2021-2022学年人教版九年级数学下册27.2相似三角形 同步达标测评（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年人教版九年级数学下册27.2相似三角形 同步达标测评（Word版含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 362.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-11-23 09:11:45 | ||
图片预览
文档简介
2021-2022学年人教版九年级数学下册《27.2相似三角形》同步达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝100°，下列条件不能得到两个三角形相似的是（ ）
A．∠A＝∠D B．＝
C．∠C＝∠D D．∠C＝40°，∠D＝30°
2．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．80° B．60° C．70° D．150°
4．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，且AP＝2.8，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是2，那么△BEC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
6．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（ ）
①∠ADG＝∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2＝AE EG；④若AB＝4，AD＝5，则CE＝1．
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
7．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（DE≠BC），使△ADE∽△ACB的一个条件可以是 ．
10．如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 ．
11．等边三角形ABC和△A′B′C′相似，相似比为5：2，若AB＝10，B′C′边上的高是 ．
12．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4，
④若△PAB∽△PDA，则PA＝2
其中正确的是 （把所有正确的结论的序号都填在横线上）．
13．如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝15，则AF为 ．
14．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，且CE∥BD，并测得
BC＝4m，CA＝1m，那么树BD的高度是 m．
15．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD＝1，AD＝3，则CD＝ ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．
18．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．
19．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
21．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝100°，
A、当∠A＝∠D时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
B、当时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
C、当∠C＝∠D时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
D、当∠C＝40°，∠D＝30°时，不能判断这两个三角形相似．
故选：D．
2．解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，
若△AMN∽△ACB，则∠AMN＝∠C＝40°，
又∵直线l平行于BC，
∴∠ADE＝∠B＝80°，
∴∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，
即直线l旋转前后的夹角为40°，
∴旋转角为40°，
故选：B．
3．解：如图，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝150°，
∵∠B′＝∠B＝60°，∠C′＝∠C＝80°，
∴∠α＝360°﹣∠A′﹣∠B′﹣∠C′＝70°．
故选：C．
4．解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
故选：B．
5．解：∵△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是2，
∴△BDE的面积是4，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴△ABC的面积＝18，
∴△BEC的面积＝18﹣2﹣4＝12，
故选：C．
6．解：①由折叠可得，AD＝AF，DG＝FG，
在△ADG和△AFG中，
，
∴△ADG≌△AFG（SSS），
∴∠ADG＝∠AFG，故①正确；
②∵GF∥DC，
∴∠EGF＝∠DEG，
由翻折的性质可知：GD＝GF，DE＝EF，∠DGE＝∠EGF，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴GD＝DE，
∴DG＝GF＝DE＝EF，
∴四边形DEFG为菱形，故②正确；
③如图所示，连接DF交AE于O，
∵四边形DEFG为菱形，
∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE，
∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴＝，即DE2＝EO AE，
∵EO＝GE，DE＝DG，
∴DG2＝AE EG，故③正确；
④由折叠可得，AF＝AD＝5，
∴Rt△ABF中，BF＝＝3，
∴CF＝5﹣3＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝4﹣x，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝，故④错误；
故选：B．
7．解：设网格的边长为1．
则AC＝，AB＝，BC＝．
连接P2P5，
DP5＝，DP2＝，P2P5＝．
∵，
∴△ACB∽△DP5P2．
同理可找到△DP2P4，△DP4P5和△ACB相似．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠ECF＝30°，
∵BA＝BE，EC＝CD，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴EA＝ED，故①正确，
∴∠DEF＝∠EAD+∠ADE＝30°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝45°，故②正确，
∵∠EDF＝∠AFD＝75°，
∴ED＝EF，
∴AE＝EF，故③正确，
∵∠BAE＝∠BEA＝∠EDF＝∠EFD＝75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵∠A＝∠A
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝ 时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
10．解：∵四边形ABCD和四边形BCFE是矩形，
∴BC＝EF＝AD＝2，
∵矩形ABCD∽BCFE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1（负值舍去），
故答案为：1．
11．解：∵△ABC是等边三角形，且AB＝10，
∴BC边上的高为5，
∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为5：2，
∴B′C′边上的高是2．
12．解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③若S1＝S2，易证S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB∽△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④错误．
故答案为①②③．
13．解：在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝15，
∴AF＝×15＝6．
故答案为6．
14．解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即，解得BD＝10m．
故答案为：10
15．解：如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
16．解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴AD2＝BD CD，
∵BD＝1，AD＝3，
∴CD＝9，
故答案为：9
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAD＝∠PAB＝45°，
∵PK⊥AD，PH⊥AB，
∴PK＝PH，
∴＝＝＝，
∴AB＝AD＝2，AM＝BM＝1，
∴DM＝，
∴＝2，
∴PD＝×＝．
（2）∵PF＝，PD＝，DM＝，
∴DF＝，PM＝，
∵DE∥AM，
∴∠AMP＝∠EDF，
∵∠DFE＝∠MAP＝45°，
∴△AMP∽△FDE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴EC＝2﹣＝．
18．解：设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：ED，
∴x：（x+5）＝1：1.5，
解得x＝10，∴AB＝10，
即小河的宽度为10米．
19．（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
20．解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
＝×（EB+CG） BC﹣EB BF﹣FC CG
＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
S＝FG BC＝（8﹣2t） 8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
21．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x＝×3×6，即x2﹣3x+2＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝2，
经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA＝∠MAN＝90°，
因此有或
即①，或②
解①，得t＝；解②，得t＝
经检验，t＝或t＝都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．已知△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝100°，下列条件不能得到两个三角形相似的是（ ）
A．∠A＝∠D B．＝
C．∠C＝∠D D．∠C＝40°，∠D＝30°
2．如图，在△ABC中，∠B＝80°，∠C＝40°，直线l平行于BC．现将直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，若△AMN与△ABC相似，则旋转角为（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
3．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．80° B．60° C．70° D．150°
4．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝2，AB＝5，P是AC上一点，且AP＝2.8，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，则不同的剪法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
5．如图，△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是2，那么△BEC的面积是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．18
6．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点落在BC上点F处，过点F作FG∥CD，连接EF，DG，下列结论中正确的有（ ）
①∠ADG＝∠AFG；②四边形DEFG是菱形；③DG2＝AE EG；④若AB＝4，AD＝5，则CE＝1．
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②
7．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似，所有符合条件的三角形的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边△BCE，连接AE并延长交CD于F，连接DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④△DEF∽△ABE，其中正确的结论共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（DE≠BC），使△ADE∽△ACB的一个条件可以是 ．
10．如图，矩形ABCD∽BCFE，且AE＝3，AD＝2，则BE的长为 ．
11．等边三角形ABC和△A′B′C′相似，相似比为5：2，若AB＝10，B′C′边上的高是 ．
12．如图，点P是矩形ABCD内一点，连接PA、PB、PC、PD，已知AB＝3，BC＝4，设△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面积分别为S1，S2，S3，S4，以下判断：
①PA+PB+PC+PD的最小值为10；
②若△PAB≌△PCD，则△PAD≌△PBC；
③若S1＝S2，则S3＝S4，
④若△PAB∽△PDA，则PA＝2
其中正确的是 （把所有正确的结论的序号都填在横线上）．
13．如图，在 ABCD中，E为AD的三等分点，AE＝AD，连接BE，交AC于点F，AC＝15，则AF为 ．
14．如图，某学生利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆EC的高为2m，且CE∥BD，并测得
BC＝4m，CA＝1m，那么树BD的高度是 m．
15．如图，△ABC的顶点在1×3的正方形网格的格点上，在图中画出一个与△ABC相似但不全等的△DEF（△DEF的顶点在格点上），则△DEF的三边长分别是 ．
16．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，若BD＝1，AD＝3，则CD＝ ．
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．在正方形ABCD中，BC＝2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P．
（1）求PD的长；
（2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE＝45°．若PF＝，求CE的长．
18．如图，洋洋和华华用所学的数学知识测量一条小河的宽度，河的对岸有一棵大树，底部记为点A，在他们所在的岸边选择了点B，并且使AB与河岸垂直，在B处与地面垂直竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，与地面垂直竖起标杆DE，使得A、C、E三点共线．经测量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的宽度．
19．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
20．如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）
（1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；
（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．
21．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：
（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？
（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E＝100°，
A、当∠A＝∠D时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
B、当时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
C、当∠C＝∠D时，△ABC∽△DEF，故能判定这两个三角形相似；
D、当∠C＝40°，∠D＝30°时，不能判断这两个三角形相似．
故选：D．
2．解：如图，直线l绕点A逆时针旋转，所得直线分别交边AB和AC于点M、N，
若△AMN∽△ACB，则∠AMN＝∠C＝40°，
又∵直线l平行于BC，
∴∠ADE＝∠B＝80°，
∴∠DFM＝∠ADE﹣∠AMN＝80°﹣40°＝40°，
即直线l旋转前后的夹角为40°，
∴旋转角为40°，
故选：B．
3．解：如图，
∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝150°，
∵∠B′＝∠B＝60°，∠C′＝∠C＝80°，
∴∠α＝360°﹣∠A′﹣∠B′﹣∠C′＝70°．
故选：C．
4．解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
如图所示，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
故选：B．
5．解：∵△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积是2，
∴△BDE的面积是4，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴△ABC的面积＝18，
∴△BEC的面积＝18﹣2﹣4＝12，
故选：C．
6．解：①由折叠可得，AD＝AF，DG＝FG，
在△ADG和△AFG中，
，
∴△ADG≌△AFG（SSS），
∴∠ADG＝∠AFG，故①正确；
②∵GF∥DC，
∴∠EGF＝∠DEG，
由翻折的性质可知：GD＝GF，DE＝EF，∠DGE＝∠EGF，
∴∠DGE＝∠DEG，
∴GD＝DE，
∴DG＝GF＝DE＝EF，
∴四边形DEFG为菱形，故②正确；
③如图所示，连接DF交AE于O，
∵四边形DEFG为菱形，
∴GE⊥DF，OG＝OE＝GE，
∵∠DOE＝∠ADE＝90°，∠OED＝∠DEA，
∴△DOE∽△ADE，
∴＝，即DE2＝EO AE，
∵EO＝GE，DE＝DG，
∴DG2＝AE EG，故③正确；
④由折叠可得，AF＝AD＝5，
∴Rt△ABF中，BF＝＝3，
∴CF＝5﹣3＝2，
设CE＝x，则DE＝EF＝4﹣x，
∵Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2，
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴CE＝，故④错误；
故选：B．
7．解：设网格的边长为1．
则AC＝，AB＝，BC＝．
连接P2P5，
DP5＝，DP2＝，P2P5＝．
∵，
∴△ACB∽△DP5P2．
同理可找到△DP2P4，△DP4P5和△ACB相似．
故选：B．
8．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵△EBC是等边三角形，
∴BC＝BE＝CE，∠EBC＝∠EBC＝∠ECB＝60°，
∴∠ABE＝∠ECF＝30°，
∵BA＝BE，EC＝CD，
∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠EAD＝∠EDA＝15°，
∴EA＝ED，故①正确，
∴∠DEF＝∠EAD+∠ADE＝30°，
∴∠CEF＝∠CED﹣∠DEF＝45°，故②正确，
∵∠EDF＝∠AFD＝75°，
∴ED＝EF，
∴AE＝EF，故③正确，
∵∠BAE＝∠BEA＝∠EDF＝∠EFD＝75°，
∴△DEF∽△ABE，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：∵∠A＝∠A
∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝ 时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或＝．
10．解：∵四边形ABCD和四边形BCFE是矩形，
∴BC＝EF＝AD＝2，
∵矩形ABCD∽BCFE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝1（负值舍去），
故答案为：1．
11．解：∵△ABC是等边三角形，且AB＝10，
∴BC边上的高为5，
∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为5：2，
∴B′C′边上的高是2．
12．解：①当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD的值最小，根据勾股定理得，AC＝BD＝5，所以PA+PB+PC+PD的最小值为10，故①正确；
②若△PAB≌△PCD，则PA＝PC，PB＝PD，所以P在线段AC、BD的垂直平分线上，即P是矩形ABCD两对角线的交点，所以△PAD≌△PBC，故②正确；
③若S1＝S2，易证S1+S3＝S2+S4，则S3＝S4，故③正确；
④若△PAB∽△PDA，则∠PAB＝∠PDA，∠PAB+∠PAD＝∠PDA+∠PAD＝90°，∠APD＝180°﹣（∠PDA+∠PAD）＝90°，同理可得∠APB＝90°，那么∠BPD＝180°，B、P、D三点共线，P是直角△BAD斜边上的高，根据面积公式可得PA＝2.4，故④错误．
故答案为①②③．
13．解：在 ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD的三等分点，
∴AE＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴＝＝，
∵AC＝15，
∴AF＝×15＝6．
故答案为6．
14．解：∵EC∥AB，BD⊥AB，
∴EC∥BD，∠ACE＝∠ABD＝90°，
在Rt△ACE∽Rt△ABD中，∠A＝∠A，∠ACE＝∠ABD＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ABD，
∴，即，解得BD＝10m．
故答案为：10
15．解：如图所示：△ABC∽△DEF，
DE＝，ED＝2，EF＝．
故答案为：，2，．
16．解：∵Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°．
∵AD⊥BC于点D，
∴∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAD＝∠C，∠B＝∠CAD，
∴△ABD∽△CAD，
∴AD2＝BD CD，
∵BD＝1，AD＝3，
∴CD＝9，
故答案为：9
三．解答题（共5小题，满分40分）
17．解：（1）如图作PK⊥AD于K，PH⊥AB于H．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAD＝∠PAB＝45°，
∵PK⊥AD，PH⊥AB，
∴PK＝PH，
∴＝＝＝，
∴AB＝AD＝2，AM＝BM＝1，
∴DM＝，
∴＝2，
∴PD＝×＝．
（2）∵PF＝，PD＝，DM＝，
∴DF＝，PM＝，
∵DE∥AM，
∴∠AMP＝∠EDF，
∵∠DFE＝∠MAP＝45°，
∴△AMP∽△FDE，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝，
∴EC＝2﹣＝．
18．解：设小河的宽度AB＝xm，根据题意得：BC⊥AD，ED⊥AD，
∴△ABC∽△ADE，
∴AB：AD＝BC：ED，
∴x：（x+5）＝1：1.5，
解得x＝10，∴AB＝10，
即小河的宽度为10米．
19．（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
20．解：（1）如图1，当t＝1秒时，AE＝2，EB＝10，BF＝4，FC＝4，CG＝2，
由S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，
＝×﹣
＝×（10+2）×8﹣×10×4﹣
＝24（cm2）；
（2）①如图1，当0≤t≤2时，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上移动，
此时AE＝2t，EB＝12﹣2t，BF＝4t，FC＝8﹣4t，CG＝2t，
S＝S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG
＝×（EB+CG） BC﹣EB BF﹣FC CG
＝×8×（12﹣2t+2t）﹣×4t（12﹣2t）﹣×2t（8﹣4t）
＝8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．
②如图2，当点F追上点G时，4t＝2t+8，解得t＝4，
当2＜t＜4时，点E在边AB上移动，点F、G都在边CD上移动，此时CF＝4t﹣8，CG＝2t，
FG＝CG﹣CF＝2t﹣（4t﹣8）＝8﹣2t，
S＝FG BC＝（8﹣2t） 8＝﹣8t+32．
即S＝﹣8t+32（2＜t＜4）．
（3）如图1，当点F在矩形的边BC上的边移动时，在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，
①若＝，即＝，
解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△FCG，
②若＝即＝，解得t＝．
所以当t＝时，△EBF∽△GCF．
综上所述，当t＝或t＝时，以点E、B、F为顶点的三角形与以F、C、G为顶点的三角形相似．
21．解：（1）设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，
则有：（6﹣2x）x＝×3×6，即x2﹣3x+2＝0，
解方程，得x1＝1，x2＝2，
经检验，可知x1＝1，x2＝2符合题意，
所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．
（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，
由矩形ABCD，可得∠CDA＝∠MAN＝90°，
因此有或
即①，或②
解①，得t＝；解②，得t＝
经检验，t＝或t＝都符合题意，
所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．