3＝8，
∴xy＝2；
（2）∵x+y＝3，xy＝2，
∴x2+3xy+y2
＝（x+y）2+xy
＝32+2
＝11．
22．解：（1）设28和2020都是“神秘数”，设28是x和x﹣2两数的平方差得到，
则x2﹣（x﹣2）2＝28，
解得：x＝8，∴x﹣2＝6，
即28＝82﹣62，
设2020是y和y﹣2两数的平方差得到，
则y2﹣（y﹣2）2＝2020，
解得：y＝506，
y﹣2＝504，
即2020＝5062﹣5042，
所以28，2020都是神秘数．
（2）（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）＝4（2k+1），
∴由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数，且是奇数倍．
（3）设两个连续奇数为2k+1和2k﹣1，
则（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k＝4×2k，
即：两个连续奇数的平方差是4的倍数，是偶数倍，不满足连续偶数的神秘数为4的奇数倍这一条件．
∴两个连续奇数的平方差不是神秘数．
23．解：（1）（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4＝a4﹣b4；
故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由（1）的规律可得：
原式＝an﹣bn，
故答案为：an﹣bn；
（3）∵[（2﹣（﹣1）]（29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1）
＝210﹣110，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1
＝（210﹣110）÷3
＝341，
∴29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
＝341+1
＝342．
24．解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；
（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，
则其面积为（a+b）（a﹣b），
故答案为：（a+b）（a﹣b）；
（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；
（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）
＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）
＝××××…××
＝×
＝．
25．解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，
S2＝a2﹣a（a﹣b）﹣b（a﹣b）﹣b（a﹣b）＝2b2﹣ab；
（2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab，
∵a+b＝10，ab＝20，
∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×20＝40；
（3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab），
∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝30，
∴S3＝×30＝15．
26．解：∵a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣5，
∴a2﹣a﹣a2+b＝﹣5，
∴b﹣a＝﹣5，
∴﹣ab
＝＝
＝
＝．
27．解：原式＝4（x2﹣2x+1）﹣（4x2﹣9）
＝4x2﹣8x+4﹣4x2+9
＝﹣8x+13，
当x＝﹣1时，原式＝8+13＝21．
28．解：（1）原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（9x2﹣y2）
＝4x2﹣12xy+9y2﹣9x2+y2
＝﹣5x2﹣12xy+10y2；
（2）原式＝[a﹣（2b﹣3）][a+（2b﹣3）]
＝a2﹣（2b﹣3）2
＝a2﹣4b2+12b﹣9．